北京市西城区三帆中学2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

北京市西城区三帆中学2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共16分）

1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在▱中，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 下列命题正确的是

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

6. 已知为数轴原点，如图，
   在数轴上截取线段；
   过点作直线垂直于；
   在直线上截取线段；
   以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点．
   根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：；；；上述结论中，所有正确结论的序号是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，四边形是正方形，延长到，使，则的大小是   

A.
B.
C.
D.

8. 四边形的对角线，交于点，点，，，分别为边，，，的中点．有下列四个推断：
   对于任意四边形，四边形都是平行四边形；
   若四边形是平行四边形，则与交于点；
   若四边形是矩形，则四边形也是矩形；
   若四边形是正方形，则四边形也一定是正方形．
   所有正确推断的序号是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共16分）

9. 计算：______．
10. 如果，那么的值为______．
11. 已知一个等边三角形的边长为，则这个三角形的高为______．
12. 如图，在▱中，平分，交边于，，，则的长为______．
13. 如图，在直角中，，，是的中点，则的度数为______．
    
    
     

14. 正方形的顶点，都在平面直角坐标系的轴上，若点的坐标是，则点的坐标为______．
15. 如图，我国古代伟大的数学家刘徽将一个勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个小正方形和两对全等的直角三角形．设小正方形边长为，两个直角三角形中较长的直角边长度分别为和，可以列出方程：______．
    
    
    
     

16. 如图，已知四边形满足，，、分别为和的中点，则______．

三．计算题（本题共1小题，共6分）

17. 计算：
    ；
    ．

四．解答题（本题共9小题，共72分）

18. 若，，求的值．
19. 如图，在▱中，点，分别在、上，且，连接，交于点求证：．

20. 下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程．
    求作：菱形．
    作法：作线段；
    作线段的垂直平分线，交于点；
    在直线上取点，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点点与点不重合；
    连接、、、．
    所以四边形为所求作的菱形．
    根据小明设计的尺规作图过程，
    使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
    完成下面的证明．
    证明：，，
    ______ ．
    ______ ，
    四边形为菱形______ 填推理的依据．
21. 如图，菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求矩形的面积．

22. 如图，矩形中，，，将矩形沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．
    写出折叠后的图形中的等腰三角形：______；
    求的长．
    
     

23. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个顶点叫做格点．
    
    在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形；
    在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，；这个三角形的面积为______ ．
24. 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
    下面是小丽的探究过程，请补充完整：
    具体运算，发现规律，
    特例：
    特例：
    特例：
    特例：______填写一个符合上述运算特征的例子；
    观察、归纳，得出猜想．
    如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______；
    证明你的猜想；
    应用运算规律化简：______．
25. 已知正方形，点是直线上一点不与，重合，，交正方形外角的平分线所在的直线于点．
    如图，当点在线段上时，
    请补全图形，并直接写出，满足的数量关系______；
    用等式表示，，满足的数量关系，并证明．
    当点在直线上，用等式表示线段，，之间的数量关系直接写出即可．

26. 平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标分别为：，，，，、是这个正方形外两点，且给出如下定义：记线段的中点为，平移线段得到线段其中，分别是点，的对应点，记线段的中点为若点和分别落在正方形的一组邻边上，或线段与正方形的一边重合，则称线段长度的最小值为线段到正方形的“回归距离”，称此时的点为线段到正方形的“回归点”．
    如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段和，这两条线段的位置关系为______；若，分别为和的中点，则点______填或为线段到正方形的“回归点”；
    
    若线段的中点的坐标为，记线段到正方形的“回归距离”为，请直接写出的最小值：______，并在图中画出此时线段到正方形的“回归点”画出一种情况即可；
    请在图中画出所有符合题意的线段到正方形的“回归点”组成的图形．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故选：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，就可以求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】

【解析】解：、，，
，
以，，作为三角形的三边长，不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以，，作为三角形的三边长，不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
以，，作为三角形的三边长，不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
以，，作为三角形的三边长，能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形
，，且


故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意．
故选D．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
 

6.【答案】

【解析】解：根据题意得，，，，
，
故正确；
，
，
正确，错误；
，
故错误；
故选：．
由勾股定理求得，进而得，，再判断结论的正误．
本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，关键是由勾股定理求得．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质，由四边形 是正方形，即可求得 ，又由 ，根据等边对等角与三角形内角和等于 ，即可求得 的度数，又由 ，即可求得答案．
【解答】

解： 四边形 是正方形，
，
，
，
．
故选 B ．

 

8.【答案】

【解析】解：点，，，分别为边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形，正确；
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
与互相平分，
的中点就是的中点，
则与交于点，正确；
若四边形是矩形，则，
，
四边形是菱形，不是矩形；不正确；
四边形中，若，，
则四边形是正方形，
若四边形是正方形，则四边形不一定是正方形，不正确；
故选：．
根据三角形中位线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
本题考查的是平行四边形的判定与性质、矩形的性质、菱形的判定、正方形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用平方根的性质判断即可．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由题意得，，，
解得，，，
则，
故答案为：．
根据非负数的性质求出、，计算即可．
本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：如图，

等边三角形高线即中线，，
，
在中，，，
由勾股定理得，．
故答案为：．
根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长．
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】

【解析】解：，为的中点，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
 

14.【答案】或

【解析】解：点的坐标是，
，，
当点在点右边时，则，
此时，，
当点在点左边时，则，
此时，，
点的坐标为或．
故答案为：或．
根据点的坐标求出正方形的边长与的长度，再求出的长，然后写出点的坐标即可．
本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正方形的性质，根据点的坐标求出正方形的边长是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：由全等的性质可知，勾股形的斜边长为：，
由勾股定理得：，
故答案为：．
根据全等三角形的性质求出勾股形的斜边长，根据勾股定理列出方程即可．
本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

16.【答案】

【解析】解：连接，取的中点，连接、，
，，
，，
，
同理可得：，，
，
，
，
，
，即，
，
故答案为：．
连接，取的中点，连接、，根据三角形中位线定理分别求出、，根据平行线的性质证明，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；

原式

．

【解析】直接利用二次根式的性质化简，进而合并得出答案；
直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：，，
，，
原式．

【解析】由与的值，求出与的值，原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】利用证得≌后即可证得结论．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得和全等，难度不大．
 

20.【答案】如图，四边形为所作；

四边形为平行四边形    对角线互相垂直的平行四边形为菱形

【解析】解：见答案；
完成下面的证明．
证明：，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
故答案为四边形为平行四边形，，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．
根据几何语言画出对应的几何图形；
先证明四边形为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形为菱形．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
．
，
，
四边形是矩形．
解：连接，

四边形是菱形，
，，，，
，，
，
由得四边形是矩形，
，
，
，
，
矩形的面积．

【解析】根据菱形的性质得出，，再根据矩形的判定证明即可．
连接，利用矩形和菱形的性质得出与的长即可．
此题考查的是矩形的判定与性质、菱形的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

22.【答案】

【解析】解：由折叠可得，，
在矩形中，，
，
，
，
是等腰三角形，
故答案为：；
设，则，，
，
中，，
即，
解得，
．
依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到，进而得出是等腰三角形；
设，则，，依据勾股定理即可得到的值．
本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定与性质，矩形的性质，解题关键是常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

23.【答案】解：面积为的正方形的边长为，
，
如图所示的四边形即为所求；






，
，
如图所示的三角形即为所求，






这个三角形的面积；
故答案为：．

【解析】见答案；
见答案．

根据正方形的面积为可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；
根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可．
本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键．
 

24.【答案】   ．

【解析】解：由题意得：，
故答案为：；
例：
特例：
特例：

用含的式子表示为：，
故答案为：；
等式左边右边，
故猜想成立；


．
故答案为：．
根据所给的特例的形式进行求解即可；
分析所给的等式的形式进行总结即可；
对的等式的左边进行整理，即可求证；
利用中的规律进行求解即可．
本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．
 

25.【答案】

【解析】解：根据题意补全图形如下：

，理由如下：
在上截取，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
，证明如下：
由知，≌，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是正方形，
，
，
；
若点在直线上分以下三种情况：
由知，当点在线段上时，；
当点在延长线上时，延长至，使，连接，

四边形是正方形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
是的外角，是的外角，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
；
当点在延长线上时，如下图：延长至，使，连接，

四边形是正方形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
；
综上所述，当点在延长线上时，当点在延长线上时，当点在线段上时．
根据题意补全图形，在上截取，连接，根据证≌即可得出结论；
根据是等腰直角三角形，得出，根据≌即可得出结论；
分点在线段上，点在延长线上，点在延长线上三种情况，构造全等三角形同理得出结论即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段和，这两条线段的位置关系为；若，分别为和的中点，则点为线段到正方形的“回归点”．
故答案为：，；

如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，最小值；
故答案为：；


如图中，弧即为所求以为圆心，为半径画弧．

利用平移变换的性质以及“回归点”的定义判断即可；
如图当与的中点重合或与的中点重合时，的值最小，再利用勾股定理求解；
“回归点”的轨迹是以为圆心，为半径画弧，在正方形内部的弧．
本题属于几何变换综合题，考查了正方形的性质，“回归距离”，“回归点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型．