2022年北京市西城区三帆中学中考数学零模试卷（含解析）
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一．选择题（本题共8小题，共16分）
- 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是
A. 棱柱
B. 圆柱
C. 棱锥
D. 圆锥
- 年月日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射年月日，在经过长达七个月，公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将用科学记数法表示应为
A. B. C. D.
- 如图，直线，交于点，射线平分，若，则等于
A.
B.
C.
D.
- 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．下列式子正确的是
A. B. C. D.
- 某多边形的内角和是其外角和的倍，则此多边形的边数为
A. B. C. D.
- 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为
A. B. C. D.
- 已知是不等式的解，的值可以是
A. B. C. D.
- 如图，分别过第二象限内的点作，轴的平行线，与轴，轴分别交于点，，与双曲线分别交于点，．
下面三个结论，
存在无数个点使；
存在无数个点使；
存在无数个点使．
所有正确结论的序号是
- B. C. D.
二．填空题（本题共8小题，共16分）
- 如果代数式有意义，那么实数的取值范围是______．
- 分解因式：______．
- 如图，在中，，分别为，的中点．若，则______．
|
- 方程的解为______．
- 如图，是的直径，、为上的点，若，则______
|
- 已知是的函数，其函数图象经过，并且当时，随的增大而减小．请写出一个满足上述条件的函数表达式：______．
- 如图，平分，点在射线上，若使≌，则还需添加的一个条件是______只填一个即可．
- 某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比例如，该生产线完成第一笔订单用时小时，之后完成第二笔订单用时小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔订单的生产时间单位：小时依次为，，，其中，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是 ．
三．解答题（本题共12小题，共68分）
- ．
- 解不等式组，并写出它的非负整数解．
- 已知，求的值．
- 已知：，为射线上一点．
求作：，使得点在射线上，且．
作法：以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，交射线的反向延长线于点；
以为圆心，长为半径画弧，交弧于点；
连接，交射线于点所以就是所求作的三角形．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明：
证明：连接，，，
点，，在上，
______填写推理的依据
在中，，
______，______填写推理的依据
．
- 关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根大于，求的取值范围．
- 已知：中，，于点，过点作，且，连结．
求证：四边形是平行四边形；
作于点，，，求和的长．
|
- 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
若抛物线与轴交于，求的值，并在坐标系中画出此时的函数图象；
横、纵坐标都为整数的点叫做整点．直线与抛物线围成的区域不包含边界记作．
在的条件下，结合图象，区域中的整点坐标为______．
当区域中恰好有个整点时，直接写出的取值范围．
- 如图，已知是的外接圆，过点作于点，作交延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．
- 为迎接年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中来，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动．经过初选，两所学校各名学生进入综合素质展示环节，为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了名学生的综合素质展示成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
甲学校学生成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，：
甲学校学生成绩在这一组的是：
乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率分及以上为优秀如下：
平均数 | 中位数 | 众数 | 优秀率 |
根据以上信息，回答下列问题：
被抽取的甲校学生成绩的中位数是______；若甲校学生，乙校学生的综合素质展示成绩同为分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是______填“”或“”；
根据上述信息，推断______学校综合素质展示的水平更高，理由为______至少从两个不同的角度说明推断的合理性；
若每所学校综合素质展示的前名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到______分的学生才可以入选．
- 在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．
若，，求该抛物线的对称轴并比较，，的大小；
已知抛物线的对称轴为，若，求的取值范围．
- 已知：如图所示绕点逆时针旋转得到其中点与点对应．
如图，点关于直线的对称点为，求线段与的数量关系；
当时，射线与射线交于点，补全图并求．
在平面直角坐标系中，对于图形和，给出如下定义：若图形上的所有的点都在的内部或的边上，则的最小值称为点对图形的广度．如图，的度
数为点对线段的广度．
已知点，在点，，中，对线段的广度为的点是______；
已知：点，，，，．
直接写出点对四边形的广度为______；
已知直线上存在点，使得点对四边形的广度为，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由俯视图易得几何体的底面为圆，还有表示锥顶的圆心，符合题意的只有圆锥．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识．
2.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
根据对顶角的性质可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据邻补角的定义可得的度数，根据即可得出答案．
本题主要考查了对顶角，邻补角，角平分线的定义，熟练掌握对顶角，邻补角，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由数轴可知，，，，
，故A选项错误；
，故B选项正确；
，，
，故C选项错误；
，，，，故D选项错误；
故选：．
根据数轴可得，，，再根据，的取值范围逐项判定即可．
本题考查实数与数轴，根据，在数轴上的位置进行判断是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：多边形的内角和是：．
设多边形的边数是，则，
解得：．
故选：．
根据多边形的外角和是，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式列方程即可求解．
本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
6.【答案】
【解析】解：设“东方模板”的面积为，则阴影部分三角形面积为，平行四边形面积为，
则点取自黑色部分的概率为：，
故选：．
首先设正方形的面积，再表示出阴影部分面积，然后可得概率．
此题主要考查了概率，关键是表示图形的面积和阴影部分面积．
7.【答案】
【解析】解：是不等式的解，
，
，
故选：．
将代入不等式求出的取值范围即可得出答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
8.【答案】
【解析】解：、分别平行于轴、轴得到四边形是矩形，
四边形是矩形，轴，轴，
点和点都在反比例函数的图象上，
，故正确，符合题意；
四边形是矩形，
，故正确，符合题意；
设点，则，，
，，，，
，，
，
，
或舍，
存在无数个点使，故正确，符合题意；
正确的结论序号为，
故选：．
由反比例函数的比例系数的几何意义可以判断；由、分别平行于轴、轴得到四边形是矩形，则和的面积相等，从而判断；设点的坐标，得到点和点的坐标，从而求得和四边形的面积，判断．
本题考查了矩形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
9.【答案】
【解析】解：代数式有意义，
实数的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11.【答案】
【解析】解：，分别为，的中点，
，，
∽，
，
，
，
，
故答案为．
利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验．
13.【答案】
【解析】解：为直径，
，
，
，
在圆内接四边形中，
．
故答案是：．
为直径，，求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】
【解析】解：答案不唯一，如：，
故答案为：．
答案不唯一，根据已知写出一个即可．
本题考查了函数的性质，能熟记反比例函数、一次函数的性质是解此题的关键．
15.【答案】答案不唯一
【解析】解：平分，
，
若添加，
在和中，
，
≌，
若添加，
在和中，
，
≌，
若添加，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
根据全等三角形的判定方法得出答案．
此题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
16.【答案】，，
【解析】解：由题意知：
上一笔订单完成的时间越短，
则此订单的“相对等待时间”越小，
因此，“相对等待时间”之和最小的生产顺序是，，，
故答案为，，．
由相对等待时间的定义可知，上一笔订单完成的时间越短，则此订单的“相对等待时间”越小．
此题考查新定义，对定义的理解是解本题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，绝对值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握各自的性质及运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的非负整数解为，．
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19.【答案】解：
，
，
，
当时，原式．
【解析】先算乘除，后算加减，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 同弧所对的圆心角相等
【解析】解：图形如图所示：
证明：连接，，，
点，，在上，
一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，
在中，，
，
同弧所对的圆心角相等，
．
故答案为：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，，同弧所对的圆心角相等．
根据要求作出图形即可；
利用圆周角定理证明即可．
本题考查作图应用与设计作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】证明：，，，
，
不论为何实数，，
．
不论取何值，原方程必有两个实数根；
解：原方程可化为，
，，
该方程有一个根大于，
．
【解析】计算根的判别式的值，再利用非负数的性质得到，从而得到结论；
利用因式分解法解方程得到，，则．
本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根．
22.【答案】证明：，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，，
，
，
如图，连接，
由可知，，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形，
，，，
．
【解析】由等腰三角形的性质得，再证，然后由，即可得出结论；
由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理得，连接，然后证明四边形是矩形，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的频道与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：将代入抛物线，
，
解得；
函数图象如下图所示：
在图中画出直线的函数如下图所示：
此时区域中的整点坐标为：；
故答案为：；
令，可得两个函数的交点坐标，
再观察图形，若区域中的整数点的横坐标为，
由此得出个整数点为，，，
当时，，
即．
将代入抛物线，可求出的值，在坐标系中画出函数图象即可；
在上述坐标系中画出直线，根据图象可直接得出结论；
令，可得出二次函数与一次函数的交点，观察图形，若区域中恰好有个整点时，则当时，，由此可得出结论．
本题属二次函数综合题，主要考查二次函数与一次函数图象的性质，利用数形结合思想分析会更直观．
24.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
．
【解析】连接，根据余角性质及切线的判定方法可得结论；
根据相似三角形的判定与性质及解直角三角形可得答案．
此题考查的是切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解决此题的关键．
25.【答案】 乙 乙校乙学校学生成绩的中位数比甲校大，优秀率比甲校高
【解析】解：由题意可知，被抽取的甲校学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故中位数为：；
因为乙学校学生成绩的中位数比甲校大，所以若甲校学生，乙校学生的综合素质展示成绩同为分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是，
故答案为：；；
根据甲校学生成绩的优秀率为：，
由此可知，乙学校综合素质展示的水平更高，理由为乙校乙学校学生成绩的中位数比甲校大，优秀率比甲校高；
故答案为：乙；乙校乙学校学生成绩的中位数比甲校大，优秀率比甲校高；
，人，
故每所学校综合素质展示的前名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到分．
故答案为：．
根据中位数的定义即可得到结论；根据两所学校学生的成绩的的中位数即可得到结论；
根据两所学校学生的成绩的中位数、众数、优秀率解答即可；
根据样本估计总体即可．
本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26.【答案】解：，，
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
．
把代入得，
抛物线经过原点，
时，抛物线开口向上，
，
，
当时，，
，
，
当时，，
满足题意．
时，抛物线开口向下，
，
，
时，随增大而减小，
，不符合题意．
综上所述，．
【解析】将，代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论与两种情况．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
27.【答案】解：；理由如下：
连接、，如图：
绕点逆时针旋转得到，
，，，
点关于直线的对称点为，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
连接，如图：
绕点逆时针旋转得到，
，，
，
、有公共边，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
．
【解析】连接、，根据绕点逆时针旋转得到，点关于直线的对称点为，可证明≌，即得；
连接，由绕点逆时针旋转得到，可得、、、四点共圆，即知，而，即得，故．
本题考查三角形旋转及对称变换，解题的关键是掌握旋转和对称的性质．
28.【答案】、
【解析】解：如图，
，
，
故点是对线段的广度为的点，
，
，
同理可得：，
，
故是线段的广度为的点，
，
不是线段的广度为的点，
故答案为：，；
，
点是对四边形的广度为的点，
故答案是为：；
如图，
以为圆心，为半径作圆，
，
，
点是四边形的广度为的点，
，
，
，
把，代入，
，
根据对称性可得，
．
计算是否等于，从而进行判断；
计算的度数；
根据定弦对顶角，确定的圆周角，进而求得的范围．
本题考查了锐角三角函数的定义，圆的切线性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”等模型．
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