【中职专用】（北师大版2021·基础模块上册）高一数学第五单元+三角函数（B卷·能力提升）-同步单元测试AB卷

第五单元  三角函数（B卷·能力提升）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项正确。

1．与2023°终边相同的角是（　　）

A．﹣487° B．﹣143° C．143° D．223°

【答案】D

【分析】由已知结合与α终边相同的角可表示为α+k×360°，k∈Z．

【详解】解：∵2023°＝5×360°+223°，

∴与2023°终边相同的角是223°．

故选：D．

2．下列说法正确的是（　　）

A．小于90°的角是锐角 

B．钝角是第二象限的角 

C．第二象限的角大于第一象限的角 

D．若角α与角β的终边相同，那么α＝β

【答案】B

【分析】直接利用角的概念判断即可．

【详解】解：小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，A不正确．

钝角是第二象限的角，正确；

第二象限的角大于第一象限的角，例如：150°是第二象限角，390°是第一象限角，显然判断是不正确的．C是不正确的．

若角α与角β的终边相同，那么α＝β+2kπ，k∈Z，所以D不正确．

故选：B．

3．若角α是第二象限角，则角α﹣270°的终边所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据终边相同的角的概念，判断即可．

【详解】解：因为角α是第二象限角，

所以角α﹣270°与角α+90°的终边相同，所在的象限是第三象限．

故选：C．

4．设圆心角为的扇形的弧长为l，面积为S，则＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据扇形弧长、面积公式求解即可．

【详解】解：设扇形的半径为r，则，所以，

又，

∴．

故选：D

5．终边落在直线y＝x上的角α的集合为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线y＝x的斜率为1，其倾斜角为，即可求解．

【详解】解：直线y＝x的斜率为1，其倾斜角为，

故终边落在直线y＝x上的角α的集合为．

故选：B．

6．750°化成弧度为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由180°＝π，得1°＝，代入可得750°＝750×，即可得解．

【详解】解：∵180°＝π，

∴1°＝，

则750°＝750×＝ rad．

故选：A．

7．已知角α的终边与单位圆的交点为，则cos2α＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用任意角的三角函数的定义可求sinα的值，进而利用二倍角的余弦公式即可求解cos2α的值．

【详解】解：因为角α的终边与单位圆的交点为，

所以sinα＝，

则cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2＝﹣．

故选：B．

8．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则tanα的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据正切函数的定义计算．

【详解】解：由题意．

故选：D．

9．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则cos2α＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知根据三角函数的定义得出sinα，cosα的值，根据二倍角公式，即可得出答案．

【详解】解：由已知可得，，，

所以cos2α＝cos2α﹣sin2α＝．

故选：D．

10．若tanθ＝3，则＝（　　）

A．2 B．﹣2 C． D．

【答案】A

【分析】直接利用三角函数关系式的变换求出结果．

【详解】解：由于：tanθ＝3，

故：，

故选：A．

二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共20分。

11．300°化成弧度是 　     ．

【答案】

【分析】根据换算公式360°＝2π计算即可．

【详解】解：．

故答案为：．

12．若α＝k•360°+45°，k∈Z，则是第　    　象限角．

【答案】一或第三．

【分析】由已知可求＝k•180°+22.5°，k∈Z，分类讨论，当k＝2n，n∈Z时，＝n•360°+22.5°为第一象限角；当k＝2n﹣1，n∈Z时，＝n•360°+202.5°为第三象限角，由此得解．

【详解】解：∵α＝k•360°+45°，k∈Z，

∴＝k•180°+22.5°，k∈Z，

∴当k＝2n，n∈Z时，＝n•360°+22.5°为第一象限角；

当k＝2n﹣1，n∈Z时，＝n•360°+202.5°为第三象限角，

综上，是第一或第三象限角．

故答案为：一或第三．

13. 已知，则cos36°＝　　  ．

【答案】

【分析】根据二倍角的余弦公式，准确运算，即可求解．

【详解】解：因为，

所以cos36°＝1﹣2sin218°＝

＝．

故答案为：．

14．已知角α的终边过点P（﹣4，3），则2sinα+tanα＝　　  ．

【答案】

【分析】先求出原点到点P的距离，依据任意角的三角函数的定义求出sina和tana 的值，然后代入式子运算．

【详解】解：点P（﹣4，3）在角α的终边上，则|OP|＝5，

∴sinα＝，tanα＝﹣，

∴2sinα+tanα＝﹣＝

故答案为：．

三、解答题：本题共3小题，共40分。

15. 已知扇形的半径为1，中心角为120°，求该扇形的周长和面积．

【答案】+2，．

【分析】根据扇形弧长公式以及面积公式即可求出．

【详解】解：因为扇形的半径为1，中心角为120°，

所以这个扇形的弧长为：＝，

所以这个扇形的周长为：1+1+＝+2．

扇形的面积为：．

故答案为：+2，．

16．（1）求终边落在直线y＝﹣x上的角的集合．

（2）终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？

（3）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），那么角α的集合如何表示？

【答案】见详解

【分析】（1）（2）直接写出角的集合即可；（3）结合图像写出角的范围即可．

【详解】解：（1）终边落在直线y＝﹣x上的角设为θ，

则表示其角的集合为：{θ|θ＝kπ+，k∈Z}．

（2）终边落在第一、三象限角平分线上的角设为β，

则表示其角的集合为：{β|β＝kπ+，k∈Z}．

（3）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内（不包含边界），

那么角α的集合表示为：{α|45°+k•360°＜α＜150°+k•360°，k∈Z}．

17．（Ⅰ）时钟的分针所转的角是正的还是负的？分针走2小时15分钟所转的角为多少度？

（Ⅱ）若将时间拨慢5分钟，则时针转了多少度？分针转了多少度？

【答案】见详解

【分析】（I）根据已知条件，结合时针的指针为顺时针旋转，且每转过一分钟所转过的角为6°，即可求解；

（Ⅱ）根据5分钟在时针和分针的占比，即可求解．

【详解】解：（Ⅰ）时针的分针所转的角是负的，每转过一分钟所转过的角为，

2小时15分＝135分，

故分针走2小时15分钟所转的角为135×（﹣6°）＝﹣810°；

（Ⅱ）拨慢钟表，即将表针逆时针旋转，得正角，

时针转30°为1小时，5分钟对应小时，

则时针转了＝2.5°，

分针转360°为60分钟，

分针转了．