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2022-2023学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了下列二次根式中，最简二次根式是，下列计算正确的是，已知等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，23
3．下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
7．下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB＝CD，AD∥BC；④AB∥CD，AD∥BC．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF始终是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF．使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积始终是1．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④
二.填空题（每小题3分，共27分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．一个边长为a的正方形的面积与长为8，宽为18的矩形面积相等，则a＝ ．
11．一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高 米．
12．已知一个等边三角形的边长为2，则这个三角形的高为 ．
13．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，D是AB的中点，则∠ADC的度数为 ．
14．写出一个在函数图象上的点的坐标 ．
15．根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：
16．正方形ABCD的顶点B，C都在平面直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（1，3），则点C的坐标为 ．
17．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④若BG平分∠DBC，则BE＝（+1）EC；其中正确的结论有 ．（填序号）
三.解答题（第18，20、24-26题每题6分，第19题4分，第21-23题每题5分，共49
18．计算：
（1）；
（2）（2）（）．
19．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，求BE的长．
20．用“推点法”画出函数y＝2x+1的图象．
解：函数y＝2x+1的自变量x的取值范围是 ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
判断A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）是否在函数y＝2x+1的图象上．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，求GH的长．
22．星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题：
（1）公共阅报栏离小红家有 米，小红从家走到公共阅报栏用了 分．
（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了 分；
（3）邮亭离公共阅报栏有 米，小红从公共阅报栏到邮亭用了 分；
（4）小红从邮亭走回家用了 分，平均速度是 米/秒．
23．EF是△ABC的一条中位线，点E、F分别在AB、AC上，△ABC的一条中线AD与EF交于O点，画图并证明：AD与EF互相平分．
24．如图，将菱形ABCD的边AD和CD分别延长至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC，CA，BE．
（1）求证：四边形ACEF是矩形；
（2）若AD＝2，∠ADC＝60°，求BE的长．
25．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，过点A作BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠CAE＝α，求∠CBD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP，用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并证明你的结论．
26．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 ；当x＜0时，的最大值为 ．
（2）当x＞0时，求的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．
解：A.的被开方数3不含有能开得尽方的数或因式，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B.＝2，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项B不符合题意；
C.＝，被开方数中含有分母，因此选项C不符合题意；
D.＝，被开方数的分母含有二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的意义是正确判断的关键．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，23
【分析】根据勾股定理的逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，故B错误；
C、∵62+82＝102，∴能构成直角三角形，故C正确；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．
3．下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义解答即可．
解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝3即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
解：A、+无法计算，故此选项错误；
B、2+无法计算，故此选项错误；
C、3﹣＝2，故此选项错误；
D、﹣＝﹣＝，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高BD即可．
解：过A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝CB＝3，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，
∴△ABC的面积为•BC•AE＝×6×4＝12，
∴•AC•BD＝12，
5×BD＝12，
解得BD＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
7．下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB＝CD，AD∥BC；④AB∥CD，AD∥BC．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解：①、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故①符合题意；
②、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故②符合题意；
③、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意；
④、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故④符合题意；
∴能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②④
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF始终是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF．使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积始终是1．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④
【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②正确；
③∵BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+，
则EF＝，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝＝．
∵OB＝，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
二.填空题（每小题3分，共27分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥6 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
解：由题意可得x﹣6≥0，
解得x≥6，
故答案为：x≥6．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
10．一个边长为a的正方形的面积与长为8，宽为18的矩形面积相等，则a＝ 12 ．
【分析】根据题意列出等式，然后开平方．
解：根据题意，得a2＝8×18，
∵a＞0，
∴a＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查算术平方根的概念，掌握算术平方根的概念的应用是解题关键．
11．一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高 8 米．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 ＝5，
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故答案为：8．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
12．已知一个等边三角形的边长为2，则这个三角形的高为 ．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长．
解：如图，
等边三角形高线即中线，AB＝2，
∴BD＝CD＝1，
在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1，
∴由勾股定理得，AD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
13．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，D是AB的中点，则∠ADC的度数为 70° ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠B＝35°，
∴∠DCB＝35°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
14．写出一个在函数图象上的点的坐标 （1，0） ．
【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为x≠0，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标．
解：∵，
∴x≠0，即该函数自变量的取值范围为x≠0，
当x＝1时，y＝1﹣＝0，
∴点（1，0）在该函数图象上．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
15．根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容： 平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角
【分析】根据平行四边形、特殊平行四边形的定义，可得答案．
解：由四边形的关系，得
，
故答案为：平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角．
【点评】本题考查了多边形，利用平行四边形与特殊平行四边形的关系是解题关键．
16．正方形ABCD的顶点B，C都在平面直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（1，3），则点C的坐标为 （4，0）或（﹣2，0） ．
【分析】根据点A的坐标求出正方形的边长与OB的长度，再求出OC的长，然后写出点C的坐标即可．
解：∵点A的坐标是（1，3），
∴BC＝AB＝3，OB＝1，
当C点在B点右边时，则OC＝OB+BC＝4，
此时，C（4，0），
当C点在B点左边时，则OC＝BC﹣OB＝2，
此时，C（﹣2，0），
∴点C的坐标为（4，0）或（﹣2，0）．
故答案为：（4，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正方形的性质，根据点A的坐标求出正方形的边长是解题的关键．
17．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④若BG平分∠DBC，则BE＝（+1）EC；其中正确的结论有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】①由题意可知△BDE是等腰直角三角形，故此可得到BD＝BE；
②由∠HBE＝∠CBF，∠HEB＝∠CFB证明即可；
③先证明△BHE≌△DEC，从而得到BH＝DC，然后由平行四边形的性质可知AB＝BH；
④连接CH，证△CEH是等腰直角三角形，DH＝CH，设EH＝EC＝a，得出DH＝CH＝EC＝a，进而得出BE＝DE＝（+1）EC．
解：∵DH⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BDE＝45°＝∠DBE，
∴BE＝DE，
由勾股定理得：DB2＝DE2+BE2，
即DB＝DE，①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠DEC＝∠HFD＝90°，
∴∠DHF+∠EDC＝90°，∠EDC+∠C＝90°，
∴∠DHF＝∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
∵∠DHF＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，②正确；
在△BHE和△DCE中，
，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴BH＝DC，EH＝EC，
∵AB＝CD，
∴AB＝BH，③正确；
连接CH，如图：
∵BG平分∠DBC，∠DBC＝45°，
∴∠HBE＝22.5°，
∴∠CDE＝22.5°，
∵EH＝EC，∠DEC＝90°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠EHC＝45°＝∠CDE+∠HCD，
∴∠HCD＝22.5°＝∠CDE，
∴DH＝CH，
设EH＝EC＝a，
∴DH＝CH＝EC＝a，
∴DE＝DH+HE＝a+a＝（+1）a，
∴BE＝DE＝（+1）a＝（+1）EC，④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键．
三.解答题（第18，20、24-26题每题6分，第19题4分，第21-23题每题5分，共49
18．计算：
（1）；
（2）（2）（）．
【分析】（1）先把每一个二次根式画出最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式进行计算，即可解答．
解：（1）
＝3﹣﹣
＝2﹣；
（2）（2）（）
＝（2）2﹣62
＝12﹣36
＝﹣24．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，求BE的长．
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA＝∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC＝∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE＝CD，则BE可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝8cm，CD＝AB＝6cm，
∴∠EDA＝∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴CE＝CD＝6cm，
∴BE＝BC﹣EC＝2cm．
【点评】本题考查平行四边形性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，求出CE＝CD＝6cm是解题的关键．
20．用“推点法”画出函数y＝2x+1的图象．
解：函数y＝2x+1的自变量x的取值范围是 实数 ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
判断A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）是否在函数y＝2x+1的图象上．
【分析】描点、连线画出一次函数的图象；
一次函数的自变量取值为实数；
把自变量x的值代入解析式y＝2x+1，求出y的值；
把A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）代入解析式y＝2x+1，通过等式是否成立判断是否是直线上的点．
解：
函数y＝2x+1的自变量x的取值范围是实数；
故答案为：实数；
x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，.....．
y＝﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，.....．
把A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）代入解析式y＝2x+1，
﹣2.5×2+1＝﹣4，1×2+1＝3，2.5×2+1＝6≠3，
∴点A、B在函数y＝2x+1的图象上．
【点评】本题考查了一次函数的图象与图象上的点，解题的关键是掌握一次函数的图象与一次函数图象上点的特点．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，求GH的长．
【分析】连接BE．根据中点的定义求得AE＝6．根据矩形的性质和勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理可求GH的长．
解：连接BE．
∵E为AD中点，AD＝12，
∴AE＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
在Rt△ABE中，AB＝8，依据勾股定理BE2＝AB2+AE2，
∴BE＝10．
∵G，H分别为EF，BF中点，
∴GH＝BE＝5．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
22．星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题：
（1）公共阅报栏离小红家有 300 米，小红从家走到公共阅报栏用了 4 分．
（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了 6 分；
（3）邮亭离公共阅报栏有 200 米，小红从公共阅报栏到邮亭用了 3 分；
（4）小红从邮亭走回家用了 5 分，平均速度是 100 米/秒．
【分析】（1）根据图象可知小红经历了4个过程：第0～4min，小红从家走了300m到达公共阅报栏；
（2）第4～10min，小红在公共阅报栏看报；
（3）第10～13min，小红走了200m到达邮亭，第13～18min，小红走回了家，从而可以推出公共阅报栏离小红家有300m、小红从家走到公共阅报栏用了4min、小红在公共阅报栏看报一共用了6min、邮亭离公共阅报栏有200m，小红从公共阅报栏到邮亭用了3min
（4）第13～18min，小红走回了家，从而可以推出邮亭离离小红家距离、平均速度．
解：（1）结合图象的纵轴可知，公共阅报栏离小红家有300m；小红从家走到公共阅报栏用了4min；
故答案为：300；4；
（2）小红在公共阅报栏看报一共用了：10﹣4＝6（min）；
故答案为：6；
（3）邮亭离公共阅报栏距离：500﹣300＝200（m），小红从公共阅报栏到邮亭用时：13﹣10＝3（min）；
故答案为：200，3．
（4）第13～18min，小红走回了家，从而可以推出邮亭离离小红家距离500m、平均速度＝100m|s．
故答案为：5；100．
【点评】本题考查函数的图象，应充分理解图象中的每个量及每条线段的意义，从图象中寻找关键点，结合实际进行求解．
23．EF是△ABC的一条中位线，点E、F分别在AB、AC上，△ABC的一条中线AD与EF交于O点，画图并证明：AD与EF互相平分．
【分析】连接DE，DF，根据EF是△ABC的一条中位线，得到AE＝BE，AF＝CF，根据AD是△ABC的一条中线，得到BD＝CD，根据三角形中位线定理得到DE∥AC，DF∥AB，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
解：如图所示，连接DE，DF，
∵EF是△ABC的一条中位线，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∵AD是△ABC的一条中线，
∴BD＝CD，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
24．如图，将菱形ABCD的边AD和CD分别延长至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC，CA，BE．
（1）求证：四边形ACEF是矩形；
（2）若AD＝2，∠ADC＝60°，求BE的长．
【分析】（1）先证四边形ACEF是平行四边形，再由菱形的性质得AD＝CD，然后证AE＝CF，即可得出结论；
（2）过B作BG⊥EC交EC的延长线于点G，由矩形的性质得∠ACE＝90°，则∠ACG＝90°，再证△ADC和△ABC是等边三角形，得AC＝AD＝2，∠ACB＝60°，然后由勾股定理得CE＝2，CG＝，则EG＝CE+CG＝3，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE＝AD，DF＝CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴AD+DE＝CD+DF，
即AE＝CF，
∴平行四边形ACEF是矩形；
（2）解：如图，过B作BG⊥EC交EC的延长线于点G，
则∠BGC＝90°，
由（1）可知，AE＝2AD＝4，四边形ACEF是矩形，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ACG＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ADC和△ABC是等边三角形，
∴AC＝AD＝2，∠ACB＝60°，
∴CE＝＝＝2，
∵∠BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴BG＝BC＝1，
∴CG＝＝＝，
∴EG＝CE+CG＝2+＝3，
∴BE＝＝＝2，
即BE的长为2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，过点A作BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠CAE＝α，求∠CBD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP，用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；
（3）根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
解：（1）补全图形，如图所示：
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝α，
∴∠BAF＝45°﹣α，
∵AF⊥BD交BD于点E，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AFB+∠CBD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AFB+∠BAF＝90°，
∵∠CBD＝∠BAF，
∴∠CBD＝45°﹣α；
（3）AB＝DP+BP，理由如下：
如图，延长BP交AC于点G，
∵AF⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAF+∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠BAF＝∠CBD，
在△ABP和△BCD中，
，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠ABP＝∠BCD＝45°，BP＝CD，
∴∠ABG+∠BAG＝45°+45°＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴BG⊥AC，
∴BG＝AB，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，BG⊥AC，
∴CG＝AG＝BG＝AB，
∴PG＝BG﹣BP＝AB﹣BP，DG＝CG﹣CD＝AB﹣BP，
∴PG＝DG，
∴∠GPD＝∠GDP＝45°，
∴DP＝PG＝（AB﹣BP）＝AB﹣BP，
∴AB＝DP+BP．
【点评】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．
26．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 2 ；当x＜0时，的最大值为 ﹣2 ．
（2）当x＞0时，求的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
【分析】（1）当x＞0时，按照公式（当且仅当a＝b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于﹣x＞0，﹣＞0，则也可以按照公式（当且仅当a＝b时取等号）来计算；
（2）将的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
解：（1）当x＞0时，≥2＝2；
当x＜0时，＝﹣（﹣x﹣）
∵﹣x﹣≥2＝2
∴﹣（﹣x﹣）≤﹣2
∴当x＞0时，的最小值为2；当x＜0时，的最大值为﹣2．
故答案为：2；﹣2；
（2）由，
∵x＞0，
∴，
当时，最小值为11．
（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD
∴x：9＝4：S△AOD
∴：S△AOD＝
∴四边形ABCD面积＝4+9+x+≥13+2＝25
当且仅当x＝6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
【点评】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．
2022-2023学年北京师大三帆中学朝阳学校八年级（下）期中数学试卷
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，23
3．下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
7．下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB＝CD，AD∥BC；④AB∥CD，AD∥BC．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF始终是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF．使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积始终是1．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④
二.填空题（每小题3分，共27分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．一个边长为a的正方形的面积与长为8，宽为18的矩形面积相等，则a＝ ．
11．一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高 米．
12．已知一个等边三角形的边长为2，则这个三角形的高为 ．
13．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，D是AB的中点，则∠ADC的度数为 ．
14．写出一个在函数图象上的点的坐标 ．
15．根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：
16．正方形ABCD的顶点B，C都在平面直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（1，3），则点C的坐标为 ．
17．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④若BG平分∠DBC，则BE＝（+1）EC；其中正确的结论有 ．（填序号）
三.解答题（第18，20、24-26题每题6分，第19题4分，第21-23题每题5分，共49
18．计算：
（1）；
（2）（2）（）．
19．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，求BE的长．
20．用“推点法”画出函数y＝2x+1的图象．
解：函数y＝2x+1的自变量x的取值范围是 ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
判断A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）是否在函数y＝2x+1的图象上．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，求GH的长．
22．星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题：
（1）公共阅报栏离小红家有 米，小红从家走到公共阅报栏用了 分．
（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了 分；
（3）邮亭离公共阅报栏有 米，小红从公共阅报栏到邮亭用了 分；
（4）小红从邮亭走回家用了 分，平均速度是 米/秒．
23．EF是△ABC的一条中位线，点E、F分别在AB、AC上，△ABC的一条中线AD与EF交于O点，画图并证明：AD与EF互相平分．
24．如图，将菱形ABCD的边AD和CD分别延长至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC，CA，BE．
（1）求证：四边形ACEF是矩形；
（2）若AD＝2，∠ADC＝60°，求BE的长．
25．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，过点A作BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠CAE＝α，求∠CBD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP，用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并证明你的结论．
26．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 ；当x＜0时，的最大值为 ．
（2）当x＞0时，求的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共24分）
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．
解：A.的被开方数3不含有能开得尽方的数或因式，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；
B.＝2，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，因此选项B不符合题意；
C.＝，被开方数中含有分母，因此选项C不符合题意；
D.＝，被开方数的分母含有二次根式，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的意义是正确判断的关键．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，23
【分析】根据勾股定理的逆定理：a2+b2＝c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12≠22，∴不能构成直角三角形，故B错误；
C、∵62+82＝102，∴能构成直角三角形，故C正确；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．
3．下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义解答即可．
解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意；
D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数概念，关键是掌握在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝3即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
解：A、+无法计算，故此选项错误；
B、2+无法计算，故此选项错误；
C、3﹣＝2，故此选项错误；
D、﹣＝﹣＝，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）
A．4 B．4.4 C．4.8 D．5
【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高BD即可．
解：过A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝CB＝3，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，
∴△ABC的面积为•BC•AE＝×6×4＝12，
∴•AC•BD＝12，
5×BD＝12，
解得BD＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
7．下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB＝CD，AD∥BC；④AB∥CD，AD∥BC．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
解：①、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故①符合题意；
②、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故②符合题意；
③、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意；
④、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故④符合题意；
∴能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②④
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
8．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF始终是等腰直角三角形；
②△OEF面积的最小值是；
③至少存在一个△ECF．使得△ECF的周长是；
④四边形OECF的面积始终是1．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④
【分析】①易证得△OBE≌△OCF（SAS），则可证得结论①正确；
②由OE的最小值是O到BC的距离，即可求得OE的最小值1，根据三角形面积公式即可判断选项②正确；
③利用勾股定理求得≤EF＜2，即可求得选项③正确；
④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．
解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，
∴△OEF面积的最小值是×1×1＝，
故②正确；
③∵BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+，
则EF＝，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE＝＝．
∵OB＝，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，
故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
二.填空题（每小题3分，共27分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x≥6 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
解：由题意可得x﹣6≥0，
解得x≥6，
故答案为：x≥6．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
10．一个边长为a的正方形的面积与长为8，宽为18的矩形面积相等，则a＝ 12 ．
【分析】根据题意列出等式，然后开平方．
解：根据题意，得a2＝8×18，
∵a＞0，
∴a＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查算术平方根的概念，掌握算术平方根的概念的应用是解题关键．
11．一木杆在离地面3米处折断，木杆顶端落在离木杆底端4米处，木杆折断之前高 8 米．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 ＝5，
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故答案为：8．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
12．已知一个等边三角形的边长为2，则这个三角形的高为 ．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长．
解：如图，
等边三角形高线即中线，AB＝2，
∴BD＝CD＝1，
在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1，
∴由勾股定理得，AD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
13．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝35°，D是AB的中点，则∠ADC的度数为 70° ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出CD＝BD，根据等腰三角形的性质求出∠DCB＝∠B，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠B＝35°，
∴∠DCB＝35°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
14．写出一个在函数图象上的点的坐标 （1，0） ．
【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为x≠0，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标．
解：∵，
∴x≠0，即该函数自变量的取值范围为x≠0，
当x＝1时，y＝1﹣＝0，
∴点（1，0）在该函数图象上．
故答案为：（1，0）．
【点评】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．
15．根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容： 平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角
【分析】根据平行四边形、特殊平行四边形的定义，可得答案．
解：由四边形的关系，得
，
故答案为：平行四边形，一组邻边相等，一个角是直角．
【点评】本题考查了多边形，利用平行四边形与特殊平行四边形的关系是解题关键．
16．正方形ABCD的顶点B，C都在平面直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（1，3），则点C的坐标为 （4，0）或（﹣2，0） ．
【分析】根据点A的坐标求出正方形的边长与OB的长度，再求出OC的长，然后写出点C的坐标即可．
解：∵点A的坐标是（1，3），
∴BC＝AB＝3，OB＝1，
当C点在B点右边时，则OC＝OB+BC＝4，
此时，C（4，0），
当C点在B点左边时，则OC＝BC﹣OB＝2，
此时，C（﹣2，0），
∴点C的坐标为（4，0）或（﹣2，0）．
故答案为：（4，0）或（﹣2，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正方形的性质，根据点A的坐标求出正方形的边长是解题的关键．
17．如图，在▱ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF交于H，BF，AD的延长线交于G，给出下列结论：①DB＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④若BG平分∠DBC，则BE＝（+1）EC；其中正确的结论有 ①②③④ ．（填序号）
【分析】①由题意可知△BDE是等腰直角三角形，故此可得到BD＝BE；
②由∠HBE＝∠CBF，∠HEB＝∠CFB证明即可；
③先证明△BHE≌△DEC，从而得到BH＝DC，然后由平行四边形的性质可知AB＝BH；
④连接CH，证△CEH是等腰直角三角形，DH＝CH，设EH＝EC＝a，得出DH＝CH＝EC＝a，进而得出BE＝DE＝（+1）EC．
解：∵DH⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BDE＝45°＝∠DBE，
∴BE＝DE，
由勾股定理得：DB2＝DE2+BE2，
即DB＝DE，①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠DEC＝∠HFD＝90°，
∴∠DHF+∠EDC＝90°，∠EDC+∠C＝90°，
∴∠DHF＝∠C，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C，
∵∠DHF＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，②正确；
在△BHE和△DCE中，
，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴BH＝DC，EH＝EC，
∵AB＝CD，
∴AB＝BH，③正确；
连接CH，如图：
∵BG平分∠DBC，∠DBC＝45°，
∴∠HBE＝22.5°，
∴∠CDE＝22.5°，
∵EH＝EC，∠DEC＝90°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠EHC＝45°＝∠CDE+∠HCD，
∴∠HCD＝22.5°＝∠CDE，
∴DH＝CH，
设EH＝EC＝a，
∴DH＝CH＝EC＝a，
∴DE＝DH+HE＝a+a＝（+1）a，
∴BE＝DE＝（+1）a＝（+1）EC，④正确；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解此题的关键．
三.解答题（第18，20、24-26题每题6分，第19题4分，第21-23题每题5分，共49
18．计算：
（1）；
（2）（2）（）．
【分析】（1）先把每一个二次根式画出最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式进行计算，即可解答．
解：（1）
＝3﹣﹣
＝2﹣；
（2）（2）（）
＝（2）2﹣62
＝12﹣36
＝﹣24．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，求BE的长．
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA＝∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC＝∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE＝CD，则BE可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝8cm，CD＝AB＝6cm，
∴∠EDA＝∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴CE＝CD＝6cm，
∴BE＝BC﹣EC＝2cm．
【点评】本题考查平行四边形性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，求出CE＝CD＝6cm是解题的关键．
20．用“推点法”画出函数y＝2x+1的图象．
解：函数y＝2x+1的自变量x的取值范围是 实数 ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
判断A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）是否在函数y＝2x+1的图象上．
【分析】描点、连线画出一次函数的图象；
一次函数的自变量取值为实数；
把自变量x的值代入解析式y＝2x+1，求出y的值；
把A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）代入解析式y＝2x+1，通过等式是否成立判断是否是直线上的点．
解：
函数y＝2x+1的自变量x的取值范围是实数；
故答案为：实数；
x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，.....．
y＝﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，.....．
把A（﹣2.5，﹣4），B（1，3），C（2.5，3）代入解析式y＝2x+1，
﹣2.5×2+1＝﹣4，1×2+1＝3，2.5×2+1＝6≠3，
∴点A、B在函数y＝2x+1的图象上．
【点评】本题考查了一次函数的图象与图象上的点，解题的关键是掌握一次函数的图象与一次函数图象上点的特点．
21．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，E为AD中点，F为CD边上任意一点，G，H分别为EF，BF中点，求GH的长．
【分析】连接BE．根据中点的定义求得AE＝6．根据矩形的性质和勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理可求GH的长．
解：连接BE．
∵E为AD中点，AD＝12，
∴AE＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
在Rt△ABE中，AB＝8，依据勾股定理BE2＝AB2+AE2，
∴BE＝10．
∵G，H分别为EF，BF中点，
∴GH＝BE＝5．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
22．星期日晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离s（m）与散步所用的时间t（min）之间的函数关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段，在邮亭买了一本杂志，然后回家了．依据图象回答下列问题：
（1）公共阅报栏离小红家有 300 米，小红从家走到公共阅报栏用了 4 分．
（2）小红在公共阅报栏看新闻一共用了 6 分；
（3）邮亭离公共阅报栏有 200 米，小红从公共阅报栏到邮亭用了 3 分；
（4）小红从邮亭走回家用了 5 分，平均速度是 100 米/秒．
【分析】（1）根据图象可知小红经历了4个过程：第0～4min，小红从家走了300m到达公共阅报栏；
（2）第4～10min，小红在公共阅报栏看报；
（3）第10～13min，小红走了200m到达邮亭，第13～18min，小红走回了家，从而可以推出公共阅报栏离小红家有300m、小红从家走到公共阅报栏用了4min、小红在公共阅报栏看报一共用了6min、邮亭离公共阅报栏有200m，小红从公共阅报栏到邮亭用了3min
（4）第13～18min，小红走回了家，从而可以推出邮亭离离小红家距离、平均速度．
解：（1）结合图象的纵轴可知，公共阅报栏离小红家有300m；小红从家走到公共阅报栏用了4min；
故答案为：300；4；
（2）小红在公共阅报栏看报一共用了：10﹣4＝6（min）；
故答案为：6；
（3）邮亭离公共阅报栏距离：500﹣300＝200（m），小红从公共阅报栏到邮亭用时：13﹣10＝3（min）；
故答案为：200，3．
（4）第13～18min，小红走回了家，从而可以推出邮亭离离小红家距离500m、平均速度＝100m|s．
故答案为：5；100．
【点评】本题考查函数的图象，应充分理解图象中的每个量及每条线段的意义，从图象中寻找关键点，结合实际进行求解．
23．EF是△ABC的一条中位线，点E、F分别在AB、AC上，△ABC的一条中线AD与EF交于O点，画图并证明：AD与EF互相平分．
【分析】连接DE，DF，根据EF是△ABC的一条中位线，得到AE＝BE，AF＝CF，根据AD是△ABC的一条中线，得到BD＝CD，根据三角形中位线定理得到DE∥AC，DF∥AB，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
解：如图所示，连接DE，DF，
∵EF是△ABC的一条中位线，
∴AE＝BE，AF＝CF，
∵AD是△ABC的一条中线，
∴BD＝CD，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质定理，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
24．如图，将菱形ABCD的边AD和CD分别延长至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，连接AF，FE，EC，CA，BE．
（1）求证：四边形ACEF是矩形；
（2）若AD＝2，∠ADC＝60°，求BE的长．
【分析】（1）先证四边形ACEF是平行四边形，再由菱形的性质得AD＝CD，然后证AE＝CF，即可得出结论；
（2）过B作BG⊥EC交EC的延长线于点G，由矩形的性质得∠ACE＝90°，则∠ACG＝90°，再证△ADC和△ABC是等边三角形，得AC＝AD＝2，∠ACB＝60°，然后由勾股定理得CE＝2，CG＝，则EG＝CE+CG＝3，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE＝AD，DF＝CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴AD+DE＝CD+DF，
即AE＝CF，
∴平行四边形ACEF是矩形；
（2）解：如图，过B作BG⊥EC交EC的延长线于点G，
则∠BGC＝90°，
由（1）可知，AE＝2AD＝4，四边形ACEF是矩形，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ACG＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ADC和△ABC是等边三角形，
∴AC＝AD＝2，∠ACB＝60°，
∴CE＝＝＝2，
∵∠BCG＝∠ACG﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴BG＝BC＝1，
∴CG＝＝＝，
∴EG＝CE+CG＝2+＝3，
∴BE＝＝＝2，
即BE的长为2．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，过点A作BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠CAE＝α，求∠CBD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP，用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；
（3）根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
解：（1）补全图形，如图所示：
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝α，
∴∠BAF＝45°﹣α，
∵AF⊥BD交BD于点E，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AFB+∠CBD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AFB+∠BAF＝90°，
∵∠CBD＝∠BAF，
∴∠CBD＝45°﹣α；
（3）AB＝DP+BP，理由如下：
如图，延长BP交AC于点G，
∵AF⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAF+∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠BAF＝∠CBD，
在△ABP和△BCD中，
，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠ABP＝∠BCD＝45°，BP＝CD，
∴∠ABG+∠BAG＝45°+45°＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴BG⊥AC，
∴BG＝AB，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，BG⊥AC，
∴CG＝AG＝BG＝AB，
∴PG＝BG﹣BP＝AB﹣BP，DG＝CG﹣CD＝AB﹣BP，
∴PG＝DG，
∴∠GPD＝∠GDP＝45°，
∴DP＝PG＝（AB﹣BP）＝AB﹣BP，
∴AB＝DP+BP．
【点评】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．
26．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 2 ；当x＜0时，的最大值为 ﹣2 ．
（2）当x＞0时，求的最小值．
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
【分析】（1）当x＞0时，按照公式（当且仅当a＝b时取等号）来计算即可；x＜0时，由于﹣x＞0，﹣＞0，则也可以按照公式（当且仅当a＝b时取等号）来计算；
（2）将的分子分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9，则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，四边形ABCD的面积用含x的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
解：（1）当x＞0时，≥2＝2；
当x＜0时，＝﹣（﹣x﹣）
∵﹣x﹣≥2＝2
∴﹣（﹣x﹣）≤﹣2
∴当x＞0时，的最小值为2；当x＜0时，的最大值为﹣2．
故答案为：2；﹣2；
（2）由，
∵x＞0，
∴，
当时，最小值为11．
（3）设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD
∴x：9＝4：S△AOD
∴：S△AOD＝
∴四边形ABCD面积＝4+9+x+≥13+2＝25
当且仅当x＝6时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为25．
【点评】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．
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