2022-2023学年北京市西城区三帆中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市西城区三帆中学八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共9页。试卷主要包含了下列运算正确的是，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。

1．对称现象无处不在，下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6B．（m3）2＝m6
C．m（﹣m+2）＝m2+2mD．m2+m3＝2m6
3．若一个三角形的两边长分别是3cm，7cm，则它的第三边长不可能是（ ）
A．3cmB．5cmC．7cmD．9cm
4．下列说法错误的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余
B．有三组角分别相等的两个三角形全等
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
5．一副三角板按如图方式放置，则∠1的度数是（ ）
A．105°B．135°C．150°D．165°
6．如图，将一个五边形ABCDE沿虚线裁去一个角后得到的多边形ABCDGF的内角和为（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
7．如图，将一个边长为b的正方形B放在一个边长为a的大正方形A中，则阴影部分的面积计算可以用等式表示为（ ）
A．（a﹣b）b+a（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
8．如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，FG⊥AE于点H，交AD于点J，下列结论：①∠DAE＝∠F②∠FJD＝∠CAE+∠B③∠ACB＝∠AGH④∠F＝（∠ACB﹣∠B）中，正确的有（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①④
二、填空题（本题共16分，每题2分）
9．若（x﹣2）0＝1，则x满足条件 ．
10．一个多边形的内角和与外角和相等，则它是 边形．
11．工程建筑中经常采用三角形的结构，如图的屋顶钢架，其中的数学道理是 ．
12．如图，△EFG≌△NMH，EH＝1.1cm，NH＝3.3cm，则HG＝ cm．
13．若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝ ．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AD＝BD，则∠DBC＝ °．
15．如图，△ABC中，∠BAC＝56°，PD垂直平分AB，PE垂直平分AC，则∠PBC的度数为 °．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C，交AF于点F，连接EF，下列结论：①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4，则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是 ．
三、计算题（本题共16分，每小题8分）
17．计算：
（1）3x2y•（﹣2xy3z）；
（2）（9x3﹣12x2+6x）÷3x．
18．计算：
（1）（﹣xy）3÷x2y+2y（xy﹣1）；
（2）（x+3）（x﹣3）+（2x﹣1）（x+5）．
四、解答题（本题共52分，第19-23题每题6分，24、25题每题7分，26题8分）
19．如图，AD是△ABC的中线，BE∥AC交AD的延长线于点E，求证：DE＝AD．
20．先化简，再求值．
化简[a3+3a2b﹣a（a2+2ab+b2）]÷ab，并求a＝2021，b＝2022时该式的值．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
22．如图一，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
小张同学想到了一种画出筝形的方法如下，请你和他一起完成作图和说理：
（1）如图二，先任意画一个△ABC；
（2）作∠ABC的角平分线BD交AC于点D；（请利用圆规和无刻度的直尺，尺规作图，保留作图痕迹）
（3）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F；
（4）根据角平分线的性质得 ＝ ；
进而可以证明△ ≌△ ，
根据全等三角形性质可以得到则 ＝ ；
四边形 为筝形．
23．小李同学在计算下列式子时发现了一些规律．
（1）请观察并完成填空．
1×3+1＝22
2×4+1＝32
3×5+1＝42
……
请你根据规律写出第n个式子： ．
（2）接着小李又发现了下面算式的结果也是平方数，请你完成计算并填空．
1×2×3×4+1＝（1×4+1）2
2×3×4×5+1＝（2×5+1）2
3×4×5×6+1＝（3×6+1）2
对第n个式子进行猜想得n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝ ．
下面开始对猜想进行证明．
n（n+1）（n+2）（n+3）+1
＝n（n+3）[ ]+1（依据：乘法交换律、乘法结合律）
＝（n2+3n）（ ）+1
下面请继续完成猜想的证明： ．
24．解决几何问题时，不一定能够求出每个角的度数，但依据多边形内角和可以求出它们的和，这时整体代换的思想对于解题的帮助是巨大的，下面看这样一个问题．
（1）如图1，在△ABC中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCA的外角平分线，BE，CF交于一点P，已知∠A＝α，求∠BPC的度数（用含有α的式子表示）．
∵∠A＝α，△ABC；
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣α；
∵BE，CF分别是∠ABC和∠BCA的外角平分线；
∴∠3＝∠MBC＝（180°﹣∠1），
∠4＝∠NCB＝（180°﹣∠2）；
∵△BCP
∴∠BPC＝ （三角形内角和为180°）
＝180﹣[（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）]
＝180°﹣[180°﹣（∠1+∠2）]
＝ （用含有α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABDC中，BE，CF分别是∠ABD和∠ACD的外角平分线，BE，CF交于一点P，已知∠A＝α，∠D＝β（α＜β），求∠BPC的度数（用含有α和β的式子表示）．
∵∠A＝α，∠D＝β，四边形ABDC；
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣（α+β）；
∵BE，CF分别是∠ABD和∠ACD的外角平分线；
∴∠3＝∠MBD＝90°﹣∠1，
∠4＝∠NCD＝90°﹣∠2；
∵四边形ACPB
∴∠BPC＝360°﹣∠A﹣（∠2+∠4）﹣（∠1+∠3）
＝360°﹣∠A﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）
＝360°﹣∠A﹣（∠1+∠2）﹣[180°﹣（∠1+∠2）]
＝ （用含有α和β的式子表示）
（3）若（2）中的条件变为β＜α，补全图形，并直接写出∠BPC＝ （用含有α和β的式子表示）．
25．已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90，点D为AC上的一点，AD＝AB，点E为BA延长线上一点且AE＝AC，连接ED并延长交BC于点F，连结AF．
（1）求证：∠FCA＝∠AEF；
（2）作A点关于BC的对称点M，分别连接AM，FM．
①依题意补全图形；
②用等式表示EF，CF，AM之间的数量关系并证明．
26．给出如下定义：如图1，已知∠RST＝90°，∠PMQ＝45°，直线l垂直平分线段MS，若∠PMQ关于直线l的轴对称图形G完全落在∠RST内部（G的两边不与∠RST的边重合），则称∠PMQ是∠RST的内含对称半角．
在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，4），B（4，4），C（4，0），M（m，0）为x轴负半轴上一点，射线MP绕点M逆时针旋转45°到达MQ的位置，形成∠PMQ．
（1）如图2，直线l垂直平分线段OM，∠P1MQ1＝∠P2MQ2＝∠P3MQ3＝45°，其中 是∠AOC的内含对称半角．
（2）若∠PMQ是∠OCB的内含对称半角，请在图3中画出符合题意的一个∠PMQ．
（3）如图4，若直线l经过原点，设∠PMO＝α，当α为何值时∠PMQ是∠ABC的内含对称半角？请直接写出α的范围： ；
（4）当m为何值时，∠OAB的内含对称半角（M点除外）位于x轴下方？请直接写出m的范围： ．
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