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素养拓展2 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版
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这是一份素养拓展2 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版，共28页。试卷主要包含了知识点梳理，题型精讲精练，填空题等内容，欢迎下载使用。
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展02 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！
设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若 有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
【说明】
（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2.分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
3.其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)
4.其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5.其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数．
思考：对的四种取值情形；或；或等又如何处理呢？【同理！】
二、题型精讲精练
1.基本不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围.
【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.
故选：D.
2．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，
故选：D.
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当， 即时，等号成立．
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25．
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）当不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求出，将恒成立问题转化为，然后解不等式即可.
【详解】恒成立，即
，
又，
上述两个不等式中，等号均在时取到，
，
，解得且，又，
实数的取值范围是.
故选：B.
6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，然后求出的最小值即可，而，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】依题意，，
因为正数满足，
所以
，
当且仅当，即时两个等号同时成立，
所以的取值范围为.
故选：B
7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.
【详解】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合条件，由可得，然后由可得答案.
【详解】因为，所以，
所以由可得，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时取等号，
故选：B．
9．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【详解】依题意，．
又，
而
，
当且仅当，即，时，
前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为
故选：
10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】将题目转化为恒成立问题，即求的最小值，利用基本不等式求出的最小值，进而可得实数的取值范围，则答案可求．
【详解】解：， 即恒成立，
，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
．
故选：ABC．
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查恒成立问题的求解，考查学生计算能力和转化能力，是中档题．
12．（2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【分析】利用基本不等式求出的最小值，再求出的最大值即可求解.
【详解】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．
因为．
若恒成立，则，解得．
故选：AB.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习），，且恒成立，则的最大值为__．
【答案】4
【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．
【详解】解：由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案为：4．
14．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.
【详解】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论．
【详解】解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式等价为a恒成立，
设m，则m＞0，
平方得m2＝（）2111+1＝2，
当且仅当x＝y时取等号，
∴m2≤2，则0
则a，
故答案为[，+∞）
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强．
16．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
2.一元二次不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据新定义得，再参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】等价于，即，
记，，．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由利用二次函数的性质计算可得答案.
【详解】，
∵不等式恒成立，
∴，
解得，
故选：B．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】对进行分类讨论，当时不等式恒成立，时不等式恒成立，需要时且，可求得的范围．
【详解】当时，不等式化为恒成立，
当时，要使不等式恒成立，需，解得，
综上可得，不等式对任意恒成立，则的取值范围是．故选：A．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.
【详解】因为对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立．
设，
，，
当，即时，，
∴实数a的取值范围是.
故选：D.
5．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先将除了以外的量看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解.
【详解】由基本不等式，，故只需要即可，
即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，
于是在上递增，此时；
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，
当，当，注意到，故当时，，故.
综上，.
故选：D
6．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化，解之即可.
【详解】因为点在直线上，
所以，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
因为关于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以.
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则a的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】，可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，则判别式小于等于0恒成立，即在时恒成立，记，利用导数求出最大值即可.
【详解】，即 ，
算式可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，
则判别式恒成立，即在时恒成立，
记，则，
，解得，，解得，
在上单调递增，在上单调递减，，
∴，则a的最小值是2，
故选：D
8．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若对，使得（且）恒成立，则实数的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式恒成立，得到，求出实数的值.
【详解】对取对数可得：.
即关于x的不等式对恒成立，
只需
所以，解得：.
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解.
【详解】设（），（），
因为，所以当时，；
当时，；
当时，；
由不等式恒成立，得：或，
即当时，恒成立，
当时，恒成立，
所以当时，，则，即，
则当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
10．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可得对恒成立，对整理分析可得：对恒成立，结合二次函数的性质分析运算.
【详解】∵当时，则，可得；当时，则，可得；
∴当时，，
故原题意等价于对恒成立，
整理得，
∵，则，可得，
故原题意等价于对恒成立，
构建，可知开口向上，对称轴，
可得，或，或，
解得，
所以a的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：
1.对的符号分析可得：对恒成立；
2.对因式分解，分析可得：对恒成立.
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由一元二次不等式在R上恒成立可得，即可求的范围.
【详解】由题设，，即，
所以.
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.
【详解】在内有解，，其中；
设，则当时，，
，解得：，的取值范围为.
故答案为：.
13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可.
【详解】解：原不等式可化为对恒成立．
（1）当时，若不等式对恒成立，
只需，解得；
（2）当时，若该二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
综上：.故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
【答案】
【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解.
【详解】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案为：
15．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【分析】原不等式可转化为，利用换元法，令，将不等式转化为一元二次不等式在区间上恒成立问题，利用一元二次函数的图象和性质求解即可.
【详解】因为，所以原不等式可转化为在上恒成立，
令，，
要使在上恒成立，
当时，不符合题意，
当时，若要在上恒成立，
由一元二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即，
当对称轴，即时，只需，解得；
当对称轴，即时，只需，解得；
综上所述，
故答案为：
16．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．
【详解】由不等式对恒成立，
可转化为对恒成立，即，
而，
当时，有最大值，所以，
故答案为：．
17．（2023·高三课时练习）若对任意恒成立，则实数的取值范围是________
【答案】.
【详解】由已知得不等式对任意恒成立，所以不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，当时，则不等式对任意不恒成立，所以．所以 ，即 ，所以．解得．
【点睛】解对数不等式应将两边都化成同底数的对数，利用对数函数的单调性比较真数的大小．不等式对任意恒成立，可转化为不等式对任意恒成立，分与两种情况讨论．时结合二次函数的图像得结论．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
3.一元二次不等式有解问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解.
【详解】因为不等式在上有解，
所以不等式在上有解，
令，则，
所以，
所以实数的取值范围是
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，
令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.
【详解】存在，不等式成立，
则，能成立，
即对于，成立，
令，，
则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，
又，所以f(x)>−3，
所以.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；
②当时，为开口方向向上的二次函数，
只需，即；
③当时，为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数，使得成立；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）设向量满足，，若，，则向量与的夹角不等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】利用向量数量积的运算律将模长的平方写为向量的平方，结合一元二次不等式在实数集上有解求解即可.
【详解】设向量与的夹角为，，
由向量数量积的运算律可将原问题转化为，，
即，根据题意整理得有解，
所以，
解得，
故选：C
5．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为正实数、满足，则，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为不等式有解，则，即，
即，解得或.
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，故 ，故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；
若时，原不等式为，无解，不符合题意；
②当时，即，
若的解集是空集，则有，解得，
则当不等式的解集不为空集时，有或且，
综合可得：实数的取值范围为；
故选：C．
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.
【详解】在内有解，，其中；
设，则当时，，
，解得：，的取值范围为.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a的范围．
【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意；
当时，若不等式有解，
则满足，解得或；
当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，
所以，
综上可得，实数a的取值范围是.
10．（2023·上海·高三专题练习）对数列，，如果存在正整数，使得，则称数列是数列的“优数列”，若，，并且是的“优数列”，也是的“优数列”，则的取值范围是____________．
【答案】．
【分析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围.
【详解】因为是的“优数列”，
所以存在正整数，
即，
显然成立，所以；
因为是的“优数列”，
所以存在正整数，
即，
当时，由于对称轴，所以必存在正整数，使得
综上，
故答案为：
【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
11．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.
【详解】，
由题意知，在上有实数解，
即有实数解，
当时，显然满足，
当时，只需
综上所述，故答案为：
【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.
12．（2023·全国·高三专题练习）若，使成立，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】由可得，，
因为，所以，根据题意，即可，
设，易知在单调递减，在单调递增，
所以，所以，
故答案为：
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展02 不等式中的恒成立问题（精讲+精练）
一、知识点梳理
1.结合图象务必理解掌握下面几个重要结论！
设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
③若有解（即存在使得成立），则；
④若有解（即存在使得成立），则；
⑤若 有解（即无解），则；
⑥若无解（即有解），则．
【说明】
（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍）
2.分离参数的方法
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
3.其他恒成立类型一
①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)．
③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法)
4.其他恒成立类型二
①，使得方程成立．
②，使得方程成．
5.其他恒成立类型三
①，；
②，；
③，；
④，．
【方法】处理时，把当常数；处理时，把当常数．
思考：对的四种取值情形；或；或等又如何处理呢？【同理！】
二、题型精讲精练
1.基本不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围.
【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.
故选：D.
2．（2023·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式可取的最小值，从而可求实数m的取值范围.
【详解】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，
故选：D.
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【分析】由得到，从而利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到.
【详解】因为，所以，
，
当且仅当， 即时，等号成立．
因不等式恒成立，只需，
因此，故实数的最大值为25．
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）当不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式求出，将恒成立问题转化为，然后解不等式即可.
【详解】恒成立，即
，
又，
上述两个不等式中，等号均在时取到，
，
，解得且，又，
实数的取值范围是.
故选：B.
6．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，然后求出的最小值即可，而，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】依题意，，
因为正数满足，
所以
，
当且仅当，即时两个等号同时成立，
所以的取值范围为.
故选：B
7．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围.
【详解】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
8．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合条件，由可得，然后由可得答案.
【详解】因为，所以，
所以由可得，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时取等号，
故选：B．
9．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【详解】依题意，．
又，
而
，
当且仅当，即，时，
前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为
故选：
10．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】将题目转化为恒成立问题，即求的最小值，利用基本不等式求出的最小值，进而可得实数的取值范围，则答案可求．
【详解】解：， 即恒成立，
，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
．
故选：ABC．
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查恒成立问题的求解，考查学生计算能力和转化能力，是中档题．
12．（2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】AB
【分析】利用基本不等式求出的最小值，再求出的最大值即可求解.
【详解】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．
因为．
若恒成立，则，解得．
故选：AB.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习），，且恒成立，则的最大值为__．
【答案】4
【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．
【详解】解：由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案为：4．
14．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.
【详解】由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论．
【详解】解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式等价为a恒成立，
设m，则m＞0，
平方得m2＝（）2111+1＝2，
当且仅当x＝y时取等号，
∴m2≤2，则0
则a，
故答案为[，+∞）
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强．
16．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
2.一元二次不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据新定义得，再参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】等价于，即，
记，，．
故选：D．
2．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由利用二次函数的性质计算可得答案.
【详解】，
∵不等式恒成立，
∴，
解得，
故选：B．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】对进行分类讨论，当时不等式恒成立，时不等式恒成立，需要时且，可求得的范围．
【详解】当时，不等式化为恒成立，
当时，要使不等式恒成立，需，解得，
综上可得，不等式对任意恒成立，则的取值范围是．故选：A．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）对任意的，不等式都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分离参数得对任意的恒成立，则求出即可.
【详解】因为对任意的，都有恒成立，
∴对任意的恒成立．
设，
，，
当，即时，，
∴实数a的取值范围是.
故选：D.
5．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先将除了以外的量看成常量，运用基本不等式先求出左边表达式的最小值，然后利用分离参数，结合对勾函数性质求解.
【详解】由基本不等式，，故只需要即可，
即对于任意的，恒成立，等价于对任意的，，或.
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，
于是在上递增，此时；
当时，由于，原式可变形为，记，
根据对勾函数性质在上递减，在上递增，于是在上递减，在上递增，
当，当，注意到，故当时，，故.
综上，.
故选：D
6．（2023·宁夏中卫·统考二模）已知点在直线上，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得的最小值，从而将问题转化，解之即可.
【详解】因为点在直线上，
所以，
故，
当且仅当且，即时等号成立，
因为关于的不等式恒成立，
所以，解得，
所以.
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则a的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】，可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，则判别式小于等于0恒成立，即在时恒成立，记，利用导数求出最大值即可.
【详解】，即 ，
算式可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，
则判别式恒成立，即在时恒成立，
记，则，
，解得，，解得，
在上单调递增，在上单调递减，，
∴，则a的最小值是2，
故选：D
8．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）若对，使得（且）恒成立，则实数的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式恒成立，得到，求出实数的值.
【详解】对取对数可得：.
即关于x的不等式对恒成立，
只需
所以，解得：.
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解.
【详解】设（），（），
因为，所以当时，；
当时，；
当时，；
由不等式恒成立，得：或，
即当时，恒成立，
当时，恒成立，
所以当时，，则，即，
则当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
10．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意分析可得对恒成立，对整理分析可得：对恒成立，结合二次函数的性质分析运算.
【详解】∵当时，则，可得；当时，则，可得；
∴当时，，
故原题意等价于对恒成立，
整理得，
∵，则，可得，
故原题意等价于对恒成立，
构建，可知开口向上，对称轴，
可得，或，或，
解得，
所以a的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点睛：
1.对的符号分析可得：对恒成立；
2.对因式分解，分析可得：对恒成立.
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由一元二次不等式在R上恒成立可得，即可求的范围.
【详解】由题设，，即，
所以.
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.
【详解】在内有解，，其中；
设，则当时，，
，解得：，的取值范围为.
故答案为：.
13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先移项，根据不等式是否为二次不等式分类讨论，当是一次不等式，若对恒成立，只需是恒等式，若是二次不等式，只需开口向上且判别式小于零，建立不等式解出即可.
【详解】解：原不等式可化为对恒成立．
（1）当时，若不等式对恒成立，
只需，解得；
（2）当时，若该二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
综上：.故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.
【答案】
【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解.
【详解】可转化为.
设，则是关于m的一次型函数.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案为：
15．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【分析】原不等式可转化为，利用换元法，令，将不等式转化为一元二次不等式在区间上恒成立问题，利用一元二次函数的图象和性质求解即可.
【详解】因为，所以原不等式可转化为在上恒成立，
令，，
要使在上恒成立，
当时，不符合题意，
当时，若要在上恒成立，
由一元二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即，
当对称轴，即时，只需，解得；
当对称轴，即时，只需，解得；
综上所述，
故答案为：
16．（2023·广西·统考模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围．
【详解】由不等式对恒成立，
可转化为对恒成立，即，
而，
当时，有最大值，所以，
故答案为：．
17．（2023·高三课时练习）若对任意恒成立，则实数的取值范围是________
【答案】.
【详解】由已知得不等式对任意恒成立，所以不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，当时，则不等式对任意不恒成立，所以．所以 ，即 ，所以．解得．
【点睛】解对数不等式应将两边都化成同底数的对数，利用对数函数的单调性比较真数的大小．不等式对任意恒成立，可转化为不等式对任意恒成立，分与两种情况讨论．时结合二次函数的图像得结论．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
3.一元二次不等式有解问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解.
【详解】因为不等式在上有解，
所以不等式在上有解，
令，则，
所以，
所以实数的取值范围是
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，
令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.
【详解】存在，不等式成立，
则，能成立，
即对于，成立，
令，，
则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，
又，所以f(x)>−3，
所以.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.
【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；
②当时，为开口方向向上的二次函数，
只需，即；
③当时，为开口方向向下的二次函数，
则必存在实数，使得成立；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）设向量满足，，若，，则向量与的夹角不等于（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】利用向量数量积的运算律将模长的平方写为向量的平方，结合一元二次不等式在实数集上有解求解即可.
【详解】设向量与的夹角为，，
由向量数量积的运算律可将原问题转化为，，
即，根据题意整理得有解，
所以，
解得，
故选：C
5．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）．
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为正实数、满足，则，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因为不等式有解，则，即，
即，解得或.
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，故 ，故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案．
【详解】解：根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；
若时，原不等式为，无解，不符合题意；
②当时，即，
若的解集是空集，则有，解得，
则当不等式的解集不为空集时，有或且，
综合可得：实数的取值范围为；
故选：C．
二、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.
【详解】在内有解，，其中；
设，则当时，，
，解得：，的取值范围为.
故答案为：.
9．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a的范围．
【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意；
当时，若不等式有解，
则满足，解得或；
当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，
所以，
综上可得，实数a的取值范围是.
10．（2023·上海·高三专题练习）对数列，，如果存在正整数，使得，则称数列是数列的“优数列”，若，，并且是的“优数列”，也是的“优数列”，则的取值范围是____________．
【答案】．
【分析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围.
【详解】因为是的“优数列”，
所以存在正整数，
即，
显然成立，所以；
因为是的“优数列”，
所以存在正整数，
即，
当时，由于对称轴，所以必存在正整数，使得
综上，
故答案为：
【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
11．（2023·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.
【详解】，
由题意知，在上有实数解，
即有实数解，
当时，显然满足，
当时，只需
综上所述，故答案为：
【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.
12．（2023·全国·高三专题练习）若，使成立，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】由可得，，
因为，所以，根据题意，即可，
设，易知在单调递减，在单调递增，
所以，所以，
故答案为：
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