2022-2023学年北京市西城区三帆中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市西城区三帆中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，共16.0分.）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知▱，对角线，交于点，则下列结论不一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列化简正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，的三个顶点，，都在格点上，是边上的中线，那么的长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 有一个角是直角的矩形是正方形

6.  如图，菱形的顶点，在轴上，点在轴正半轴上，那么菱形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  一次函数和的图象如图所示，几位同学根据图象得到了下面的结论：
甲：关于，的二元一次方程组的解是；
乙：关于的一元一次方程的解是；
丙：关于的一元一次方程的解是．
三人中，判断正确的是(    )

A. 甲，乙 B. 甲，丙 C. 乙，丙 D. 甲，乙，丙

8.  如图中，是边的中点，，点是边上的动点设，图中的函数图象反映了三角形中的一个变量随着的变化而变化的情况，那么变量可能是(    )
 

A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 的度数

二、填空题（共8小题，共16.0分）

9.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______．

10.  一次函数的图象经过一、二、三象限，那么 ______ ， ______

11.  小明带了元钱去超市买大米，大米售价为元千克，若小明买了千克大米，还剩下元，写出与的函数解析式 ______ ，其中自变量的取值范围是______ ．

12.  如图，四边形的对角线，顺次连接其各边中点得到四边形，若，，那么四边形的面积为______ ．

13.  如图，正方形的对角线交于点，延长到点，使，与交于点，那么为______

14.  如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，则线段的最小值是______ ．

15.  有这样一道作图题：

李同学的做法如下：

在直线上任取两点，，连接；
以为圆心，为半径作弧；
以点为圆心，为半径作弧，与前弧交于点，且点与点位于的两侧；
作直线，则直线为所求．
请根据作法判断，李同学这样做的依据是
______ ；
______ ．

16.  已知一次函数是常数，且，如果，有下列说法：
它的图象经过点；
直线与轴的交点坐标为；
若，那么；
方程的解是．
其中正确的是写序号 ______ ．

三、解答题（共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
；
；
．

18.  本小题分
已知，如图，在▱中，点，是对角线上的两点，且，分别连接，，，．
求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
已知与互为相反数，求的值．

20.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．
画出正比例函数的图象，并求的值；
求直线的解析式及点的坐标．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，，对角线的垂直平分线与边，分别交于点，．
猜想图中四边形的形状是______ 形，并证明你的猜想；
若，，求四边形的周长．

22.  本小题分
一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
求的面积；
点为轴上一点，点为坐标平面内另一点，若以，，，为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

23.  本小题分
公元前年左右，古希腊数学家欧几里得整理前人的几何成果，形成了几何原本一书，书中的公理化思想对几何学发展起到了重要作用在几何原本中，图形之间的“等于”、“和”意味着这些图形可以通过适当的变换进行转化．
下面是几何原本中证明两个平行四边形“相等”的思路：
如图，在两条平行线，之间有两个平行四边形和，那么这两个平行四边形的面积相等．
证明：因为四边形和是平行四边形，
所以依据：______ 且，．
所以，，因此≌ ______ ．
从它们中同时减去的面积，再同时加上 ______ 的面积，即得结论．

如图，网格中每个小正方形的边长为，可将正方形通过适当的剪拼，变成一个面积与它相等的平行四边形，且平行四边形有一组对边的长度为，请在图中画出分割线以及所拼出的平行四边形．
在几何原本第一卷的命题中提到了勾股定理：“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和”如图的几幅图巧妙地通过变换完成了勾股定理的“无字证明”，但图的顺序被打乱了，仅知道图应排在第一张，图是最后一张，请补全其余三幅图的顺序，完成勾股定理的证明：，______ ，______ ，______ ，．

 

24.  本小题分
在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数，，
称为，这两个数的算术平均数，
称为，这两个数的几何平均数，
称为，这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
若，，则； ______ ； ______ ；
小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图中阴影部分的面积可以表示．
请你分别在图，图中用阴影标出一个面积为，的图形；

借助图形可知，当，都是正数时，，，的大小关系是：______ 把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接；
若则的最小值为______ ．

25.  本小题分
已知正方形，是上一点，以为斜边作等腰，点是延长线上一点，过点作交边于点．
如图，求证：；
如图，当时，连接，求证：且；
在条件下，在图中连接，若，，直接写出四边形的面积．

 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，任意两点，定义线段的“直角长度”为
已知点，．
已知点，，，其中满足的点有______ ；
若点在直线上，且满足，请直接写出点横坐标的取值范围；
在中，若三条边的“直角长度“都相等，则称该三角形为“等距三角形”若点是平面内一点，且为“等距三角形”，请直接写出点的坐标：______ ．

答案和解析

1.【答案】 

解：．的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意
D.的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

2.【答案】 

解：因为四边形是平行四边形，所以，故本选项不符合题意；
B.因为四边形是平行四边形，对角线，交于点，所以，故本选项不符合题意；
C.因为四边形是平行四边形，无法得到，故本选项符合题意；
D.因为四边形是平行四边形，所以，所以，，故本选项不符合题意．
故选：．
根据平行四边形的性质逐一判定即可．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

解：，
则不符合题意；
B.，
则不符合题意；
C.，
则不符合题意；
D.，
则符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减法则与性质将各项计算后进行判断即可．
本题考查二次根式的加减及其性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

4.【答案】 

解：，，，
，
，
为边上的中线，
，
故选：．
由勾股定理求出，的长，得出，由直角三角形的性质可得出答案．
此题考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，不合题意；
B、一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形，是假命题，不合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；
D、有一个角是直角的矩形是正方形，是假命题，不合题意；
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断，即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理，难度不大．
 

6.【答案】 

解：，，
，
四边形是菱形，
，
在中，，，
，
菱形的面积是．
故选：．
由菱形的性质得到，由勾股定理求出，关键菱形的面积公式即可求得答案．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据勾股定理求出是解决问题的答案．
 

7.【答案】 

解：一次函数和的图象相交于，
关于，的二元一次方程组的解是，
关于的一元一次方程的解是，关于的一元一次方程的解是．
故选：．
根据和的图象的交点坐标即为的解和直线与轴交点的横坐标即为的解解得即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，正确地理解题意是解题的关键．
 

8.【答案】 

解：由图得，函数先是随的增大而减小，后又随的增大而增大，呈现先减小后增大的变化，
结合图得，随点的运动而变小，故B不符题意；
的度数随点的运动而呈现先大后小的变化规律，故D不符题意；
和虽然都随点的运动而呈现先小后大的变化规律，在这一点上选项A、都行，但是由图得，，，故A更符合题意；
故选：．
由图得，函数先是随的增大而减小，后又随的增大而增大，呈现先减小后增大的变化，结合图逐个判断各个选项的变化规律，即可判断答案．
本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
 

9.【答案】 

解：若代数式有意义，
则，
解得：，
则实数的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件得出，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

10.【答案】   

解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
，．
故答案为：；．
由一次函数的图象经过第一、二、三象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出，．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
 

11.【答案】   

解：根据题意得：，
，
，
解得，
与的函数解析式，自变量的取值范围是．
故答案为：，．
根据剩余的钱总钱数花费的钱数列出函数解析式，再根据实际情况确定自变量的取值范围．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
 

12.【答案】 

解：如图，、分别为、的中点，
是的中位线，
，，
同理，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
四边形的对角线、互相垂直，，，
，
四边形为矩形，
四边形的面积为，
故答案为：．
根据四边形的对角线、互相垂直，、、、分别为四边形各边的中点，得到四边形为矩形和、的长，求出四边形的面积．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理、三角形的面积公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据正方形的性质得出，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得出，进而解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出解答．
 

14.【答案】 

解：连接，

正方形是关于对角线所在直线的轴对称图形，点的对称点是点，
的最小值为，
在中，由勾股定理得：
．
线段的最小值是．
故答案为：．
根据正方形的轴对称性可知，、关于对称，连接交于点，最小值为，利用勾股定理即可求出答案．
本题主要考查了正方形的轴对称性质，轴对称最短路线问题，理解的最小值为是解题的关键．
 

15.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形  平行四边形的对边平行 

解：由作图得：先根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行求解，
故答案为为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
平行四边形的对边平行．
根据平行四边形的判定和性质求解．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定和性质是截图的关键．
 

16.【答案】 

解：一次函数，，
即当时，，
它的图象经过点，
故正确，
直线与轴的交点坐标，
即，
，
直线与轴的交点坐标为；
故错误，
若，
又，
即，
，
即，
整理得，
，
解得，
故正确，
方程的解，
即方程是函数，和函数交点，
当时两个函数都成立，
故正确，
故答案为．
一次函数，，即当时，，所以对，直线与轴的交点坐标，，的取值，所以错，若，，即，整理得，可解正确，方程是函数，和函数交点进而作答．
本题考查一次函数与一元一次方程解和坐标轴交点等问题，解题的关键是理解一次函数和方程之间的关系．
 

17.【答案】解：原式

；
原式
；
原式
． 

【解析】根据二次根式的乘除法则运算；
先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先利用平方差公式，二次根式的除法法则计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

18.【答案】证明：如图，连接交于．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】想办法证明，即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：，，
与互为相反数，
，．
．
．


． 

【解析】利用绝对值、二次根式的非负性和互为相反数的性质先求出、的值，再代入求值．
本题主要考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：点在的图象上，
，
画出正比例函数的图象如图：
；
一次函数的图象过点、点，
，
解得：，
一次函数的表达式为：，
令，则，
． 

【解析】把点代入，求出点的坐标即可，
利用待定系数法求得直线的解析式，由解析式可求得的坐标．
此题考查的是两条直线相交问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．
 

21.【答案】菱 

解：四边形的形状是菱形，
证明：，
．
直线是对角线的垂直平分线，
，．
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
故答案为：菱；
，四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形的周长．
根据平行线的性质得到根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键
 

22.【答案】解：把代入得：
，
解得，
，
在中，令得，
，
；
的面积为；
设，，
又，，
当，为对角线时，，的中点重合，且，
，
解得；
；
当，为对角线时，同理可得；
，
解得或此时与重合，舍去，
；
当，为对角线时，
，
解得或，
或；
综上所述，的坐标为或或或． 

【解析】求出，可得，故；
设，，分三种情况：当，为对角线时，，的中点重合，且，当，为对角线时，当，为对角线时，分别列方程组可解得答案．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，菱形性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想和画出思想的应用．
 

23.【答案】平行四边形的对边相等           

【解析】证明：证明：因为四边形和是平行四边形，
所以依据：平行四边形的对边相等．且，．
所以，，因此≌．
从它们中同时减去的面积，再同时加上的面积，即得结论．
故答案为：平行四边形的对边相等，，；
解：如图，以为分割线，所拼出的平行四边形为，且；

解：由图可得，图中两个平行四边形的面积分别等于两个小正方形的面积，图中两个平行四边形的面积也分别等于两个小正方形的面积，将两个平行四边形整体下移，可得到图，将图中的三角形阴影图形移到下方，即可得到图由此即可证明直角所对边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和．
正确的顺序是．
故答案为：．
根据平行四边形的性质、三角形全等的判定以及等量代换即可求解；
根据所拼出的平行四边形有一组对边的长度为可确定分割线的位置，再拼接即可得到答案；
根据平行四边形的面积和正方形的面积易得图中两个平行四边形的面积分别等于两个小正方形的面积，再根据平移的性质推理即可．
本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的判定、勾股定理的证明，熟练掌握平行四边形的性质，结合图形进行证明是解题关键．
 

24.【答案】      

解：当，时，
；，
故答案为：；；

，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

，当且仅当，即时，等号成立，
，都是正数，
，，都是正数，
，
通过图象同样可得到：，
故答案为：；
由知，，
故答案为：．
由定义即可求解；
由，即可求解；由，同理可解；
通过计算或图象即可求解；
由知，，即可求解．
本题为四边形综合题，主要考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，，，
，，
≌，
；
证明：如图，过点作于，

是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
；
如图，

，，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
四边形的面积． 

【解析】由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，，由余角的性质可求；
先证四边形是正方形，可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

26.【答案】，  或 

解：根据题意得，
，
，
，
满足的点有，，
故答案为：，，
设，
则，
即，
当时，
，
解得，故不成立；
当时，
，恒成立；
当时，
解得，不成立，
综上所述，点横坐标的取值范围为．
设，
可得，
为“等距三角形”，
可得方程，
当时，
当时，可得方程，
方程无解；
当时，可得方程，
解得，
故C；
当时，可得方程，方程无解，
当时，
当时，可得方程，
解得舍去；
当时，可得方程
，方程无解；
当时，可得方程，
解得 舍去；
当时，
当时，可得方程，方程无解；
当时，可得方程，
解得，故 C，
当时，可得方程，方程无解；
综上所述，或者，
故答案为：或．
分别计算，，，按照题意选出符合条件的点即可；
设用表示，根据，对的取值范围进行讨论化简绝对值，即可解答；
设，求出，，，根据题意列方程，进行分类讨论，即可解答．
本题考查了新定义等距三角形，正确地进行分类讨论是解题的关键．