高考数学一轮复习第六章第二讲空间几何体的表面积与体积课件

这是一份高考数学一轮复习第六章第二讲空间几何体的表面积与体积课件，共48页。PPT课件主要包含了2πB3，8πD3，图6-2-1，答案C，图6­2-2，答案B，图D30，图D31，图D32，答案112π等内容，欢迎下载使用。

知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式，能用公式
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2.柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论①正方体的棱长为 a，球的半径为 R：a.若球为正方体的外接球，则 2R＝ 　a；b.若球为正方体的内切球，则 2R＝a；c.若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 　a.
考点一 几何体的表面积[例 1](1)(2023 年泉州市模拟)已知圆锥 SO 的母线长为 2，AB是圆 O 的直径，点 M 是 SA 的中点.若侧面展开图中，△ABM 为直
角三角形，则该圆锥的侧面积为(
解析：如图6­2­1所示，因为SB＝SA，且△ABM为直角三角
形，所以 SA⊥BM.
又因为 M 为 SA 的中点，所以 SB＝AB，
(2)(2024 年北京市模拟)已知某圆台的侧面展开图是一个圆环被圆心角为 90°的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为 2π，则该圆台体积的取值范围是_______________.解析：圆台及侧面展开图如图 6-2-2 所示.
设圆台上底面为圆 O1，半径为 R1；下底面为圆 O2，半径为R2；圆台母线为 l，AB＝l1.由圆台的侧面积为 2π，可得(πR2＋πR1)·l＝2π，由侧面展开是圆心角为 90°的扇形所截得的扇环，
【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积
(3)求组合体的表面积时应注意对衔接部分的处理.
【变式训练】1.(2023 年宜宾市期末) 在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝2 ，将
△ABC 绕直线 AB 旋转一周，得到的旋转体的表面积为(
解析：在△ABC 中，AB＝BC＝AC＝2，将△ABC 绕直线 AB旋转一周，得到的旋转体是两个圆锥体的组合体，如图 D30 所示.
2.(2022 年南京市质检)如图 6-2-3 所示，在四边形 ABCD 中，
∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2
，AD＝2，
则四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积为________.图 6-2-3
解析：由题意可得，四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体.如图D31，过点C作CE⊥AD交 AD 的延长线于点 E，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 F.
则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，
EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cs 45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，
3.(2024 年新疆维吾尔自治区一模)已知一个圆台的上、下底面半径分别为 4 和 8，且它的侧面展开图扇环的面积为 60π，则这个圆台的体积为____________.
解析：根据题意，设该圆台的母线长为 l，其侧面展开图扇环的面积为 60π，则有 S＝π(8＋4)l＝60π，解得 l＝5.其轴截面如图 D32所示，分别过点 D，C 作 DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为 E，F.
梯形 ABCD 为等腰梯形，且 AB＝16，CD＝8.易得四边形 CDEF 为矩形，则 EF＝CD＝8，
考点二 几何体的体积考向 1 多面体的体积
通性通法：求几何体体积的常用方法
[例2](1)(2023 年潍坊市期末)已知直四棱柱的高为 1，其底面四边形 ABCD 水平放置的斜二测直观图为平行四边形 A′B′C′D′，
∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，则该直四棱柱的体积为(
解析：∵四边形 ABCD 水平放置的斜二测直观图为平行四边形 A′B′C′D′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，∴原四边形 ABCD是边长为 2 的正方形.又直四棱柱的高为 1，∴该直四棱柱的体积为 V＝22×1＝4.故选 D.
考向 2 旋转体的体积
通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.
[例3]如图6-2-5，龙洗是中国古代的盥洗用具，状貌像鼎，用青铜铸造，因盆内有龙纹而称之为龙洗.龙洗盆体可以近似看作一个圆台，现有一龙洗盆高12 cm，盆口直径24 cm，盆底直径12 cm.
现往盆内注水，当水深为 4 cm 时，盆内水的体积为(
解析：如图 6-2-6 所示，画出圆台的直观图和轴截面的平面图形.在轴截面上作经过点 F 且与 EF 垂直的直线，分别交 AB 与 CD的延长线于点 G 和点 H.
由题意知 AB＝12，CD＝6，AC＝12，EC＝4.设 EF＝x，
则 DH＝x－6，BG＝12－x.因为△DHF∽△BGF，
因为 GF＝AE＝8，HF＝CE＝4，
【考法全练】1.(考向 2)(2023 年江门市开学)如图6-2-7，某青铜器的上半部分可以近似看作圆柱，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体.已知 AB
＝9 cm，CD＝3 cm，则该青铜器的体积为(
解析：设上部圆柱的体积为 V1，则
考点三 组合体的表面积与体积
[例4]如图6-2-9，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以 l 为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积.
解：如图 6-2-9，在梯形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.由上述计算知，圆柱的高为
圆锥的侧面积为 S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积为 S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积为 S4＝πa2，
【题后反思】处理体积问题的思路
(1)“转”：指的是转换棱锥的底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，将原来不易看出的高转换为易求长度的高.
(2)“移”：指的是当棱锥的顶点沿着与底面平行的方向移动时，棱锥的高不变，体积也不变，移动顶点后可用“转”的方法求棱锥体积.
(3)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几
(4)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都属于拼补的方法.
如图 6-2-10，一个几何体是由一个正三棱柱挖去一个圆锥得到的.该三棱柱底面的正三角形的边长为 2，棱柱的高为 4.圆锥的底面与三棱柱上底面的正三角形内切，顶点在三棱柱的下底面上.
(1)求该几何体的体积；(2)求该几何体的表面积.