【中职专用】（北师大版2021·基础模块上册）高一数学第三单元++函数（B卷·能力提升）-同步单元测试AB卷

第三单元  函数（B卷·能力提升）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项正确。

1．函数的自变量x的取值范围是（　　）

A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≠2

【答案】B

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．

【详解】解：由题意得：x﹣2＞0，

解得：x＞2，

故选：B．

2．下列函数为偶函数且在上为减函数的是（　　）

A．f（x）＝sinx B．f（x）＝tanx C．f（x）＝cosx D．f（x）＝|x|

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性和单调性分别进行判断即可．

【详解】解：A．f（x）＝sinx的定义域为R，f（x）＝sinx为奇函数，不满足条件．

B．f（x）＝tanx在上为增函数，不满足条件．

C．f（x）＝cosx是偶函数，在上是减函数，满足条件，

D．f（x）＝|x|为偶函数，在上为增函数，不满足条件．

故选：C．

3．函数的奇偶性为（　　）

A．奇函数          B．偶函数 C．既奇又偶函数    D．非奇非偶函数

【答案】D

【分析】根据题意，求出函数的定义域，可得该函数的定义域不关于原点对称，结合奇偶性的定义分析可得答案．

【详解】解：根据题意，函数，有≥0，解可得﹣1＜x≤1，其定义域为（﹣1，1]，不关于原点对称；

故f（x）是非奇非偶函数．

故选：D．

4．函数f（x）＝x2﹣ax在区间[1，+∞）上严格增，则实数a的取值范围为（　　）

A．{2} B．[2，+∞） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，1]

【答案】C

【分析】根据二次函数图象的开口方向与对称轴性质，列出关于a的不等式即可求解．

【详解】解：依题意知，函数f（x）＝x2﹣ax的图象对称轴为，开口向上，

因为函数f（x）＝x2﹣ax在区间[1，+∞）上严格增，

所以，解得a≤2．

故选：C．

5．已知函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（1）＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．

【详解】解：∵，f（1）＝21+1＝3，

∴，

故选：C．

6．已知函数，则f（x）（　　）

A．是奇函数，且在R上是增函数 

B．是偶函数，且在R上是增函数 

C．是奇函数，且在R上是减函数 

D．是偶函数，且在R上是减函数

【答案】C

【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式计算f（﹣x），分析可得f（﹣x）＝﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质分析可得y＝（）x为减函数，y＝3x为增函数，则为减函数；综合可得答案．

【详解】解：根据题意，，

其定义域为R，

又由f（﹣x）＝（）﹣x﹣3﹣x＝3x﹣（）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；

，由指数函数的性质，y＝（）x为减函数，y＝3x为增函数，则为减函数；

故选：C．

7．函数的定义域是（　　）

A．（﹣∞，0）∪（0，2） B．（0，2） 

C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，0）∪（0，2]

【答案】A

【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解．

【详解】解：要使函数有意义，则有，解得x＜2且x≠0，

所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，2）．

故选：A.

8．下列函数值域为R的函数为（　　）

A． B．y＝tanx C．y＝2x D．

【答案】B

【分析】分别根据幂函数，指数函数和正切函数的图象和性质，判断即可．

【详解】解：A项，y＝的值域为[0，+∞），错误；

B项，y＝tanx的值域为R，正确；

C项，y＝2x的值域为（0，+∞），错误；

D项，y＝的值域为{x|x≠0}，错误；

故选：B．

9．已知函数f（x﹣1）＝x2﹣3，则f（2）的值为（　　）

A．﹣2 B．0 C．1 D．6

【答案】D

【分析】令 x﹣1＝2，可得 x＝3，从而得到  f（2）＝32﹣3＝6．

【详解】解：令 x﹣1＝2，可得 x＝3，故 f（2）＝32﹣3＝6，

故选：D．

10．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　）

A．y＝﹣|x| B．y＝x2﹣2x C．y＝sinx D．

【答案】D

【分析】由已知结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．

【详解】解：当x＞0时，

y＝﹣|x|＝﹣x单调递减，A不符合题意；

y＝x2﹣2x不具有单调性，不符合题意；

y＝sinx不具有单调性，不符合题意；

y＝x﹣单调递增，符合题意．

故选：D.

二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共20分。

11．函数f（x）＝的定义域是　     　．

【答案】（﹣4，1）．

【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．

【详解】解：函数f（x）＝中，

由﹣x2﹣3x+4＞0，

整理得x2+3x﹣4＜0，

解得﹣4＜x＜1；

所以函数f（x）的定义域是（﹣4，1）．

故答案为：（﹣4，1）．

12．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（﹣2）＝　        ．

【答案】-

【分析】设出幂函数的解析式，由图象过（，8）确定出解析式，然后令x＝﹣2即可得到f（﹣2）的值．

【详解】解：设f（x）＝xa，因为幂函数图象过，

则有8＝，∴a＝﹣3，即f（x）＝x﹣3，

∴f（﹣2）＝（﹣2）﹣3＝﹣

故答案为：﹣

13．已知函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+x，则f（﹣1）＝　  　．

【答案】-2

【分析】利用奇偶性得出f（﹣1）＝﹣f（1），即可代入求解．

【详解】解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1），

∵x≥0时，f（x）＝x2+x，∴f（1）＝1+1＝2，∴f（﹣1）＝﹣2．

故答案为：﹣2．

14．函数f（x）＝+的定义域为　     　．

【答案】[﹣2，2）

【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．

【详解】解：要使函数有意义，则，

得，即﹣2≤x＜2，

即函数的定义域为[﹣2，2），

故答案为：[﹣2，2）

三、解答题：本题共3小题，共40分。

15. 已知函数．

（1）求f（3）的值；

（2）求f（x）的定义域．

【答案】见详解

【分析】（1）直接取x＝3可得f（3）的值；

（2）由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，联立不等式组求解．

【详解】解：（1）∵，

∴f（3）＝；

（2）要使原函数有意义，则，解得0≤x＜4．

∴原函数的定义域为[0，4）．

16．已知函数（x≠0，a∈R）．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）当a＝1时，用单调性的定义证明f（x）在[2，+∞）上是增函数．

【答案】见详解

【分析】（1）根据题意，分a＝0与a≠0两种情况讨论，分析函数的奇偶性，即可得结论；

（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．

【详解】解：（1）根据题意，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

当a＝0时，f（x）＝2x2，有f（﹣x）＝f（x），f（x）是偶函数．

当a≠0时，（x≠0，a≠0），则f（﹣x）＝2x2﹣，

f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），则f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

综上可知，当a＝0时，f（x）是偶函数；当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（2）根据题意，当a＝1时，，

任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，

则＝．

因为2≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞4，2x1x2（x1+x2）﹣1＞0，

所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．

所以f（x）在[2，+∞）上是增函数．

17．已知函数f（x）＝x2+mx+1（m是常数）的图象过点（1，2）．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）求不等式f（x）＜2x+1的解集．

【答案】（Ⅰ）f（x）＝x2+1  （Ⅱ）（0，2）

【分析】（Ⅰ）根据f（1）＝2，求得m的值，即可得到答案；

（Ⅱ）转化解不等式x2﹣2x＜0即可．

【详解】解：（Ⅰ）由题意，f（1）＝m+2＝2，

所以m＝0．

所以f（x）的解析式为f（x）＝x2+1．

（Ⅱ）不等式f（x）＜2x+1等价于x2﹣2x＜0，

解得0＜x＜2，

所以不等式f（x）＜2x+1的解集为（0，2）．