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2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第二讲空间几何体的表面积与体积课件
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这是一份2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第二讲空间几何体的表面积与体积课件，共49页。PPT课件主要包含了图6-2-2，答案C，答案A，图D26，图6-2-6，答案D，图6-2-7，题后反思，答案B，图6-2-14等内容，欢迎下载使用。
柱、锥、台和球的侧面积和体积
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论①正方体的棱长为 a，球的半径为 R：a.若球为正方体的外接球，则 2R＝
考点一 几何体的表面积[例 1](2022 年济南市调研)如图 6-2-1，四面体的各个面都是边长为 1 的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另
一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是(
解析：如图 6-2-2 所示，过点 P 作 PE⊥平面 ABC，E为垂足，点 E 为等边三角形 ABC 的中心，连接 AE 并延长，交 BC 于点 D.
【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积
(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.
【变式训练】1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该
2.(2022 年南京市质检)如图 6-2-3 所示，在四边形 ABCD 中，
∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2
四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积为________.图 6-2-3
解析：由题意可得，四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体.如图 D26，过点 C 作 CE⊥AD交 AD 的延长线于点 E，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 F.
则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，
EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cs 45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，
故圆台的上底面半径 r＝2，
下底面半径 R＝5，高 h＝4，母线长 l2＝5.
圆锥底面半径r＝2，高h＝2，母线长l1＝2
考点二 几何体的体积考向 1 多面体的体积
通性通法：求几何体体积的常用方法
[例 2](1)(2021 年全国Ⅱ)已知正四棱台的上、下底面边长分别
为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为(
图 6-2-4答案：D
(2)(2022 年天津卷改编)如图 6-2-5，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面
是顶角为 120°、腰为 3 的等腰三角形，则该几何体的体积为(图 6-2-5
解析：如图 6-2-6，该几何体由直三棱柱 AFD-BHC 及直三棱柱DGC-AEB 组成，作HM⊥CB 于点 M.因为 CH＝BH＝3，∠CHB
在直棱柱 AFD-BHC 中，AB⊥平面 BHC，则 AB⊥HM，由 AB∩BC＝B 可得 HM⊥平面 ADCB.设重叠后的 EG 与 FH 交点为 I，
考向 2 旋转体的体积
通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
[例 3]过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部
分的体积之比是(A.1∶1C.1∶7
解析：如图 6-2-7，设圆锥底面半径 OB＝R，高 PO＝h，
【考法全练】1.(考向 2)圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是 6π，
解析：设圆台上底面半径为 r，下底面半径为 R，母线长为 l，上底面面积为S1，下底面面积为S2，圆台高为h，则S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，
2.(考向 1)如图 6-2-8，已知三棱台ABCA1B1C1中，S△ABC＝25，
答案：(1)50 (2)30
考点三 组合体的表面积与体积
[例4]如图 6-2-9，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以 l 为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积.
解：如图 6-2-9，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单几何体的体积之和(差).
(2023 年城厢区校级期中)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》有如下叙述：“邪解立方，得两堑堵.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.意思是说：将一个长方体沿对角面斜截(图 6-2-10)，得到一模一样的两个堑堵(图 6-2-11)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截(图6-2-11)，得一个四棱锥称为阳马(图 6-2-12)，一个三棱锥称为鳖臑(图 6-2-13).
若长方体的体积为 V，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马
和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3 ，则下列选项不正确的是(
A.V1＋V2＋V3＝V
⊙巧解简单几何体的外接球与内切球问题
简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，几乎每年都要考查，重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力.此类问题实质是解决球的半径长或确定球心 O 的位置问题，其中球心的确定是关键.
[例 5](2022 年全国乙卷理科)已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的
解析：对于圆内接四边形，如图 6-2-14 所示，
当且仅当 AC，BD 为圆的直径，且 AC⊥BD 时，等号成立，此时四边形 ABCD 为正方形，∴当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边
【题后反思】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等.
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
1.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为 3，高为 8，则球的表面
积为________.
解析：如图 D27，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，
所以球的表面积为 100π.
2.(2022 年郑州市期末)我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵也被作为装饰物来使用.图 6-2-15 是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图 6-2-16，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为 2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的体积为__________________.
解析：设正四棱柱和正四棱锥的高均为 h，根据对称性，可知该几何体的外接球的球心为正四棱柱的体心，球的直径 2R 即为正四棱柱的体对角线，
柱、锥、台和球的侧面积和体积
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论①正方体的棱长为 a，球的半径为 R：a.若球为正方体的外接球，则 2R＝
考点一 几何体的表面积[例 1](2022 年济南市调研)如图 6-2-1，四面体的各个面都是边长为 1 的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另
一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是(
解析：如图 6-2-2 所示，过点 P 作 PE⊥平面 ABC，E为垂足，点 E 为等边三角形 ABC 的中心，连接 AE 并延长，交 BC 于点 D.
【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积
(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.
【变式训练】1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该
2.(2022 年南京市质检)如图 6-2-3 所示，在四边形 ABCD 中，
∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2
四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积为________.图 6-2-3
解析：由题意可得，四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体.如图 D26，过点 C 作 CE⊥AD交 AD 的延长线于点 E，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 F.
则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，
EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cs 45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，
故圆台的上底面半径 r＝2，
下底面半径 R＝5，高 h＝4，母线长 l2＝5.
圆锥底面半径r＝2，高h＝2，母线长l1＝2
考点二 几何体的体积考向 1 多面体的体积
通性通法：求几何体体积的常用方法
[例 2](1)(2021 年全国Ⅱ)已知正四棱台的上、下底面边长分别
为 2，4，侧棱长为 2，则其体积为(
图 6-2-4答案：D
(2)(2022 年天津卷改编)如图 6-2-5，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面
是顶角为 120°、腰为 3 的等腰三角形，则该几何体的体积为(图 6-2-5
解析：如图 6-2-6，该几何体由直三棱柱 AFD-BHC 及直三棱柱DGC-AEB 组成，作HM⊥CB 于点 M.因为 CH＝BH＝3，∠CHB
在直棱柱 AFD-BHC 中，AB⊥平面 BHC，则 AB⊥HM，由 AB∩BC＝B 可得 HM⊥平面 ADCB.设重叠后的 EG 与 FH 交点为 I，
考向 2 旋转体的体积
通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
[例 3]过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部
分的体积之比是(A.1∶1C.1∶7
解析：如图 6-2-7，设圆锥底面半径 OB＝R，高 PO＝h，
【考法全练】1.(考向 2)圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是 6π，
解析：设圆台上底面半径为 r，下底面半径为 R，母线长为 l，上底面面积为S1，下底面面积为S2，圆台高为h，则S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，
2.(考向 1)如图 6-2-8，已知三棱台ABCA1B1C1中，S△ABC＝25，
答案：(1)50 (2)30
考点三 组合体的表面积与体积
[例4]如图 6-2-9，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以 l 为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积.
解：如图 6-2-9，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的.组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单几何体的体积之和(差).
(2023 年城厢区校级期中)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》有如下叙述：“邪解立方，得两堑堵.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.意思是说：将一个长方体沿对角面斜截(图 6-2-10)，得到一模一样的两个堑堵(图 6-2-11)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截(图6-2-11)，得一个四棱锥称为阳马(图 6-2-12)，一个三棱锥称为鳖臑(图 6-2-13).
若长方体的体积为 V，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马
和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3 ，则下列选项不正确的是(
A.V1＋V2＋V3＝V
⊙巧解简单几何体的外接球与内切球问题
简单几何体外接球与内切球问题是立体几何中的难点，也是历年高考重要的考点，几乎每年都要考查，重在考查考生的直观想象能力和逻辑推理能力.此类问题实质是解决球的半径长或确定球心 O 的位置问题，其中球心的确定是关键.
[例 5](2022 年全国乙卷理科)已知球 O 的半径为 1，四棱锥的顶点为 O，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的
解析：对于圆内接四边形，如图 6-2-14 所示，
当且仅当 AC，BD 为圆的直径，且 AC⊥BD 时，等号成立，此时四边形 ABCD 为正方形，∴当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边
【题后反思】常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等.
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
1.圆柱内接于球，圆柱的底面半径为 3，高为 8，则球的表面
积为________.
解析：如图 D27，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，
所以球的表面积为 100π.
2.(2022 年郑州市期末)我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵也被作为装饰物来使用.图 6-2-15 是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图 6-2-16，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为 2，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的体积为__________________.
解析：设正四棱柱和正四棱锥的高均为 h，根据对称性，可知该几何体的外接球的球心为正四棱柱的体心，球的直径 2R 即为正四棱柱的体对角线，
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