数学八年级下册第18章 勾股定理18.2 勾股定理的逆定理精品第1课时课后复习题

18.2　第1课时　勾股定理的逆定理

一、选择题

1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 (　　)

A.3,4,5         B.2,3,4

C.4,6,7         D.5,11,12

2.若3,a,5是勾股数,则a的值是 (　　)

A.4          B.

C.4或        D.4或34

3.若三角形的三边长分别为6,8,10,则最短边上的高为 (　　)

A.8     B.6     C.5     D.10

4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是              (　　)

A.∠A+∠B=∠C

B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3

C.a2=c2-b2

D.a∶b∶c=3∶4∶6

5.若三角形的三边长分别为a,b,c,且满足关系式(a+b)2=c2+2ab,则此三角形为 (　)

A.等边三角形        B.钝角三角形

C.直角三角形        D.锐角三角形

6.一位工人师傅测量了一个等腰三角形工件的腰、底和底边上的高,并按顺序记录了数据,量完后,他不小心把这组数据与其他记录的数据弄混了,请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据              (　　)

A.13,10,10        B.13,10,12

C.13,12,12        D.13,10,11

7.如图1,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为 (　　)

图1

A.90°         B.60°

C.45°         D.30°

二、填空题

8.在△ABC中,已知BC=41,AC=40,AB=9,则△ABC为　　　　　三角形,　　　　　是最大的角. 

9.有一个三角形的两边长是6和10,要使这个三角形为直角三角形,则第三边的长为　　　　. 

10.如图2,供电所李师傅要安装电线杆,按要求,电线杆要与地面垂直,因此,从离地面6 m的C处向地面拉一条长6.5 m的钢绳,现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为2.5 m,则李师傅的安装方法　　　　要求.(填“符合”或“不符合”) 

图2

11.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系式+=0,则△ABC的形状为　　　　　　　. 

12.如图3,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,AD=3.若∠B=90°,则∠BCD的度数为　　　　. 

图3

三、解答题

13.判断下列由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:

(1)a=9,b=5,c=12;

(2)a=12,b=35,c=37. 

14.如图4,在△ABC中,AB=17 cm,BC=16 cm,BC边上的中线AD=15 cm,△ABC是等腰三角形吗?为什么?

图4

15.定义:如图5,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三段,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.

(1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三段,若AM=2,MN=4,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由;

(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.

图5

16. 阅读:所谓勾股数就是方程x2+y2=z2的正整数解构成的一组数.我国古代数学专著《九章算术》一书中,在历史上第一次给出该方程的解为x=(m2-n2),y=mn,z=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.

应用:当n=5时,求一边长为37的直角三角形另两边的长.

答案

1.[答案] A　

2.[答案] A

3.[解析] A　∵62+82=102,∴这个三角形是直角三角形,这个三角形的最短边长是6,则最短边上的高为8,故选A.

4.[解析] D　∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,故A项不符合要求;设∠A=x°,则∠B=2x°,∠C=3x°.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴x+2x+3x=180,解得3x=90,∴∠C=90°,故B项不符合要求;∵a2=c2-b2,∴a2+b2=c2,∴∠C=90°,故C项不符合要求.因此选D.

5.[解析] C　因为(a+b)2=c2+2ab,所以a2+2ab+b2=c2+2ab,即a2+b2=c2,所以此三角形是直角三角形.

6.[解析] B　等腰三角形的腰、底边的一半和底边上的高构成直角三角形.

7.[解析] C　连接AC,则AC=BC==,AB==,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=45°.故选C.

8.[答案] 直角　∠A

9.[答案] 8或2

[解析] 分两种情况:(1)当第三边为斜边时,根据勾股定理,得第三边长==2;

(2)当斜边长为10时,根据勾股定理,得第三边长==8.

因此,第三边的长为8或2.

10.[答案] 符合

11.[答案] 等腰直角三角形

[解析] 由+=0,得c2-a2-b2=0,且a-b=0,即a2+b2=c2,且a=b,

∴△ABC是等腰直角三角形.

12.[答案] 135°

[解析] 连接AC.

在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC==2.

∵CD=1,AD=3,AC=2,

∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°.

∵AB=BC,∠B=90°,

∴∠BAC=∠ACB=45°,

∴∠DCB=90°+45°=135°.

故答案为135°.

13.解:(1)∵a2+b2=92+52=106,

c2=122=144,∴a2+b2≠c2,

∴由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形.

(2)∵a2+b2=122+352=1369,

c2=372=1369,∴a2+b2=c2,

∴由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形.

14.解:△ABC是等腰三角形.理由如下:

∵AD是BC边上的中线,

∴BD=BC=8 cm.

∵AD2+BD2=152+82=289,

AB2=172=289,

∴AD2+BD2=AB2,

∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,

即AD⊥BC,

∴AD是BC的垂直平分线,∴AB=AC,

即△ABC是等腰三角形.

15.解:(1)是.

理由:∵AM2+BN2=22+(2)2=16,MN2=42=16,∴AM2+BN2=MN2,

∴以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,∴点M,N是线段AB的勾股分割点.

(2)设BN=x,则MN=12-AM-NB=7-x.

①若MN为最长线段,则依题意,得MN2=AM2+BN2,

即(7-x)2=x2+25,解得x=;

②若BN为最长线段,则依题意,得BN2=AM2+MN2,

即x2=25+(7-x)2,解得x=.

综上所述,BN的长为或.

16.解:∵n=5,∴x=(m2-52),y=5m,z=(m2+52).

∵直角三角形的一边长为37,

∴分三种情况讨论:

①若x=37,则(m2-52)=37,解得m=±3(不合题意,舍去);

②若y=37,则5m=37,解得m=(不合题意,舍去);

③若z=37,则37=(m2+52),解得m=±7.

∵m>n>0,m,n是互质的奇数,∴m=7.

把m=7代入x=(m2-52),y=5m,得x=12,y=35.

综上所述,当n=5时,一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,35.