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素养拓展26 立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
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这是一份素养拓展26 立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用），文件包含素养拓展26立体几何中的轨迹问题精讲+精练原卷版docx、素养拓展26立体几何中的轨迹问题精讲+精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、立体几何中的轨迹问题
立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.
二、常用的解决策略
(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.
(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.
(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.
(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析
令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为,如图②.
当时,截口曲线为椭圆;
(2)当时,截口曲线为抛物线;
(3)当时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线.
二、题型精讲精练
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
①平行有关的轨迹问题的解题策略
1.线面平行转化为面面平行得轨迹;
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
②垂直有关的轨迹问题的解题策略
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2.利用空间坐标运算求轨迹;
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（ ）
A．aB．aC．D．
【答案】D
【分析】连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项.
【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，
则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD，
又，∴面A1BD∥面GHN，
又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a.
【典例2】在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ）
A．点B．线段C．线段D．平面
【答案】B
【分析】如图，连接,证明,又，即得解.
【详解】
如图，连接,
因为平面,所以平面, 又平面,
所以,又.所以点在线段上.故选：B
2.距离、角度有关的的轨迹问题
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
2.利用空间坐标计算求轨迹.
②角度有关的轨迹问题的解题策略
1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【答案】D
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出点P的轨迹方程即可判断.
【详解】
如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题意可知PE=PG
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由PE=PG得：
，平方得：即点P的轨迹是双曲线.故选：D.
【典例4】正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线
【答案】D
【分析】根据题设分析可知：点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断所在轨迹的形状.
【详解】由题设，点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，如下图示：
当是边上移动过程中，只与下方锥体有相交，点轨迹为抛物线；
当是边上移动过程中，与上方锥体也有相交，点轨迹为双曲线；
故选：D
3.翻折有关的的轨迹问题
①翻折有关的轨迹问题的解题策略
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例5】1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，从而可得 ，，，利用勾股定理可得，再由离心率的定义即可求解.
【详解】在中，设，
，，，，
， ∴长轴长，，则离心率.故选：A
【题型训练2-刷模拟】
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥的底面边长为2，高为2，E是边的中点，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A．B．C．4D．
2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体中，点满足，，分别为棱，的中点，点在正方体的表面上运动，满足面，则点的轨迹所构成的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形D．点轨迹的长度为
6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ．
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体的棱长为，动点P在内，满足，则点P的轨迹长度为 ．
9．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点，点为棱上的一点，且，，则动点的轨迹的长度为 ．
2.距离、角度有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体的外接球的表面积为，，点P在四边形内，且直线BP与平面所成角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东淄博·统考三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值， 则动点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（ ）
①若点满足，则动点的轨迹是线段；
②若点满足，则动点的轨迹是椭圆的一部分；
③在线段上存在点，使直线与．所成的角为；
④当在棱上移动时，的最小值是．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）在棱长为3的正方体中，为棱上一点，且，则正方体表面到点距离为的点的轨迹总长度为 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是 ．
10．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 .
3.翻折有关的的轨迹问题
一、单选题
1．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，正方形的边长为为的中点，将沿向上翻折到，连接，在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）
①四棱锥的体积最大值为②．中点的轨迹长度为
③与平面所成角的正弦值之比为
④三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值
A．①③B．②③C．①③④D．①②③
3．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为
A．B．C．D．
一、知识点梳理
一、立体几何中的轨迹问题
立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.
二、常用的解决策略
(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.
(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.
(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.
(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.
三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析
令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为,如图②.
当时,截口曲线为椭圆;
(2)当时,截口曲线为抛物线;
(3)当时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点.在截口曲线上任取一点,过点作圆雉的母线,分别与两球切于点.由球的性质可知,于是为定值,这样截口曲线上的任一点到两个定点的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线且垂直于轴截面的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记.在截口曲线上任取一点,作直线与球相切于点,连结,有.在母线上取点(为与球的切点),使得.过点作,有点在上,且.另一方面,因为平面与垂直,那么平面,有,所以.于是截口曲线是以点为焦点,为准线的抛物线.
二、题型精讲精练
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
①平行有关的轨迹问题的解题策略
1.线面平行转化为面面平行得轨迹;
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
②垂直有关的轨迹问题的解题策略
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2.利用空间坐标运算求轨迹;
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（ ）
A．aB．aC．D．
【答案】D
【分析】连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项.
【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，
则GH∥BA1，HN∥BD，又面A1BD，BA1面A1BD，所以面A1BD，同理可证得面A1BD，
又，∴面A1BD∥面GHN，
又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，
则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=a，则点M轨迹的长度是a.
【典例2】在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ）
A．点B．线段C．线段D．平面
【答案】B
【分析】如图，连接,证明,又，即得解.
【详解】
如图，连接,
因为平面,所以平面, 又平面,
所以,又.所以点在线段上.故选：B
2.距离、角度有关的的轨迹问题
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
2.利用空间坐标计算求轨迹.
②角度有关的轨迹问题的解题策略
1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【答案】D
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出点P的轨迹方程即可判断.
【详解】
如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题意可知PE=PG
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由PE=PG得：
，平方得：即点P的轨迹是双曲线.故选：D.
【典例4】正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线
【答案】D
【分析】根据题设分析可知：点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断所在轨迹的形状.
【详解】由题设，点轨迹为以为母线，为轴，为底面直径的圆锥体，及其关于反向对称的锥体与平面的交线，如下图示：
当是边上移动过程中，只与下方锥体有相交，点轨迹为抛物线；
当是边上移动过程中，与上方锥体也有相交，点轨迹为双曲线；
故选：D
3.翻折有关的的轨迹问题
①翻折有关的轨迹问题的解题策略
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例5】1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，从而可得 ，，，利用勾股定理可得，再由离心率的定义即可求解.
【详解】在中，设，
，，，，
， ∴长轴长，，则离心率.故选：A
【题型训练2-刷模拟】
1.平行、垂直有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥的底面边长为2，高为2，E是边的中点，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A．B．C．4D．
2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体中，点满足，，分别为棱，的中点，点在正方体的表面上运动，满足面，则点的轨迹所构成的周长为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是正方形D．点轨迹的长度为
6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为1的正方体，是的中点，动点在正方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5．若点在圆柱表面上运动，且满足，则点的轨迹所围成图形的面积为 ．
8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体的棱长为，动点P在内，满足，则点P的轨迹长度为 ．
9．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点是棱长为的正方体的内切球的球面上的动点，点为棱上的一点，且，，则动点的轨迹的长度为 ．
2.距离、角度有关的的轨迹问题
一、单选题
1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体的外接球的表面积为，，点P在四边形内，且直线BP与平面所成角为，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东淄博·统考三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，E为的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为．若该正方体外接球的表面积为，则动点F的轨迹长度为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值， 则动点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
7．（2022秋·河南·高三期末）棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界），则下面结论正确的有（ ）
①若点满足，则动点的轨迹是线段；
②若点满足，则动点的轨迹是椭圆的一部分；
③在线段上存在点，使直线与．所成的角为；
④当在棱上移动时，的最小值是．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
8．（2023春·湖南长沙·高三校联考阶段练习）在棱长为3的正方体中，为棱上一点，且，则正方体表面到点距离为的点的轨迹总长度为 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的外接球的半径为，为等腰直角三角形，若顶点到底面的距离为4，且三棱锥的体积为，则满足上述条件的顶点的轨迹长度是 ．
10．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知为正方体的内切球球面上的动点，为的中点，，若动点的轨迹长度为，则正方体的体积是 .
3.翻折有关的的轨迹问题
一、单选题
1．已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，正方形的边长为为的中点，将沿向上翻折到，连接，在翻折过程中，下列说法中正确的是（ ）
①四棱锥的体积最大值为②．中点的轨迹长度为
③与平面所成角的正弦值之比为
④三棱锥的外接球半径有最小值，没有最大值
A．①③B．②③C．①③④D．①②③
3．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为
A．B．C．D．
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