素养拓展06 导数中的公切线问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展06 导数中的公切线问题（精讲+精练）

一、公切线问题一般思路

两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.

考法1：求公切线方程

已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.

具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，

则f′(x1)＝g′(x2)＝.

考法2：由公切线求参数的值或范围问题

由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．

【典例1】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．

【解析】设与和，分别切于点，，

由导数的几何意义可得：，即，①

则切线方程为，即，

或，即，②

将①代入②得，

又直线是曲线的切线，也是曲线的切线，

则，即，则或，

即或，故答案为1或．

【典例2】已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则______．

【解析】依题意，可得，整理得

令，则在单调递增

且，∴存在唯一实数，使

，，，

，，∴，故．

【题型训练】

1.求公切线方程

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）曲线与曲线的公切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】画出图象，从而确定正确选项.

【详解】画出以及四个选项中直线的图象如下图所示，由图可知A选项符合.

故选：A

2．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由得，然后求得，由求得，设，由得及，再由得，解得后可得．

【详解】设，

，

设，则，即……①

又，即

……②

由①②可得，

.

故选：B.

3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．若经过点存在一条直线l与曲线和都相切，则（    ）

A．-1 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】先求得 在 处的切线方程，然后与联立，由 求解

【详解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲线在处的切线方程为，由得，由，解得．

故选：B

4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则和的公切线的条数为

A．三条 B．二条 C．一条 D．0条

【答案】A

【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程，构造函数，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.

【详解】设公切线与和分别相切于点，，解得，代入化简得，构造函数，原函数在，极大值

故函数和x轴有交3个点，方程有三解，故切线有3条.

故选A.

【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点个数问题，即转化为函数图像和x轴的交点问题.

5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若与在公共点处的切线相同，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设曲线与的公共点为，根据题意可得出关于、的方程组，进而可求得实数的值.

【详解】设函数，的公共点设为，

则，即，解得，

故选：B.

【点睛】本题考查利用两函数的公切线求参数，要结合公共点以及导数值相等列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.

6．（2023·全国·高三专题练习）函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有

A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】先求直线为函数的图象上一点，处的切线方程，再设直线与曲线相切于点，，进而可得，根据函数图象的交点即可得出结论．

【详解】解：，，，，

切线的方程为，

即，①

设直线与曲线相切于点，，

，，．

直线也为

即，②

由①②得，

如图所示，在同一直角坐标系中画出的图象，即可得方程有两解，故切点有2个.

故选：C

二、填空题

7．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）与曲线和都相切的直线方程为__________.

【答案】

【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程求解.

【详解】设直线与曲线相切于点，

因为，所以该直线的方程为，即，

设直线与曲线相切于点，

因为，所以该直线的方程为，即，

所以，解得，

所以该直线的方程为，

故答案为：.

8．（2023·全国·高三专题练习）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线的方程______．

【答案】或

【分析】假设切点分别为，，根据导数几何意义可求得公切线方程，由此可构造方程求得，代入公切线方程即可得到结果.

【详解】设公切线与相切于点，与相切于点，

，，公切线斜率；

公切线方程为：或，

整理可得：或，

，即，

，解得：或，

公切线方程为：或.

故答案为：或.

9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为______．

【答案】或

【分析】分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，，即得解.

【详解】解：由得，设切点为，所以切线的斜率为，

则直线l的方程为：；

由得，设切点为，所以切线的斜率为，

则直线l的方程为：．

所以，，

消去得，

故或，所以直线l的方程为：或．故答案为：或

10．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知直线是曲线与的公切线，则__________.

【答案】

【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算.

【详解】设曲线上切点，，

切线斜率，切线方程，

即

同理，设曲线上切点，，

切线斜率，切线方程，

即，

所以，解得，

所以，，.

故答案为：.

2.公切线中的参数问题

一、单选题

1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】D

【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.

【详解】设是图象上的一点，，

所以在点处的切线方程为，①，

令，解得，

，所以，

，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），

所以，此时①可化为，

所以.

故选：D

2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线方程即可得解.

【详解】因为直线与曲线相切，切点为，

可知直线的方程为，

又直线与曲线也相切，切点为，

可知直线的方程为，

所以，两式相除，可得，

所以.

故选：B

3．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知曲线在点处的切线也与曲线相切，则所在的区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设切线l与曲线的切点为，通过导数分别写出切线方程，由两条切线重合得出方程，再通过此方程有解得出结果.

【详解】设该切线为l，对求导得，

所以l的方程为，即．

设l与曲线相切的切点为，

则l的方程又可以写为，即．

所以，．

消去m，可得，，

令，则．设，

当时，，所以在上单调递增，又，，

所以，所以．

故选：C.

4．（2023·全国·高三专题练习）若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别设公切线与和的切点，，根据导数的几何意义列式，再化简可得，再求导分析的最大值即可

【详解】，，

设公切线与的图像切于点，

与曲线切于点，

所以，

故，所以，

所以，

因为，故，

设，

则，令

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以，

所以实数a的最大值为e，

故选：A.

5．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数，的图象都相切，则称直线l为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数a的值为（    ）

A．e B． C． D．

【答案】C

【分析】设直线与的切点为，然后根据导数的几何意义可推得切线方程为，.两条切线重合，即可得出有唯一实根.构造，根据导函数得出函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可得出答案.

【详解】设直线与的切点为，

因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，

即该直线的方程为，即.

设直线与的切点为，

因为，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为，

即该直线的方程为，即.

因为函数和有且只有一条公切线，

所以有，

即有唯一实根.

令，则.

解，可得.

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递减.

所以在处取得最大值.

当时，，，函数图象如图所示，

因为，有唯一实根，所以只有.

故选：C

6．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，，即该方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a的取值范围.

【详解】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，

又，则公切线的斜率，则，所以，

则公切线方程为，即，

代入得：，则，整理得，

若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，

设，则，令得，

当时，，单调递增，时，，单调递减，

又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：

所以，解得，故实数a的取值范围为.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为，且，，且，可得，即有，得公切线方程为，代入切点将双变量方程转化为单变量方程，根据含参方程进行“参变分离”得，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围.

7．（2023·全国·高三专题练习）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围.

【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，

对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，

所以切线方程分别为：，，两切线重合，

对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （），

，得：，

当 时， ，是减函数，

当 时， ，是增函数，

∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于；

∴，∴；

故选：D．

8．（2023·河北·统考模拟预测）若曲线与曲线存在公切线，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，设公切线与切于点，与曲线切于点，，即可得到，则或，从而得到，在令，，利用导数求出函数的最小值，即可得解；

【详解】因为，，

所以，，

设公切线与切于点，与曲线切于点，，

所以，

所以，所以，所以或，

因为，所以，所以，

所以，

令，，

则，所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以实数的最小值为.

故选：A

【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，最后构造函数，利用导数求出函数的最值.

二、多选题

9．（2023·湖北·统考模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】ABC

【分析】设该直线与相切于点，求出切线方程为，设该直线与相切于点，求出切线方程为，联立方程组，得到，令，讨论的单调性，从而得到最值，则可得到，解出的取值范围，四个选项的值分别比较与区间端点比较大小即可判断是否在区间内.

【详解】设该直线与相切于点，因为，所以，

所以该切线方程为，即.

设该直线与相切于点，因为，所以，

所以该切线方程为，即，

所以，

所以，

令，

所以当时，0；当时，；

在和上单调递减；在和上单调递增；

又，所以，

所以，解得，所以的取值范围为，

所以A正确；

对于B，，所以，所以B正确；

对于C， 因为，所以C正确；

对于D， 因为，所以D不正确.

故选：ABC

10．（2023·全国·高三专题练习）函数，，下列说法正确的是（    ）．（参考数据：，，，）

A．存在实数m，使得直线与相切也与相切

B．存在实数k，使得直线与相切也与相切

C．函数在区间上不单调

D．函数在区间上有极大值，无极小值

【答案】AB

【分析】对AB，设直线与、分别切于点，利用点在线上及斜率列方程组，解得切点即可判断；

对CD，令，由二阶导数法研究函数单调性及极值.

【详解】对AB，设直线l与、分别切于点，，，

则有，解得或.

当，则，，，公切线为，此时存在实数满足题意；

当，则，，，公切线为，此时存在实数满足题意，AB对；

对CD，令，，则，

由得在单调递增，

由得，时，，单调递增，CD错.

故选：AB.

三、填空题

11．（2023·全国·高三专题练习）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则___________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义以及切线方程的求解方法求解.

【详解】设公切线在曲线与上的切点分别为，

由可得，所以，解得，

所以,则，

所以切线方程为，

又由，可得，所以，即，

所以，

又因为切点，也即在切线上，

所以，解得，

所以.

故答案为: .

12．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.

【详解】设公切线与曲线和的切点分别为，，其中，

对于有，则上的切线方程为，即，

对于有，则上的切线方程为，即，

所以，有，即，

令，，

令，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，故，即.

∴正实数的取值范围是.

故答案为：.

13．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若存在直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数的最大值为___________.

【答案】

【分析】设切线与两曲线的切点分别为，，根据导数的几何意义分别求出切线方程，可得，由题意可知有解，故令，利用导数求得其最值，即可求得答案.

【详解】由题意知两曲线与存在公切线，

时，两曲线与，不合题意；

则的导数，的导数为，

设公切线与相切的切点为，与曲线相切的切点为，

则切线方程为，即，

切线方程也可写为，即，

故，即，即，

即有解，

令 ，

则，

令可得，当时，，当时，，

故在是增函数，在是减函数，

故的最大值为，

故，所以，即实数的最大值为，

故答案为：