2024届高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件，共34页。PPT课件主要包含了答案B，答案A，答案12，答案C，答案AC，答案336，答案7200，答案D，种不同的选择，两类计算等内容，欢迎下载使用。

完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法.
完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m×n 种不同的方法.
两个计数原理的区别与联系
考点一 分类加法计数原理的应用1.满足 a，b∈{－1，0，1，2}，则关于 x 的方程 ax2＋2x＋b
＝0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为(
解析：方程 ax2＋2x＋b＝0 有实数解的情况应分类讨论.①当a＝0 时，方程为一元一次方程 2x＋b＝0，不论 b 取何值，方程一定有解.此时 b 的取值有 4 个，故此时有 4 个有序数对.
②当 a≠0 时，需要Δ＝4－4ab≥0，即 ab≤1.显然有 3 个有序数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2).a≠0 时，(a，b)共有 3×4＝12(个)有序数对，故 a≠0 时满足条件的有序数对有12－3＝9(个)，所以答案应为 4＋9＝13.故选 B.
2.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为“凸数”(如 120，343，275 等)，那么所有“凸
数”的个数为(　　)A.240C.729
解析：若 a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2 个.若 a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 2×3＝6(个).若 a2＝4，满足条件的“凸数”有 3×4＝12(个)，…，若 a2＝9，满足条件的“凸数”有 8×9＝72(个).所以所有凸数有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).故选 A.
3.如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由 1，2，3，4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个.
解析：当组成的数字有三个 1，三个 2，三个 3，三个 4 时共有四种情况.当有三个 1 时有 2 111，3 111, 4 111，1 211，1 311，1 411，1 121，1 131，1 141九种情况，当有三个2，3，4时有2 221，3 331，4 441 三种情况，根据分类加法计数原理可知，共有 12 种情况.
考点二 分步乘法计数原理的应用[例 1](1)某学校的 3 个班级将要去甲、乙、丙、丁 4 个工厂参观学习，要求每个班只能去 1 个工厂参观学习，且甲工厂必须有
班级参观学习，则不同的参观方案有(
解析：每个班级都可以从这 4 个工厂中选 1 个参观学习，各有 4 种选择，根据分步乘法计数原理，共有 43＝64(种)参观方案，若甲工厂没有班级参观学习，此时每个班级都可以从其余 3 个工厂中选 1 个参观学习，各有 3 种选择，共有 33＝27(种)参观方案，所以甲工厂必须有班级参观学习，不同的参观方案有 64－27＝37(种).
(2)(多选题)有 4 位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法
A.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有 34 种B.每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有 43 种C.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 24 种D.每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 33 种
解析：对于 A，第 1 个同学有 3 种报法，第 2 个同学有 3 种报法，后面的 2 个同学也有 3 种报法，根据分步乘法计数原理知共有 34 种结果，A 正确，B 错误；对于 C，每个社团限报一个人，则第 1 个社团有 4 种选择，第 2 个社团有 3 种选择，第 3 个社团有 2 种选择，根据分步乘法计数原理知共有 4×3×2＝24(种)结果，C 正确，D 错误.
【题后反思】利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需
要几个步骤，且每步都是独立的.
(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连
续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成.
1.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答).
解析：甲有 7 种站法，乙有 7 种站法，丙有 7 种站法，故不考虑限制共有 7×7×7＝343(种)站法，其中三个人站在同一级台阶上有 7 种站法，故符合本题要求的不同站法有 343－7＝336(种).
2.某次活动中，有 30 个人排成 6 行 5 列，现要从中选出 3 人进行礼仪表演，要求这 3 人中的任意 2 人不同行也不同列，则不同的选法种数为________.(用数字作答)
解析：最先选出的 1 个人有 30 种选法，则这个人所在的行和列不能再选人，还剩一个 5 行 4 列的队形，可知选第 2 个人有 20种选法，则该人所在的行和列也不能再选人，还剩一个 4 行 3 列的队形，可知选第 3 个人有 12 种选法，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是 30×20×12＝7 200.
考点三 两个计数原理的综合应用[例 2](1)现有 5 种不同颜色的染料，要对如图 9-1-1 所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种
颜色，则不同的涂色方法的种数是(图 9-1-1
解析：由题意，先涂 A 处共有 5 种涂法，再涂 B 处有 4 种涂法，然后涂 C 处，若 C 处与 A 处所涂颜色相同，则 C 处共有 1种涂法，D 处有 4 种涂法；若 C 处与 A 处所涂颜色不同，到 C 处有 3 种涂法，D 处有 3 种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种).故选 D.
(2)甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 0，0，2，1，5，为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用
一天，则不同的用车方案种数为(
解析：5 日至 9 日，即 5，6，7，8，9，有 3 天奇数日，2 天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有 2 种选择，共有 23＝8(种)；第二步安排偶数日出行分两类：第一类，先选 1 天安排甲的车，另外一天安排其他车，有 2×2＝4(种)；第二类，不安排甲的车，每天都有 2 种选择，共有 22＝4(种)，共计 4＋4＝8(种).根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为 8×8＝64(种).
【题后反思】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.
1.在例 2(2)中，若甲的车牌尾数为 9，他的四位同事的车牌尾数分别为 0，2，1，5，其他条件不变，则不同的用车方案有多少种？
解：由题意，从 5 日至 9 日，有 3 天奇数日，2 天偶数日，第一步，安排偶数日出行，每天都有 2 种选择，共有 2×2＝
第二步，安排奇数日出行，可分为两类：(1)选 1 天安排甲的车，共有 3×2×2＝12(种)不同的选择；(2)不安排甲的车，每天都有 2 种选择，共有 2×2×2＝8(种)不同的选择，综上可得，不同的用车方案种数为 4×(12＋8)＝80(种).
2.从 6 人中选出 4 人参加数学、物理、化学、生物比赛，每人只能参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都
不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数为(
解析：第一步，因为甲、乙两人都不能参加化学比赛，所以从剩下的 4 人中选 1 人参加化学比赛，共有 4 种选法；第二步，在剩下的 5 人中任选 3 人参加数学、物理、生物比
赛，共有 5×4×3＝60(种)选法.
由分步乘法计数原理，得不同的参赛方案的种数为 4×60＝
3.甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学，2 名女同学.若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 名同学中
恰有 1 名女同学的不同选法共有(
A.150 种C.300 种
B.180 种D.345 种
解析：这名女同学可以在甲组选出也可以在乙组选出，故分
⊙两个计数原理的创新应用
[例 3]若 m，n 均为非负整数，在做 m＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的有序对”，则 m＋n 称为有序对(m，n)的值，那么值为 1 942 的“简单的有序对”的个数是________.
解析：第 1 步，1＝1＋0，1＝0＋1，共 2 种组合方式；第 2 步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9
＋0，共 10 种组合方式；
第 3 步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，
第 4 步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共 3 种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为 1 942 的“简单的有序对”的个
数为 2×10×5×3＝300.
【反思感悟】解决两个计数原理的创新应用问题的关键是要
抓住题中给的新定义信息分步或分类进行推理.
【高分训练】1.定义集合 A 与 B 的运算 A*B 为 A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若 A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合 A*B 的元素个数为
解析：根据新定义，从集合 A 中，任选一个数，再从集合 B中任选一个数，组成一个有序实数对，即由 3×4＝12 个，故集合A*B 的元素个数为 12 个.故选 C.答案：C
2.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有组神秘的数字 142 857，因为142 857×2＝285 714，142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：142＋857＝999，428＋571＝999，285＋714＝999，…，若从这组神秘数字中任选 3 个数字构成一个三位数 x，剩下的三个数字构成另一个三位数 y，若 x＋y＝999，将所有可能的三位数 x 按
从小到大依次排序，则第 12 个三位数 x 为(