高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列同步测试题

7.2　离散型随机变量及其分布列

课后·训练提升

基础巩固

1.下列变量中,不是随机变量的是(　　)

A.某景点7月份每天接待的游客数量

B.2022北京冬奥会上中国取得的奖牌数

C.某人投篮2次,投中的次数

D.某急救中心每天接到的呼救次数

答案:B

解析:2022北京冬奥会上中国取得的奖牌数是一个具体的数字,不是随机变量,其他三个均为随机变量.

2.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是(　　)

A.

B.

C.

D.

答案:C

解析:C选项中,P(X=1)<0不符合P(X=xi)≥0的特点,也不符合P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1的特点,故C选项不是分布列.

3.(多选题)如果X是一个离散型随机变量,那么下列命题中是真命题的为(　　)

A.X取每一个可能值的概率是正数

B.X取所有可能值的概率和为1

C.X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和

D.X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

答案:BC

解析:对于A选项,X取每一个可能值的概率是非负数,故A选项错误;对于B选项,X取所有可能值的概率和为1,故B选项正确;对于C选项,当X有两个可能取值时,X取这两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和,故C选项正确;对于D选项,X在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和,故D选项错误.

4.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)

A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X

B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X

C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=

D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X

答案:A

解析:A中随机变量X的取值有6个,不服从两点分布,故选A.

5.若随机变量X的分布列如下表所示,则a2+b2的最小值为(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:由分布列性质可知a+b=,且a≥0,b≥0,则a2+b2≥,当且仅当a=b=时,等号成立.

6.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个红球”的事件为(　　)

A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4

答案:C

解析:若第一次取到黑球,则放回1个红球;若第二次取到黑球,则再放回1个红球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.

7.某科技小组有5名男生、3名女生,从中任选3名同学参加活动,若X表示选出女生的人数,则P(X=2)=　　　　　. 

答案:

解析:某科技小组有5名男生、3名女生,从中任选3名同学参加活动,则试验的样本空间Ω包含56个等可能的样本点,即n(Ω)==56.

若X表示选出女生的人数,则X=2包含的样本点的个数m==15,

则P(X=2)=.

故答案为.

8.在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是　. 

答案:300,100,-100,-300

解析:可能回答全对,两对一错,两错一对,全错四种结果,相应得分为300分,100分,-100分,-300分.

9.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为X.

(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值;

(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果都加上6分.求最终得分Y的可能取值,并判定Y的随机变量类型.

解(1)

(2)由题意可得Y=5X+6,因为X可能的取值范围为0,1,2,3,所以Y对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.

故Y的可能取值为6,11,16,21,显然Y为离散型随机变量.

10.一个实验箱中装有标号为1,2,3,4,5的5只白鼠,若从中任取2只,记取到的2只白鼠中标号较大的为X,求随机变量X的分布列.

解X的可能取值为2,3,4,5,

P(X=2)=,

P(X=3)=,

P(X=4)=,

P(X=5)=,

因此随机变量X的分布列为

能力提升

1.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a=(　　)

A. B. C. D.

答案:C

解析:因为X的分布列服从两点分布,

所以P(X=0)+P(X=1)=1.

因为P(X=0)=3-4P(X=1)=a,

所以P(X=0)=3-4[1-P(X=0)],

所以P(X=0)=,即a=.

2.离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以“x”“y”(x,y∈{0,1,2,…,9})代替,其表如下:

则P=(　　)

A.0.25 B.0.35 

C.0.45 D.0.55

答案:B

解析:根据分布列的性质,可知随机变量的所有取值的概率和为1,得x=2,y=5.

故P=P(X=2)+P(X=3)=0.35.

3.设随机变量X的分布列为P(X=k)=a·,k=1,2,3,则a的值为　　　　　. 

答案:

解析:因为随机变量X的分布列为P(X=k)=a·,k=1,2,3,所以根据分布列的性质有a·+a·+a·=1,所以a·=a×=1,解得a=.

4.若P(X≤n)=1-a,P(X≥m)=1-b,其中m<n,则P(m≤X≤n)=　　　　　. 

答案:1-(a+b)

解析:P(m≤X≤n)=1-P(X>n)-P(X<m)=1-[1-(1-a)]-[1-(1-b)]=1-(a+b).

5.一批产品等级分为一、二、三级,其中一级品的数量是二级品的两倍,三级品的数量为二级品的一半,从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量X,则P=　　　　　. 

答案:

解析:设二级品有k个,由题意得一级品有2k个,三级品有个,总数为个.

因此分布列为

P=P(X=1)=.

6.设随机变量X的概率分布列为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a为常数,

则P=　　　　　. 

答案:

解析:由题意,知P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)==1,

解得a=.

因此P=P(X=1)+P(X=2)=.

7.袋中有4个红球、3个黑球,随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球.

(1)求得分X的分布列;

(2)求得分大于6分的概率.

解(1)从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑,2红2黑,3红1黑,4红,分别得分为5分,6分,7分,8分.

故X的可能取值为5,6,7,8.

P(X=5)=,

P(X=6)=,

P(X=7)=,

P(X=8)=.

故所求分布列为

(2)根据随机变量X的分布列,可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=.

8.某商店试销某种商品20天,获得如下数据:

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.

(1)求当天商店不进货的概率;

(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列.

解(1)P(“当天商店不进货”)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为1件”)=.

(2)由题意知,X的可能取值为2,3.

P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)=;

P(X=3)=1-P(X=2)=.

故X的分布列为