素养拓展5 嵌套函数的零点问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展05 嵌套函数的零点问题（精讲+精练）

1.嵌套函数形式：形如

2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤

(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．

(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．

注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．

【典例1】已知函数，则函数的零点个数是 （       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

分析：令→→作函数与图象→两个交点的横坐标为→、判断的零点个数.

【解析】令，则，

作出的图象和直线，由图象可得有两个交点，设横坐标为，

∴.当时，有，即有一解；当时，有三个解

∴综上，共有4个解，即有4个零点，故选A

【题型训练】

一、单选题

1．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）已知函数，则函数零点个数最多是（    ）

A．10 B．12 C．14 D．16

【答案】B

【分析】画出的图像，设，首先讨论的根的情况，再分析根的情况即可分析出根的情况，即可得出答案．

【详解】画出的图像，如图所示，

由，令，得，

设，由图像可知，则，

得的图像，如图所示，

由图像可知，，

①当时，即，没有根；

②当时，即，此时有3个根，，，

当时，即，有3个根，

当时，即，有4个根，

当时，即，有4个根，

故时，有11个根；

③当时，，此时有三个根，，

当时，即，有4个根，

当时，即，有4个根，

当时，即，有4个根，

故时，有12个根；

综上所述，最多有12个根，

故选：B．

2．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）函数，则函数的零点个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解.

【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，，

则或，因为在上单调递减，在上单调递增，

所以，若，易知方程无解，

若，当时，由，得或（舍去），

此时方程有唯一的解；

当时，由，得，此时方程有唯一的解，

综上所述可知函数的零点个数为个，

故选：A.

3．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知函数，则方程的实数解的个数至多是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案.

【详解】设，则化为，

又，所以，，

如图为函数的大致图象：

由图可得，当时，有两个根，即或，此时方程最多有5个根；

当时，有三个根，即或或，此时方程最多有6个根；

当时，有两个根，即或，此时方程有4个根；

当时，有一个根，即，此时方程有2个根；

综上，方程的实数解的个数至多是6个.

故选：B.

4．（2023·全国·高三期末）已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题对取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.

【详解】令，

当时，方程为，即，

作出函数及的图象，

由图象可知方程的根为或，即或，

作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；

当时，方程为，即，

由图象可知方程的根，即，

结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.

故选：C.

5．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数，则函数的零点个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定函数的值域，利用换元法令 ，则，则将函数的零点问题转化为函数的图象的交点问题，作函数图象，确定其交点以及其横坐标范围，再结合的图象，即可确定的零点个数.

【详解】已知，当时， ，

当时，，

作出其图象如图示：

可知值域为，设 ，则，

则函数的零点问题即为函数的图象的交点问题，

而，作出函数的图象如图示：

可知：的图象有两个交点，横坐标分别在之间，

不妨设交点横坐标为，

当时，由图象和直线可知，二者有两个交点，

即此时有两个零点；

当时，由图象和直线可知，二者有3个交点，

即此时有3个零点，

故函数的零点个数是5，故选：B.

【点睛】本题考查了复合函数的零点个数的确定问题，综合性较强，涉及到函数的值域以及分段函数的性质的应用和数形结合的思想方法，解答的关键是采用换元法将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题.

6．（2023春·江西吉安·高三吉安一中校考阶段练习）已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，进而考虑与的交点，分，，，，五种情况讨论求解即可.

【详解】设，则，令，得，

我们先来考虑与的交点，

令，

当时，与只有1个交点，交点横坐标，此时有1个零点；

当时，与只有2个交点，交点横坐标，此时有3个零点.

当时，与只有3个交点，交点横坐标，此时有5个零点.

若与相切时，设切点，

所以，切线斜率，解得，

故当时，与没有交点，没有零点.

当时，与有2个交点，交点横坐标，此时有2个零点.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元，将问题转化为直线与的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.

7．（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）已知函数，若函数有两个零点，则函数的零点个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数的图象，根据题意利用图象分析可得，令并将问题转化为与交点横坐标t对应x值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.

【详解】当时，则在上单调递增，在上单调递减，

则；

当时，则在上单调递增.

作出函数的图象如图所示，

令，则，

若函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个交点，

所以，解得，

故，

令，即，

令，则或，

解得或，

即或，则或，

由图象可得有个实数根，有个实数根，

故的零点个数为，

故选：B．

8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】C

【分析】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案.

【详解】设，令可得：,

对于，，故在处切线的斜率值为，

设与相切于点，

切线斜率，则切线方程为：，

即，解得：；

由于，故作出与图象如下图所示，

与有四个不同交点，

即与有四个不同交点，

设三个交点为，由图象可知：，

作出函数的图象如图，

由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点，

的零点个数为7个，

故选：C

【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.

9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可先做出函数的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围.

【详解】当时，．由，得，由，得，

则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示．

设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，

则最多有3个不同的实根，不符合题意．

当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，

则有4个不同的实根，不符合题意．

当时，有3个不同的实根，，，且，，．

有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，

则有7个不同的实根，不符合题意．

当时，有2个不同的实根，，且，．

有2个不同的实根，有3个不同的实根，

则有5个不同的实根，符合题意．

当时，有2个不同的实根，，且，，

有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．

当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，

综上，m的取值范围是．

故选：C.

【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有，，，，这几种情况,也是解题关键.

二、填空题

10．（2023秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数，则函数的所有零点之和为___________．

【答案】

【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．

【详解】设，则，

①当时，，得；

②当时，，得；

综上所述：若，则或.

故或，则有：

①由，可得或，解得或；

②由，可得或，解得或；

综上所述：函数的所有零点为，，，4.

故所有零点的和为．

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：根据题意分和两种情况讨论，运算求解,

11．（2023·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）已知函数则函数的零点个数为___________．

【答案】5

【分析】方法一：令，将问题转化为，根据图象分析得有两个零点为，，从而考虑与根的个数即可求解；方法二：利用导函数以及零点的存在性定理讨论的根分别为．

，从而用数形结合的方法确定与根的个数即可求解.

【详解】方法一：大致图象如下

令

所以式方程的一个根，

再由图可知式方程的另一个根，

当时，与的图象有2个交点，所以有2个实根，

当时，与的图象有3个交点，所以有3个实根，

共有5个零点.

方法二：

令时，

，

当时，，

所以在单调递减，

所以在有且仅有一个零点，

其中，则有且仅有一个零点，其中．

时，时，

在单调递增，

，

在有且仅有一个零点，，

时，结合函数图象可知无解，有两个根

因为，所以由图象可得与的图象有2个交点，

所以有2个实根，

当时，与的图象有3个交点，

所以有3个实根，

共有5个零点.

故答案为:5.

12．（2023秋·广东深圳·高三深圳市高级中学校考阶段练习）已知，为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据的图象判断与在不同m取值范围下的交点个数，并确定交点横坐标的范围，结合解析式求横坐标关于m的表达式，结合题图及有9个零点，列不等式组求m范围.

【详解】由题设，其图象如下，

当，与只有一个交点且；

当，与有两个交点且或；

当，与有三个交点且；

当，与有两个交点且；

由题图，要使，有9个零点，则，，且有，

根据解析式：，

综上，， 可得，故.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：根据、的图象及零点个数，确定时函数对应零点的范围，进而求各零点关于m的表达式，列不等式求参数范围.

13．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数，若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值集合为______.

【答案】

【分析】当时，易知无解；当时，设，采用数形结合的方式可知，可知无解；当时，设，采用数形结合的方式可知，通过讨论的范围可确定或的取值，由此可构造方程求得的值.

【详解】；

当时，，此时无解，不合题意；

当时，设，则与的大致图象如下图所示，

则对应的两根为，

此时与无解，即方程无解，不合题意；

当时，设，则与的大致图象如下图所示，

则对应的两根为，

若恰有三个实数解，则和与共有个不同的交点，

①当时，与有两个不同交点，如图所示，

与有且仅有一个交点，则，，解得：；

②当时，与有两个不同交点，

与有且仅有一个交点，则，与矛盾，不合题意；

③当时，与有两个不同交点，如图所示，

与有且仅有一个交点，则，，解得：；

综上所述：实数的取值集合为.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

14．（2023·浙江·二模）已知函数，则至多有______个实数解.

【答案】7

【分析】分类讨论的大小关系脱掉绝对值符号，求导，判断函数单调性，进而作出函数的大致图象，设，则即，从而将的解的个数问题转化函数图象的交点个数问题，数形结合，即可求得答案.

【详解】由可得，由知，，

当时，，，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，

当时，，，在单调递增，

则可作出函数的大致图像如图：

三个图分别对应时的情况，

设，则即，

则的解的个数问题即为的交点个数问题，

结合的图象可知的交点个数最多是3个，

即为图2个和图3所示情况，

不妨设交点横坐标为，当如图2所示时，，

此时无解，有1个解，最多有3个解，

故此时最多有4个解；

当如第3个图所示时，，

此时有一个解，最多有3个解，最多有3个解，

故此时最多有7个解；

故答案为：7

【点睛】方法点睛：解答此类复合函数的解的个数问题，一般采用换元法，将方程解的个数转化为函数图象的交点个数问题，数形结合，解决问题.