素养拓展22 数列与不等式（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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一、知识点梳理
一、数列与不等式
数列与不等式的结合，一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围.
1.常见放缩公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
2.数学归纳法
（1）数学归纳法定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当（，）时命题成立，证明当时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
注：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当（，）时，命题成立．（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，，…，命题都成立．
（2）运用数学归纳法的步骤与技巧
①用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：当取第一个值结论正确；
（2）假设当（，）时结论正确，证明当时结论也正确
由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数都正确
②用数学归纳法证题的注意事项
（1）弄错起始．不一定恒为1，也可能或3（即起点问题）．
（2）对项数估算错误．特别是当寻找与的关系时，项数的变化易出现错误（即跨度问题）．
（3）没有利用归纳假设．归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就过不去了，整个证明过程也就不正确了（即伪证问题）．
（4）关键步骤含糊不清．“假设时结论成立，利用此假设证明时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程中要把步骤写完整，另外要注意证明过程的严谨性、规范性（即规范问题）．
二、题型精讲精练
【典例1】（2021·天津·统考高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
【典例2】（2020·全国·统考高考真题）设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【题型训练-刷模拟】
1.数列不等式
一、单选题
1．（2023春·北京海淀·高二人大附中校考期中）已知数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知数列满足，数列的前n项和为，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·河南驻马店·统考二模）设数列的前项和为，，且，若恒成立，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．8
4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．16C．D．32
5．（2023·福建·统考模拟预测）已知数列满足，，恒成立，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
6．（2023春·江西九江·高二校考期中）数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．（2023·上海·高三专题练习）已知数列满足，，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江衢州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，且，若，数列的前项积为，则使的最大整数为（ ）
A．20B．21C．22D．23
9．（2023·江西吉安·统考一模）已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．数列不可能为等差数列B．对任意正数t，是递增数列
C．若，则D．若，数列的前n项和为，则
10．（2023·四川遂宁·校考模拟预测）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022春·北京·高二清华附中校考期中）对于数列，若，都有（t为常数）成立，则称数列具有性质．数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
13．（2023春·河南开封·高二校考期中）已知数列的前n项和为，，若对任意正整数n，，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022秋·安徽合肥·高二统考期末）在数列中，若，且对任意的有，则使数列前n项和成立的n最大值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
16．（2023春·上海·高三统考开学考试）设为正数列的前项和，，，对任意的，均有，则的取值为 .
17．（2023·陕西延安·校考一模）已知数列的前项和为，且，若，则正整数的最小值是 ．
18．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知数列满足，且对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围 ．
19．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 .
20．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列的前n项和，设为数列的前n项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
21．（2023春·江西赣州·高二江西省全南中学校考期末）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 .
22．（2023春·辽宁锦州·高二校考阶段练习）已知数列的首项，且满足，则存在正整数n，使得成立的实数组成的集合为
23．（2021·江苏·高二专题练习）已知正数数列满足，且对任意，都有，则的取值范围为 ．
三、解答题
24．（2024秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
25．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，是公差为1的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
26．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知数列满足，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，证明：.
27．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求满足条件的的最小值.
28．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）数列满足，数列的前n项和为，数列满足，数列的前n项和为.
(1)求数列的前n项和；
(2)求证：
29．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
30．（2023·全国·高三专题练习）设，.
(1)若，求，及数列的通项公式；
(2)若，问：是否存在实数c，使得对所有成立？证明你的结论.
31．（2023春·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)若对一切正整数.不等式恒成立.求的最小值.
32．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
33．（2023春·江西赣州·高二江西省龙南中学校考期末）已知数列的前项和为，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
34．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列满足，且成等比数列.
（i）求的通项公式；
（ii）设，证明：.
35．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，若对任意的正整数n都有
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，若恒成立，求的最小值.
37．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，.
(1)求数列前项和；
(2)证明：对任意的且时，
38．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时，
(1)；
(2)；
(3)．
39．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）已知数列中，是其前项的和，，.
(1)求，的值，并证明是等比数列；
(2)证明：.
40．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
41．（2023春·辽宁大连·高二校联考期中）已知数列的前项和为，，是与的等差中项.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围；
(3)设，且数列的前项和为，求证：.
42．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）数列满足，，，，．
(1)求的通项；
(2)若，恒成立，求的取值范围．
43．（2023·全国·高三专题练习）设无穷数列满足，．证明∶
(1)当时，．
(2)不存在实数c，使得对所有的n都成立．
2.数学归纳法
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）首项为正数的数列满足．
(1)证明：若为奇数，则对，都是奇数；
(2)若对，都有，求的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列满足.
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)求数列的前项和.
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列中，，证明：，（）．
4．（2023·全国·高三专题练习）设，给定数列，其中，，．证明：
(1)．
(2)如果，那么当时，必有．
5．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，已知．证明：
(1)；
(2)．
6．（2022秋·广东广州·高三中山大学附属中学校考期中）已知数列满足：，．
(1)证明：为等差数列，并求的通项公式；
(2)数列，求满足的最大正整数n．
7．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知正项数列满足，.
(1)计算,，猜想的通项公式并加以证明；
(2)若，求数列的前项和.
8．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知数列满足，．
(1)计算：，猜想数列的通项公式，并证明你的结论；
(2)若，，求k的取值范围．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．
(1)若数列是常数数列，求m的值．
(2)当时，证明：．
(3)求最大的正数m，使得对一切整数n恒成立，并证明你的结论．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，，．
(1)证明：．
(2)设是数列的前n项和，证明：．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，证明：
(1)．
(2)，其中无理数．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知每一项都是正数的数列满足，．
(1)证明：．
(2)证明：．
(3)记为数列的前n项和，证明∶．
13．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前n项和为，求证：当时，．
14．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．
(1)若数列为单调递减数列，求实数a的取值范围．
(2)当时，设数列前n项的和为，证明：当时，．
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）数列满足，
(1)求的值；
(2)求数列前项和；
(3)令，，证明：数列的前项和满足．