【中职专用】（北师大版2021·基础模块上册）高一数学第四单元+指数函数与对数函数（B卷·能力提升）-同步单元测试AB卷

第四单元 指数函数与对数函数（B卷·能力提升）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项正确。

1．已知，则（　　）

A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．

【详解】解：∵log20.2＜log21＝0，20.2＞20＝1，0＜0.20.3＜0.20＝1，

∴a＜c＜b．

故选：D．

2．已知A＝{x∈N+|x（x﹣3）≤0}，函数y＝ln（x﹣1）的定义域为集合B，则A∩B＝（　　）

A．{1，2，3} B．[1，3] C．（1，3] D．{2，3}

【答案】D

【分析】求出集合A中不等式的解集，找出解集的正整数解确定出A，求出函数y＝ln（x﹣1）的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．

【详解】解：由集合A中的不等式x（x﹣3）≤0，x∈N+，

解得：0≤x≤3，即x＝1，2，3，

∴A＝{1，2，3}；

由y＝ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，

∴B＝（1，+∞），

则A∩B＝{2，3}．

故选：D

3．函数的定义域为（　　）

A．[，+∞） B．[，2] C．[，2） D．[2，+∞）

【答案】C

【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．

【详解】解：要使原函数有意义，则，解得＜2．

∴函数的定义域为[，2）．

故选：C．

4．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则f（16）＝（　　）

A． B． C．4 D．8

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，即可求解．

【详解】解：由题意可设幂函数f（x）＝xα，

∵幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），

∴4α＝2，解得α＝，

∴f（x）＝，

∴f（16）＝．

故选：C．

5．若，且x＞0，则x＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据对数式和指数式的互化可得出x2+2x﹣15＝0，然后根据x＞0解出x的值即可．

【详解】解：∵，

∴x2+2x+1＝16，且x＞0，解得x＝3．

故选：B．

6．已知，，，则（　　）

A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b

【答案】D

【分析】利用中间值0，1可以比较三者的大小关系．

【详解】解：因为，，，

所以a＞c＞b．

故选：D．

7．设log34＝a，log35＝b，则log310＝（　　）

A．2a+4b B．4a﹣2b C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的运算法则即可求解．

【详解】解：由log34＝a得，

所以．

故选：C.

8．设集合M＝{x|x2﹣4x+3≥0}，N＝{x|log2x≤1}，则集合M∩N＝（　　）

A．（﹣∞，1] B．（0，1] C．[1，2] D．（﹣∞，0]

【答案】B

【分析】求出集合M，N，利用交集定义能求出集合M∩N．

【详解】解：∵集合M＝{x|x2﹣4x+3≥0}＝{x|x≤1或x≥3}，

N＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，

∴集合M∩N＝（0，1]．

故选：B．

9．幂函数f（x）＝xα的图象过点，则f（2）＝（　　）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】将点代入幂函数f（x）＝xα中，求出α，再计算f（2）的值．

【详解】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象过点，

∴将点代入幂函数f（x）＝xα，解得，

∴f（2）＝．

故选：A．

10．已知，则（　　）

A．x＞y＞z B．z＞x＞y C．y＞z＞x D．y＞x＞z

【答案】A

【分析】根据对数的运算，分别利用对数的单调性、对数作商即可求解．

【详解】解：因为，，，

由，

所以y＞z，

由，而，则，所以x＞y，

综上：x＞y＞z．

故选：A．

二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共20分。

11．已知幂函数．若f（a+1）＜f（3﹣2a），则实数a的取值范围是 　　    ．

【答案】[﹣1，）

【分析】根据幂函数f（x）的定义域和单调性，把不等式f（a+1）＜f（3﹣2a）转化为关于a的不等式组，求出解集即可．

【详解】解：幂函数f（x）＝，且在[0，+∞）是单调增函数，

所以不等式f（a+1）＜f（3﹣2a），

等价于，

解得：﹣1≤a＜；

所以实数a的取值范围是[﹣1，）．

故答案为：[﹣1，）

12．＝　　   ．

【答案】

【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可求．

【详解】解：原式＝3+1++π﹣3＝．

故答案为：．

13．若lga﹣2lg2＝1，则a＝　  　．

【答案】40

【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．

【详解】解：lga﹣2lg2＝1，

则，即，解得a＝40．

故答案为：40．

14．点P（2，16）、Q（log23，t）都在同一个指数函数的图像上，则t＝　 　．

【答案】9

【分析】将点P代入指数函数y＝ax（a＞0）得a，再将点Q代入，可得t．

【详解】解：设这个指数函数为y＝ax（a＞0），

过点P（2，16），则有16＝a²，∴a＝4，

∴y＝4x，函数过点Q（log23，t），

则有t＝＝＝9．

故答案为：9．

三、解答题：本题共3小题，共40分。

15. （1）求值：；

（2）求值：．

【答案】（1）12   （2）

【分析】（1）利用指数的运算性质计算即可；

（2）利用对数的运算性质及对数恒等式计算即可．

【详解】解：（1）原式＝；

（2）原式＝＝＝．

16．已知．

（1）求a，b的值；

（2）若（a+1）c＝3，用b，c表示log4918的值．

【答案】见详解

【分析】（1）根据指数和对数的运算性质可求出a，b可得结果；

（2）根据指数式与对数式的互化以及对数的运算性质可得结果．

【详解】解：（1）因为，

所以，

所以，

所以a+2＝12﹣3﹣1，

所以a＝6，

因为，所以7b＝（7b）2﹣12，即（7b﹣4）（7b+3）＝0，解得7b＝4，7b＝﹣3（舍去），

故b＝log74．

（2）由（1）知，a＝6，b＝log74，

所以7c＝3，所以c＝log73，

所以＝．

17．已知函数f（x）与y＝log2x互为反函数，记函数g（x）＝f（2x）﹣3f（x）+2．

（1）若g（x）≤0，求x的取值范围；

（2）若x∈[0，2]，求g（x）的最大值．

【答案】(1) x的取值范围是[0，1]．

(2) 当x∈[0，2]时，函数g（x）的最大值为6．

【分析】（1）根据题意可得f（x）＝2x，根据一元二次不等式结合指数函数单调性解不等式；

（2）换元令t＝2x，结合二次函数求最值．

【详解】解：（1）因为f（x）与y＝log2x互为反函数，则f（x）＝2x，

故g（x）＝22x﹣3⋅2x+2，

不等式g（x）≤0，即为22x﹣3⋅2x+2≤0，即（2x﹣1）（2x﹣2）≤0，解得1≤2x≤2，

故0≤x≤1，

所以x的取值范围是[0，1]．

（2）令t＝2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]，

函数g（x）等价转化为h（t）＝t2﹣3t+2，t∈[1，4]，

则，

所以当t＝4时，h（t）取得最大值h（4）＝6，

故当x∈[0，2]时，函数g（x）的最大值为6．