人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布授课课件ppt

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1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例,借助频率分布直方图的几何直观,了解正态分布的特征.3.了解正态分布的均值、方差及其含义.4.通过学习,提升数学抽象和数学运算的核心素养.
1.正态分布的有关概念(1)随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为　0　,我们称这类随机变量为连续型随机变量. 
若X~N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积.
微训练(1)若正态曲线关于y轴对称,则它所对应的正态总体均值为(　　)A.1B.-1C.0D.不确定答案:C解析:由正态曲线性质知均值为0.
(2)若正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为(　　)A.P1=P2B.P1P2D.不确定答案:A解析:根据正态曲线的特点,图象关于直线x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率P1,P2相等.
3.参数μ,σ对正态曲线形状的影响(1)在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿　x轴　平移. (2)当μ取定值时,因为正态曲线的峰值 与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,正态曲线“　瘦高　”,表示随机变量X的分布比较　集中　;当σ较大时,峰值低,正态曲线“　矮胖　”,表示随机变量X的分布比较　分散　. 
(3)参数μ反映了正态分布的集中位置,σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.若X~N(μ,σ2),则E(X)=　μ　,D(X)=　σ2　. 
4.3σ原则(1)假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X ≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈　0.682 7　, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈　0.954 5　, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈　0.997 3　. (2)在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
一 正态曲线及其性质
典例剖析1.一个正态曲线的图象如图所示,则服从该正态分布的随机变量的均值μ=　　　　　,方差σ2=　　　　　. 
学以致用1.某市某次高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的正态密度曲线如图所示(由于人数众多,成绩服从正态分布),则下列说法正确的是(　　)A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同答案:A
解析:由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态曲线的性质,可知当μ取定值,σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”;σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.
二 利用正态分布的性质求概率
典例剖析2.设X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X>5);解:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.(1)P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
学以致用2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,则P(0三 正态分布的实际应用
典例剖析3.在某次数学考试中,考生的成绩X服从一个正态分布,即X~N(90,100).(1)试求考试成绩X位于区间[70,110]内的概率是多少?(2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩落在区间[80,100]内的考生大约有多少人?
解:因为X~N(90,100),所以μ=90,σ=10.(1)由μ=90,σ=10,得μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110.由于正态变量在区间[μ-2σ,μ+2σ]内取值的概率约是0.954 5,故考试成绩X落在区间[70,110]内的概率约是0.954 5.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于正态变量在区间[μ-σ,μ+σ]内取值的概率约是0.682 7,故考试成绩X落在区间[80,100]内的概率约是0.682 7.这次考试共有2 000名考生参加,则考试成绩落在区间[80,100]内的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人).
规律总结 利用3σ原则求某区间内取值概率的基本方法(1)根据题目给出的条件确定μ与σ的值;(2)将待求问题向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]这三个区间转化;(3)利用上述区间求出相应的概率.
学以致用3.有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个,试求:(1)这批零件中尺寸在18~22 mm间的零件所占的百分比;(2)试估计尺寸在24~26 mm间的零件大约有多少个?
A.μ1<μ2,σ1<σ2B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ1>μ2,σ1>σ2答案:A解析:根据正态曲线的特点可知μ1<μ2,σ1<σ2.故选A.
2.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间[60,120]上的学生大约有(　　)A.997人B.972人C.955人D.683人答案:C解析:依题意可知μ=90,σ=15,故P(60≤X≤120)=P(90-2×15≤X≤90+2×15)≈0.954 5,1 000×0.954 5≈955,故大约有学生955人.
3.设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X≤0)=　　　　　. 
则P(3≤X≤7)=　　　　　. 答案:0.682 7解析:由题意可知X~N(5,4),且μ=5,σ=2,故P(3≤X≤7)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
5.全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动,旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4 000人进行了“运动参与度”统计评分,得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求这4 000人的“运动参与度”的平均得分 (同一组数据用该组区间的中点值作代表);(2)由频率分布直方图可认为这4 000人的“运动参与度”的得分Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取平均得分 和方差s2,那么这4 000人中“运动参与度”得分超过84.81分的人数估计有多少人?(3)现在用这4 000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况,从全市随机抽取4人,记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为X,求P(X≤3).
则 =45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5.因此这4 000人“运动参与度”的平均得分 为70.5分.