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初中数学沪科版八年级下册18.2 勾股定理的逆定理一等奖课件ppt
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这是一份初中数学沪科版八年级下册18.2 勾股定理的逆定理一等奖课件ppt，文件包含182勾股定理的逆定理ppt、182勾股定理的逆定理同步练习doc、182勾股定理的逆定理教学设计doc等3份课件配套教学资源，其中PPT共31页， 欢迎下载使用。
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
(1)有一个角是90°;
(2)两个锐角的和是90° ；
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；
(2)如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.
(3)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方
(4)30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
据说，几千年前古埃及人已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13 个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形，最长边所对的角就是直角．
相传，大禹治水时也用这类似的方法确定直角.
问题1.三角形的三边分别为
实验操作： 分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们一定是直角三角形吗？ ① 3, 4, 5； ② 6，8，10．
用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数
这三组数都满足a2+b2=c2吗？
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.
我们发现这个定理可以用来判定一个三角形是直角三角形.
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．
证明：画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°，由勾股定理得：
即△ABC是直角三角形
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有a2 + b2 = c2
如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形。
我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理；两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝7 , b ＝24 , c＝25
(2) a＝7, b ＝8 , c＝11
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解： (1) ∵ 最大边是c=25, c2 = 252＝625 a2 + b2 =72＋242＝49+576 ＝625 ∴ a2 + b2 ＝ c2 ∴ 这个三角形是直角三角形
解：(2) ∵最大边是a＝11，a2＝121， b2+c2＝72+82＝113，
∴ △ABC不是直角三角形.
像7、24、25能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
例2 下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代n为满足条件的特殊值来试，n=4.则a=15,b=8,c=17,c最大.
例3 已知：在△ABC中，三条边长分别为 a=n2 - 1, b=2n,c=n2 +1（ n>1,n是正整数）， 求证：△ABC为直角三角形.
证明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2 ＝n4－2n2+1+4n2 ＝n4+2n2+1 ＝(n2+1)2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，(勾股定理的逆定理).
1. 三角形中,大边对 角,小边对 角,直角三角形中的最大角是 ,是 边所对的角.
2. 判定一个三角形是否是直角三角形的步骤有哪些?
(1)找到最大边并计算它的平方,
(2)计算另两边的平方和,
(3)若两数相等,则三角形是直角三角形, 若不相等,则这个三角形不是直角三角形
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( )A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5
分析：根据勾股定理的逆定理，要能组成一个直角三角形的三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方.
∵ 52+122=132∴三条线段能组成直角三角形
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
分析:由于三角形是直角三角形，所以三边满足勾股定理，当各边扩大或者缩小k倍时，再利用勾股定理的逆定理，判断三角形的形状，
设直角三角形的直角边分别是a、b，斜边为c，则满足a2+b2＝c2，若各边都扩大k倍，则三边分别是ax、bk、cK，∵ （ax）2+ （bk） 2=k2(a2+b2)＝ （cK） 2∴三角形为直角三角形
3.三角形三边a，b，c 满足条件:(a+b)2－c2＝2ab，此三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
分析：因为a、b、c，分别为三角形的三边，可化简:(a+b)2－c2＝2ab得到结论，
4.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是 ______三角形.
分析：根据勾股定理的几何意义， 25+ 144＝ 169，即52+122＝132则这个三角形的形状可判定，
∵ 25+ 144＝ 169 ∴ 52+122＝132∴三条线段能组成直角三角形
5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同伴交流.
解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形. 由勾股定理知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, ∴BE2+EF2=BF2, ∴ △BEF是直角三角形.
1.(2018南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）Ａ.3,4,5 Ｂ.2,3,4 Ｃ.4,5,6 Ｄ.5,11,12
分析:利用勾股定理的逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角，由此可判定即可，
∵ 32+42=52∴三条线段能组成直角三角形
2.(2017益阳)如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
分析：先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∵CD是AB边上的中线，∴CD=6.5；故答案为：6.5．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
选做题：P60习题18.2：第5、6题
必做题：P60习题18.2：第1、2 、3 、4题
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
(1)有一个角是90°;
(2)两个锐角的和是90° ；
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；
(2)如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.
(3)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方
(4)30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
据说，几千年前古埃及人已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13 个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形，最长边所对的角就是直角．
相传，大禹治水时也用这类似的方法确定直角.
问题1.三角形的三边分别为
实验操作： 分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们一定是直角三角形吗？ ① 3, 4, 5； ② 6，8，10．
用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数
这三组数都满足a2+b2=c2吗？
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.
我们发现这个定理可以用来判定一个三角形是直角三角形.
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．
证明：画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°，由勾股定理得：
即△ABC是直角三角形
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有a2 + b2 = c2
如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形。
我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理；两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝7 , b ＝24 , c＝25
(2) a＝7, b ＝8 , c＝11
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解： (1) ∵ 最大边是c=25, c2 = 252＝625 a2 + b2 =72＋242＝49+576 ＝625 ∴ a2 + b2 ＝ c2 ∴ 这个三角形是直角三角形
解：(2) ∵最大边是a＝11，a2＝121， b2+c2＝72+82＝113，
∴ △ABC不是直角三角形.
像7、24、25能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
例2 下列各组数是勾股数的是( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代n为满足条件的特殊值来试，n=4.则a=15,b=8,c=17,c最大.
例3 已知：在△ABC中，三条边长分别为 a=n2 - 1, b=2n,c=n2 +1（ n>1,n是正整数）， 求证：△ABC为直角三角形.
证明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2 ＝n4－2n2+1+4n2 ＝n4+2n2+1 ＝(n2+1)2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，(勾股定理的逆定理).
1. 三角形中,大边对 角,小边对 角,直角三角形中的最大角是 ,是 边所对的角.
2. 判定一个三角形是否是直角三角形的步骤有哪些?
(1)找到最大边并计算它的平方,
(2)计算另两边的平方和,
(3)若两数相等,则三角形是直角三角形, 若不相等,则这个三角形不是直角三角形
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( )A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5
分析：根据勾股定理的逆定理，要能组成一个直角三角形的三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方.
∵ 52+122=132∴三条线段能组成直角三角形
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
分析:由于三角形是直角三角形，所以三边满足勾股定理，当各边扩大或者缩小k倍时，再利用勾股定理的逆定理，判断三角形的形状，
设直角三角形的直角边分别是a、b，斜边为c，则满足a2+b2＝c2，若各边都扩大k倍，则三边分别是ax、bk、cK，∵ （ax）2+ （bk） 2=k2(a2+b2)＝ （cK） 2∴三角形为直角三角形
3.三角形三边a，b，c 满足条件:(a+b)2－c2＝2ab，此三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
分析：因为a、b、c，分别为三角形的三边，可化简:(a+b)2－c2＝2ab得到结论，
4.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是 ______三角形.
分析：根据勾股定理的几何意义， 25+ 144＝ 169，即52+122＝132则这个三角形的形状可判定，
∵ 25+ 144＝ 169 ∴ 52+122＝132∴三条线段能组成直角三角形
5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？ 与你的同伴交流.
解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形. 由勾股定理知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, ∴BE2+EF2=BF2, ∴ △BEF是直角三角形.
1.(2018南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）Ａ.3,4,5 Ｂ.2,3,4 Ｃ.4,5,6 Ｄ.5,11,12
分析:利用勾股定理的逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角，由此可判定即可，
∵ 32+42=52∴三条线段能组成直角三角形
2.(2017益阳)如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
分析：先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，∵CD是AB边上的中线，∴CD=6.5；故答案为：6.5．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
选做题：P60习题18.2：第5、6题
必做题：P60习题18.2：第1、2 、3 、4题
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