2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第六讲空间坐标系与空间向量课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第六讲空间坐标系与空间向量课件，共56页。PPT课件主要包含了答案D，图D39，答案ABC，量表示出来，图6-6-3，题后反思，问题求解，图6-6-8，图D40，图6-6-11等内容，欢迎下载使用。

1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的
充要条件是存在唯一一个实数λ，使 a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积
非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
4.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l 平行或重合，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量.(2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量
a 为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
考点一 空间向量的线性运算
2.(多选题)已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，则下列四式中正
解析：作出平行六面体 ABCD-A′B′C′D′的图形，如图 D39，可
【题后反思】用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向
考点二 共线定理、共面定理的应用
[例1]如图 6-6-2，已知 E，F，G，H分别是空间四边形ABCD
的边 AB，BC，CD，DA 的中点.
(1)求证：E，F，G，H 四点共面；(2)求证：BD∥平面 EFGH.
由共面向量定理的推论知 E，F，G，H 四点共面.
所以 EH∥BD.又 EH⊂平面 EFGH，BD 平面 EFGH，所以
BD∥平面 EFGH.
【题后反思】证明三点共线和空间四点共面的方法比较
考点三 空间向量数量积及其应用[例 2]如图 6-6-5 所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的中点.(1)求证：EG⊥AB；(2)求 EG 的长；
(3)求异面直线 AG 和 CE 所成角的余弦值.
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂
直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置.
(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面
(3)可以通过|a|＝ ，将向量的长度问题转化为向量数量积的
如图 6-6-6 所示，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60°.
(1)求 AC1 的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.
考点四 向量法证明平行、垂直
[例 3]如图 6-6-7，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥平面 ABCD，PC＝2，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点 M 在 PB 上，PB＝4PM，PB 与平面 ABCD 成 30°的角.求证：
(1)CM∥平面 PAD ；
(2)平面 PAB ⊥平面 PAD .
证明：以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，CP 为 z 轴
建立如图 6-6-8 所示的空间直角坐标系 Cxyz.
∵PC⊥平面 ABCD，
∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，
又∵PA ∩DA＝A，PA ，DA⊂平面 PAD ，∴BE⊥平面 PAD .又∵BE⊂平面 PAB ，∴平面 PAB⊥平面 PAD .
(1)用向量证明平行的方法
①线线平行，只需证明两直线的方向向量是共线向量；②线面平行，证明直线的方向向量能用平面的两个基底表示，
或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；③面面平行，证明两平面的法向量是共线向量.
(2)用向量证明垂直的方法
①线线垂直，只需证明两直线的方向向量互相垂直；
②线面垂直，证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向
③面面垂直，证明两平面的法向量互相垂直.
如图 6-6-9 ，已知 AA1⊥平面 ABC ，BB1∥AA1 ，和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点.(1)求证：EF∥平面 A1B1BA；
(2)求证：平面 AEA1⊥平面 BCB1.
证明：因为 AB＝AC，E 为 BC 的中点，所以 AE⊥BC.
因为 AA1⊥平面 ABC，AA1∥BB1，
所以以过 E 作平行于 BB1 的垂线为 z 轴，EC，EA 所在直线分
别为 x 轴、y 轴，
建立如图 D40 所示的空间直角坐标系.
因为 AB＝3，BE＝ ，所以 AE＝2，
⊙用空间向量解决有关位置关系的探索性问题[例4]如图 6-6-10，正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD所在的平面互相垂直，已知 BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求证：AC⊥BF；(2) 在线段 BE 上是否存在一点 P ，使得平面
PAC⊥平面BCEF？若存在，求出在，请说明理由.
(1)证明：∵平面 ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面 ADEF，∴AF⊥平面 ABCD.∵AC⊂平面 ABCD，∴AF⊥AC.过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，
∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，∴AC⊥平面 FAB.∵BF⊂平面 FAB ，∴AC⊥BF.
(2)解：存在.由(1)知，AF，AB，AC 两两垂直.
假设在线段 BE 上存在一点 P 满足题意，则易知点 P 不与点 B，E 重合，
【题后反思】解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前
(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为 0，如 xOy 面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为 0，如 z 轴上的点为(0，0，z)；
【高分训练】(2021 年泰安市一模)如图 6-6-12，在三棱锥 P-ABC 中，PB⊥
平面 ABC，AB⊥BC，AB＝PB＝2，BC＝2
，E，G 分别为 PC，
PA 的中点.(1)求证：平面 BCG⊥平面 PAC；(2)在线段 AC 上是否存在一点 N，使 PN⊥BE？证明你的结论.图 6-6-12
(1)证明：∵PB⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴BC⊥PB，
又 AB⊥BC，AB∩BP＝B，∴BC⊥平面 PAB ，PA ⊂平面 PAB ，
又∵AB＝PB＝2，△PAB 为等腰直角三角形，G 为斜边 PA 的
∴BG⊥PA ，又 BG∩BC＝B，∴PA ⊥平面 BCG，又∵PA ⊂平
面 PAC ，∴平面 BCG⊥平面 PAC.