素养拓展1 柯西不等式（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展01 柯西不等式（精讲+精练）

1.二维形式的柯西不等式

2.二维形式的柯西不等式的变式

3.二维形式的柯西不等式的向量形式

注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了。

4.扩展：，当且仅当时，等号成立.

【题型训练1-刷真题】

一、填空题

1．（2021·浙江·统考高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.

【详解】由题意，设，

则，即，

又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，

所以在方向上的投影，

即,

所以，

当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

二、解答题

2．（2022·全国·统考高考真题）已知a，b，c均为正数，且，证明：

(1)；

(2)若，则．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）方法一：根据，利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.

【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有，

所以，当且仅当时，取等号，所以.

[方法二]：基本不等式

由，，， ，

当且仅当时，取等号，所以.

（2）证明：因为，，，，由（1）得，

即，所以，

由权方和不等式知，

当且仅当，即，时取等号，

所以.

【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．

【题型训练2-刷模拟】

一、解答题

1．（2023·全国·高三专题练习）若实数x、y、z满足（a为常数），求的最小值．

【答案】

【分析】利用柯西不等式进行解答即可.

【详解】因为，

所以，

即，当且仅当时等号成立，

故，即的最小值为．

2．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知，且满足，求的最小值．

【答案】6

【分析】利用柯西不等式求出最小值.

【详解】由柯西不等式，得．

得．所以．

当且仅当，即时，上式等号成立．

所以的最小值为6．

3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知a，b，c是正实数，且．求证：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用三个正数的算术平均数不小于其几何平均数；

（2）利用柯西不等式．

【详解】（1）因为a，b，c是正实数，所以，所以 （当且仅当时等式成立），即；

（2）因为，当且仅当等号成立，所以，即．

4．（2023·江西吉安·统考一模）已均为正数，且，证明：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用题意构造基本不等式，再利用柯西不等式证明即可；

（2）构造基本不等式即可证明.

【详解】（1）证明：由柯西不等式可得，

当且仅当时取等号．

即，则原式成立；

（2）证明：

．

当且仅当时取等号.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知均为正数，且满足.证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据，结合柯西不等式证明即可；

（2）根据柯西不等式证明，再根据证明即可.

（1）

证明：由柯西不等式有：

，当且仅当时取等号，可得；

（2）证明：由柯西不等式有，当且仅当时取“号，可得，

又由，可得，可得，

故有，当且仅当时取“号.

6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设为正数，且.

(1)证明；

(2)证明.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由柯西不等式可得，由此证明结论；

（2）由重要不等式结合不等式性质可得，，结合不等式性质和柯西不等式证明结论.

【详解】（1）因为为正数，，

由柯西不等式可得，

当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立；

（2）由重要不等式得，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

同理可得，当且仅当时等号成立，

两式相加得

所以

，当且仅当时等号成立；

即，当且仅当时等号成立.

7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）已知，且，证明：

(1)；

(2)若，则.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由柯西不等式即可证明；

（2）由均值的不等式可得，由（1）可得，即可证明.

【详解】（1）由，得，

由柯西不等式有，

，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立；

（2）由可得

，

当且仅当时取等，

由（1）可得，当且仅当时等号成立，

从而，当且仅当时等号成立.

二、单选题

8．（2023·全国·高三专题练习）“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数的最大值及取得最大值时x的值分别为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将代入二维形式的柯西不等式的公式中，进行化简即可得到答案．

【详解】由柯西不等式可知：

所以，当且仅当即x＝时取等号，

故函数的最大值及取得最大值时的值分别为，

故选A．

【点睛】本题考查二维形式柯西不等式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．

9．（2023·浙江·统考一模）若，则的最小值是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】先把已知整理成的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得到关于的一元二次不等式进行求解.

【详解】由已知整理得

，

由柯西不等式得

，

当时取等号，

所以，即，

解得，所以的最小值为.

故选：C．

三、填空题

10．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为_________．

【答案】

【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围.

【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离，

即，

由柯西不等式得：，

当且仅当，即时，等号成立，

即，解得：.故答案为：

11．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）设角、均为锐角，则的范围是______________．

【答案】

【分析】由将函数化为，结合三角函数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案.

【详解】因为角、均为锐角，所以的范围均为，

所以，

所以

因为，

所以，

，

当且仅当时取等，

令，，，

所以.

则的范围是：.

故答案为：

12．（2023秋·湖南湘潭·高三校联考期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】将目标式转化为，应用柯西不等式求的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件.

【详解】由题设，，则，

又，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，当且仅当时等号成立.

∴的最小值为.

故答案为：.