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2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第五讲直线平面垂直的判定与性质课件
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这是一份2024届高考数学一轮总复习第六章立体几何第五讲直线平面垂直的判定与性质课件，共49页。PPT课件主要包含了图6-5-2，图D34，ABCD，题后反思，垂直的判定定理，图D35，∵∠APC＝90°，图6-5-7，平面ABCD，图D36等内容，欢迎下载使用。
1.直线与平面垂直(1)定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面α互相垂直，记作 l⊥α，直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l 的垂面.
(2)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角.
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任
何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
考点一 线面垂直的判定与性质[例1](2021 年彭州市期中)如图651，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝ ，AA1＝3，E 为 CD 上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面 BB1C1C；
(2)求三棱锥 B1-EA1C1 的体积.
(1)证明：如图 6-5-2，过点 B 作 CD 的垂线交 CD 于点 F，
【题后反思】证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的
传递性；③面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则
需借助线面垂直的性质.
(2022 年南京市模拟)如图 6-5-3，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥
E 为 PD 的中点.
(1)求证：CE∥平面 PAB；(2)求证：CD⊥面 PA C.
证明：(1)如图 D34，取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，
∵E 为 PD 的中点，
∴AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD.
∵PA ⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，由直线与平面垂直的
性质可得 CD⊥PA ，
而 PA ∩AC＝A，PA ，AC⊂平面 PAC，∴CD⊥平面 PAC.
考点二 面面垂直的判定与性质
[ 例 2] 如图 6-5-4 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD ，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD ⊥底面 ABCD，PA ⊥AD，E 和 F分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
(1)PA ⊥底面 ABCD；(2)BE∥平面 PAD ；
(3)平面 BEF⊥平面 PCD.
证明：(1)∵平面 PAD ⊥底面 ABCD，
且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA ⊂平面 PAD ，∴PA ⊥底面 ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点，∴AB∥DE，且 AB＝DE.
∴四边形 ABED 为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE 平面 PAD，AD⊂平面 PAD，∴BE∥平面 PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知 PA ⊥底面 ABCD，CD⊂平面
∴PA ⊥CD，且 PA ∩AD＝A，PA ，AD⊂平面 PAD，∴CD⊥平面 PAD .
又∵PD⊂平面 PAD ，∴CD⊥PD.
∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E，∴CD⊥平面 BEF，又 CD⊂平面 PCD，∴平面 BEF⊥平面 PCD.
(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
【变式训练】如图 6-5-5，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面 PAB ⊥平面 PAC；
(1)证明：如图 D35，连接 OA，OB，OC.∵D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，∴OD⊥平面 ABC.∵P 在 DO 上，OA＝OB＝OC，∴PA ＝PB＝PC.
∵△ABC 是圆内接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC.
∴∠APC＝∠BPC＝90°，即 PA ⊥PC，PB⊥PC，PA ∩PB＝P，
∴PC⊥平面 PAB .∵PC⊂平面 PAC，
∴平面 PAB⊥平面 PAC.
考点三 垂直关系的综合应用[例 3]如图 6-5-6，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的一动点.(1)证明：△PBC 是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线 AB 与平面PBC所
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的一
动点.∴BC⊥AC，∵PA ⊥平面 ABC，∴BC⊥PA .
又 PA ∩AC＝A，PA ，AC⊂平面 PAC，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC 是直角三角形.
(2)解：如图 6-5-7，过点 A 作 AH⊥PC 于点 H，
∵BC⊥平面 PAC，∴BC⊥AH.
又 PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面 PBC，∴AH⊥平面 PBC，∴∠ABH 是直线 AB 与平面 PBC 所成的角.
(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线
垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化.
(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出
所求角，然后在一个直角三角形中求解.
【变式训练】在四棱锥 P-ABCD 中，△PAD 是等边三角形，且平面 PAD ⊥平面 ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在 AD 上是否存在一点 M，使得平面 PCM⊥平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD 的面积为 8
，求四棱锥 P-ABCD 的体积.
解：(1)当 M 为 AD 的中点时，使得平面 PCM⊥平面 ABCD.证明如下：如图 D36，连接 CM，PM，由△PAD 是等边三角形，可得 PM⊥AD，而平面 PAD⊥平面 ABCD，PM⊂ 平面 PAD，AD 为平面 PAD 和平面 ABCD 的交线，可得PM⊥
又因为 PM⊂平面 PCM，可得平面 PCM⊥平面 ABCD.
⊙逻辑推理、直观想象在平行、垂直关系证明中的体现逻辑推理在该部分主要体现在空间平行、垂直关系的证明与探究，其理论根据就是空间垂直关系的判定定理和性质定理，需要掌握推理的基本形式，表述论证的过程.平行、垂直关系证明的起点就是平面图形中的线线平行、垂直关系.
[例 4](2022 年高台县校级月考)如图 6-5-8 所示，已知多面体PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PA ⊥底面 ABCD ，ED∥PA 且 PA ＝2ED＝2.(1)证明：CE∥平面 ABP；
(2)证明：平面 PAC⊥平面 BDE；
(3)若∠ABC＝60°，求棱锥 P-ACE 的体积.
(1)证明：因为 ED∥PA ，ED 平面 ABP，PA ⊂平面 ABP，所以 ED∥平面 ABP，
又因为 ABCD 是菱形，CD∥AB，同理可得 CD∥平面 ABP，因为 CD∩ED＝D，CD⊂平面 CDE，ED⊂平面 CDE，所以平面 CDE∥平面 ABP，因为 CE⊂平面 CDE，所以 CE∥平面 ABP.
(2)证明：如图 6-5-9，连接 BD，因为 PA ⊥底面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，所以 PA ⊥BD，又因为底面 ABCD 是菱形，
因为 PA ∩AC＝A，PA ⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，所以 BD⊥平面 PAC ，又因为 BD⊂平面 BDE，所以平面 PAC⊥平面 BDE.
处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练
掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.
1.如图 6-5-10，在底面为菱形的四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥AD，
PA ⊥CD，E 为侧棱 PC 上一点.
(1)若 BE⊥PC，求证：PC⊥平面 BDE；
(2)若 PA ∥平面 BDE，求平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD 分成两
(1)证明：如图 D37，连接 AC，因为四边形 ABCD 为菱形，
因为 PA ⊥AD，PA ⊥CD，且 AD∩CD＝D，所以 PA ⊥底面 ABCD，所以 PA ⊥BD.
又因为 PA ∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC ，所以 BD⊥PC.又
因为 BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以 PC⊥平面 BDE.
(2)解：设 AC∩BD＝O，如图 D37，连接 OE，因为四边形
ABCD为菱形，所以 AO＝OC.因为 PA∥平面 BDE，
平面 PAC∩平面 BDE＝OE，
所以平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD 分成两部分的体积比为1∶3(或 3∶1).
2.(2021 年定远县模拟)如图 6-5-11，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
AA1⊥底面 A1B1C1，D 是 AB 中点.
(1)证明：AC1∥平面 B1CD；
(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，证明：平面A1C1B⊥平面B1CD.
证明：(1)如图 D38，设 BC1 与 B1C 相交于点 E，连接 DE，由题意可得，D，E 分别为 AB，BC1 的中点，所以 DE 是△ABC1 的中位线，所以 DE∥AC1，因为 DE⊂平面 B1CD，AC1 平面 B1CD，所以 AC1∥平面 B1CD.
(2)因为AA1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥A1C1，因为∠ACB＝90°，即∠A1C1B1＝90°，所以A1C1⊥B1C1，又因为B1C1，CC1⊂平面BCC1B1且B1C1∩CC1＝C1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C，因为AA1＝BC，AA1＝CC1，所以CC1＝BC，
1.直线与平面垂直(1)定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面α互相垂直，记作 l⊥α，直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l 的垂面.
(2)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角.
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任
何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
(3)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
考点一 线面垂直的判定与性质[例1](2021 年彭州市期中)如图651，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝ ，AA1＝3，E 为 CD 上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面 BB1C1C；
(2)求三棱锥 B1-EA1C1 的体积.
(1)证明：如图 6-5-2，过点 B 作 CD 的垂线交 CD 于点 F，
【题后反思】证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的
传递性；③面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则
需借助线面垂直的性质.
(2022 年南京市模拟)如图 6-5-3，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥
E 为 PD 的中点.
(1)求证：CE∥平面 PAB；(2)求证：CD⊥面 PA C.
证明：(1)如图 D34，取 PA 的中点 F，连接 EF，BF，
∵E 为 PD 的中点，
∴AC2＋CD2＝AD2，即AC⊥CD.
∵PA ⊥平面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，由直线与平面垂直的
性质可得 CD⊥PA ，
而 PA ∩AC＝A，PA ，AC⊂平面 PAC，∴CD⊥平面 PAC.
考点二 面面垂直的判定与性质
[ 例 2] 如图 6-5-4 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD ，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD ⊥底面 ABCD，PA ⊥AD，E 和 F分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
(1)PA ⊥底面 ABCD；(2)BE∥平面 PAD ；
(3)平面 BEF⊥平面 PCD.
证明：(1)∵平面 PAD ⊥底面 ABCD，
且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA ⊂平面 PAD ，∴PA ⊥底面 ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点，∴AB∥DE，且 AB＝DE.
∴四边形 ABED 为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE 平面 PAD，AD⊂平面 PAD，∴BE∥平面 PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知 PA ⊥底面 ABCD，CD⊂平面
∴PA ⊥CD，且 PA ∩AD＝A，PA ，AD⊂平面 PAD，∴CD⊥平面 PAD .
又∵PD⊂平面 PAD ，∴CD⊥PD.
∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E，∴CD⊥平面 BEF，又 CD⊂平面 PCD，∴平面 BEF⊥平面 PCD.
(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
【变式训练】如图 6-5-5，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面 PAB ⊥平面 PAC；
(1)证明：如图 D35，连接 OA，OB，OC.∵D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，∴OD⊥平面 ABC.∵P 在 DO 上，OA＝OB＝OC，∴PA ＝PB＝PC.
∵△ABC 是圆内接正三角形，∴AC＝BC，△PAC≌△PBC.
∴∠APC＝∠BPC＝90°，即 PA ⊥PC，PB⊥PC，PA ∩PB＝P，
∴PC⊥平面 PAB .∵PC⊂平面 PAC，
∴平面 PAB⊥平面 PAC.
考点三 垂直关系的综合应用[例 3]如图 6-5-6，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的一动点.(1)证明：△PBC 是直角三角形；(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线 AB 与平面PBC所
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于 A，B 的一
动点.∴BC⊥AC，∵PA ⊥平面 ABC，∴BC⊥PA .
又 PA ∩AC＝A，PA ，AC⊂平面 PAC，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC 是直角三角形.
(2)解：如图 6-5-7，过点 A 作 AH⊥PC 于点 H，
∵BC⊥平面 PAC，∴BC⊥AH.
又 PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面 PBC，∴AH⊥平面 PBC，∴∠ABH 是直线 AB 与平面 PBC 所成的角.
(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线
垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化.
(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出
所求角，然后在一个直角三角形中求解.
【变式训练】在四棱锥 P-ABCD 中，△PAD 是等边三角形，且平面 PAD ⊥平面 ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)在 AD 上是否存在一点 M，使得平面 PCM⊥平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2)若△PCD 的面积为 8
，求四棱锥 P-ABCD 的体积.
解：(1)当 M 为 AD 的中点时，使得平面 PCM⊥平面 ABCD.证明如下：如图 D36，连接 CM，PM，由△PAD 是等边三角形，可得 PM⊥AD，而平面 PAD⊥平面 ABCD，PM⊂ 平面 PAD，AD 为平面 PAD 和平面 ABCD 的交线，可得PM⊥
又因为 PM⊂平面 PCM，可得平面 PCM⊥平面 ABCD.
⊙逻辑推理、直观想象在平行、垂直关系证明中的体现逻辑推理在该部分主要体现在空间平行、垂直关系的证明与探究，其理论根据就是空间垂直关系的判定定理和性质定理，需要掌握推理的基本形式，表述论证的过程.平行、垂直关系证明的起点就是平面图形中的线线平行、垂直关系.
[例 4](2022 年高台县校级月考)如图 6-5-8 所示，已知多面体PABCDE 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，PA ⊥底面 ABCD ，ED∥PA 且 PA ＝2ED＝2.(1)证明：CE∥平面 ABP；
(2)证明：平面 PAC⊥平面 BDE；
(3)若∠ABC＝60°，求棱锥 P-ACE 的体积.
(1)证明：因为 ED∥PA ，ED 平面 ABP，PA ⊂平面 ABP，所以 ED∥平面 ABP，
又因为 ABCD 是菱形，CD∥AB，同理可得 CD∥平面 ABP，因为 CD∩ED＝D，CD⊂平面 CDE，ED⊂平面 CDE，所以平面 CDE∥平面 ABP，因为 CE⊂平面 CDE，所以 CE∥平面 ABP.
(2)证明：如图 6-5-9，连接 BD，因为 PA ⊥底面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，所以 PA ⊥BD，又因为底面 ABCD 是菱形，
因为 PA ∩AC＝A，PA ⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，所以 BD⊥平面 PAC ，又因为 BD⊂平面 BDE，所以平面 PAC⊥平面 BDE.
处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练
掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.
1.如图 6-5-10，在底面为菱形的四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥AD，
PA ⊥CD，E 为侧棱 PC 上一点.
(1)若 BE⊥PC，求证：PC⊥平面 BDE；
(2)若 PA ∥平面 BDE，求平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD 分成两
(1)证明：如图 D37，连接 AC，因为四边形 ABCD 为菱形，
因为 PA ⊥AD，PA ⊥CD，且 AD∩CD＝D，所以 PA ⊥底面 ABCD，所以 PA ⊥BD.
又因为 PA ∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC ，所以 BD⊥PC.又
因为 BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以 PC⊥平面 BDE.
(2)解：设 AC∩BD＝O，如图 D37，连接 OE，因为四边形
ABCD为菱形，所以 AO＝OC.因为 PA∥平面 BDE，
平面 PAC∩平面 BDE＝OE，
所以平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD 分成两部分的体积比为1∶3(或 3∶1).
2.(2021 年定远县模拟)如图 6-5-11，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，
AA1⊥底面 A1B1C1，D 是 AB 中点.
(1)证明：AC1∥平面 B1CD；
(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，证明：平面A1C1B⊥平面B1CD.
证明：(1)如图 D38，设 BC1 与 B1C 相交于点 E，连接 DE，由题意可得，D，E 分别为 AB，BC1 的中点，所以 DE 是△ABC1 的中位线，所以 DE∥AC1，因为 DE⊂平面 B1CD，AC1 平面 B1CD，所以 AC1∥平面 B1CD.
(2)因为AA1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥A1C1，因为∠ACB＝90°，即∠A1C1B1＝90°，所以A1C1⊥B1C1，又因为B1C1，CC1⊂平面BCC1B1且B1C1∩CC1＝C1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C，因为AA1＝BC，AA1＝CC1，所以CC1＝BC，
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