2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第三讲函数的奇偶性与周期性课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第三讲函数的奇偶性与周期性课件，共47页。PPT课件主要包含了函数的奇偶性，函数的周期性，1fx，函数图象的对称性，x＝a对称，b0中心对称，图2-3-1，答案C，答案B，题后反思等内容，欢迎下载使用。

【名师点睛】(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.(2)若 f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(－x)＝
(1)周期函数：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最
小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.
，则 T＝2a(a>0).
【名师点睛】函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0).
(2)若 f(x＋a)＝
(3)若 f(x＋a)＝－
，则 T＝2a(a>0).Ｋ
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线
(2)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点
(3)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)或 f(a＋x)＝f(a－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称.
考点一 判断函数的奇偶性
[例 1](1)已知函数 f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是(A.f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞)
解析：将函数 f(x)＝x·|x|－2x 去掉绝对值得
画出函数 f(x)的图
象，如图 2-3-1，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在
(－1，1)上单调递减.故选 C.
A.f(x－1)－1C.f(x＋1)－1
B.f(x－1)＋1D.f(x＋1)＋1
(1)判断函数奇偶性的两个必备条件
①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分
条件，所以首先考虑定义域.
②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中，可以将问题转化为 f(x)＋f(－x)＝0
(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.
(2)一些重要类型的奇偶函数①函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数.
【变式训练】(2022 年云浮市期末)已知 f(x)为 R 上的奇函数，g(x)为 R 上的
偶函数，且 g(x)≠0，则下列说法正确的是(A.f(x)＋g(x)为 R 上的奇函数B.f(x)－g(x)为 R 上的奇函数
D.|f(x)g(x)|为 R 上的偶函数
解析：因为 f(x)为 R 上的奇函数，g(x)为 R 上的偶函数，且
所以 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
所以 f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，故 f(x)＋g(x)为非奇非偶函数，A 错误；同理，f(x)－g(x)为非奇非偶函数，B 错误；
为奇函数，C 错误；设函数 H(x)＝|f(x)g(x)|，H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)，所以H(x)为 R 上的偶函数，D 正确.故选 D.答案：D
考点二 根据函数的奇偶性求参数的值或范围
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题.(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数 f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称[关于点(a，0)对称].
2.设函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，且 g(x)＝f(x＋
1)为偶函数，则不等式 g(2－2x)<0 的解集为________.
解析：由已知可得 g(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(2)＝0，又因为 g(x)为偶函数，所以 g(2－2x)<0 可化为 g(2－2x)考点三 函数性质的综合应用
考向 1 单调性与奇偶性的综合问题
通性通法：(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，实现不等式的等价转化.
(2)注意偶函数的性质 f(x)＝f(|x|)的应用.
[例 3]已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)＝xf(x).若 a＝
g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
解析：易知 g(x)＝xf(x)在 R上为偶函数，∵奇函数 f(x)在R上是增函数，则 f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又 3>lg25.1>2>20.8，且a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，∴g(3)>g(－lg25.1)>g(20.8)，即 c>a>b.答案：C
考向 2 周期性与奇偶性的综合问题
通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
解析：∵f(x＋1)为奇函数，∴f(1)＝0，且 f(x＋1)＝－f(－x＋1)，∵f(x＋2)为偶函数，∴f(x＋2)＝f(－x＋2)，
∴f[(x＋1)＋1]＝－f[－(x＋1)＋1]＝－f(－x)，即 f(x＋2)＝
∴f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(－x).令 t＝－x，则 f(t＋2)＝－f(t)，∴f(t＋4)＝－f(t＋2)＝f(t)，∴f(x＋4)＝f(x).
当 x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.
f(0)＝f(－1＋1)＝－f(2)＝－(4a＋b)，
f(3)＝f(1＋2)＝f(－1＋2)＝f(1)＝a＋b，又 f(0)＋f(3)＝6，∴－3a＝6，解得 a＝－2，又∵f(1)＝a＋b＝0，∴b＝－a＝2，∴当 x∈[1，2]时，f(x)＝－2x2＋2，
考向 3 单调性、奇偶性与周期性的综合问题
通性通法：对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.
[例 5]已知定义在 R 上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当 x∈[0，2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②直线 x＝－4 为函数 y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数 y＝f(x)在[8，10]上单调递增；④若方程 f(x)＝m 在[－6，－2]上的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－8.
以上命题中所有正确命题的序号为________.
解析：据已知抽象函数关系式 f(x＋4)＝f(x)＋f(2)可得 f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，又函数为偶函数，故有 f(2)＝f(－2)＋f(2)＝2f(2)⇒f(2)＝0，①正确；因此 f(x)＝f(x＋4)，即函数是以 4 为周期的周期函数，又函数为偶函数，其图象必关于 y 轴即直线 x＝0 对称，又其周期为 4，故 x＝－4 也为函数图象的一条对称轴，②正确；又已知函数在区间[0，2]上单调递减，故将其图象沿 x 轴向右平移 2个周期的单位长度(8 个单位长度)，其单调性不变，即在区间[8，10]上也单调递减，故③错误；如图 2­3-2 所示，若方程 f(x)＝m 在
区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线 x＝－4 对称，即x1＋x2＝－8，故④正确.综上所述，命题①②④正确.
【考法全练】1.(考向 1)(2020 年全国Ⅰ)若定义在 R 上的奇函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(2)＝0，则满足 xf(x－1)≥0 的 x 的取值范围是
)A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]
解析：因为函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，则 f(0)＝0.又 f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(2)＝0，画出函数 f(x)的大致图象如图 D2(1)所示，则函数 f(x－1)的大致图象如图 D2(2)所示.当 x≤0时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≤0，得－1≤x≤0；当 x＞0 时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≥0，得 1≤x≤3.故满足 xf(x－1)≥0的 x 的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选 D.
2.(考向 3)(多选题)(2021 年日照市联考)已知定义在 R 上的函
数 f(x)满足条件 f(x＋2)＝－f(x)，且函数 f(x－1)为奇函数，则(A.函数 f(x)是周期函数B.函数 f(x)的图象关于点(－1，0)对称C.函数 f(x)为 R 上的偶函数D.函数 f(x)为 R 上的单调函数
解析：因为 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故 f(x)是周期函数，A 正确；因为函数 f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以 f(x)的图象关于点(－1，0)对称，B 正确；因为函数 f(x－1)为奇函数，所以 f(－x－1)＝－f(x－1)，又 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋1)＝－f(x－1)＝f(－x－1)，即f(－x)＝f(x)，所以函数 f(x)为 R 上的偶函数，C 正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以 f(－1)＝0，又函数 f(x)为 R 上的偶函数，
所以 f(1)＝0，所以函数 f(x)不单调，D 错误.
3.(考向 2)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x＋4)＝f(x)，
当 x∈(0，2)时，f(x)＝2x，则 f(－9)＝________.
解析：根据题意，f(x)满足 f(x＋4)＝f(x)，所以函数 f(x)是以4 为周期的周期函数，又因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以
f(－9)＝－f(9)＝－f(1)＝－2.
⊙函数奇偶性、周期性的应用
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出.这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为烦琐，若能灵活利用函数奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果.以下归纳出函数奇偶性的拓展及应用.
(1)若函数 f(x)是奇函数，且 g(x)＝f(x)＋c，则必有 g(－x)＋g(x)
(2)已知函数 f(x) 是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的x∈D，都有 f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数 f(x)在 D 上有最值，则 fmax(x)＋fmin(x)＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0.
(3)若函数 f(x)是奇函数，则函数 g(x)＝f(x－a)＋h 的图象关于
(4)若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)＝f(|x|).
【高分训练】1.设偶函数 f(x)满足 f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝
A.{x|x<－2 或 x>4}C.{x|x<0 或 x>6}
B.{x|x<0 或 x>4}D.{x|x<－2 或 x>2}
解析：由 f(x)＝x3－8(x≥0)，知 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且 f(2)＝0.所以由已知条件 f(x－2)>0 得 f(|x－2|)>f(2).所以|x－2|>2，解得 x<0 或 x>4.答案：B
2.(多选题)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于点
(1， 0)对称.以下关于 f(x)的结论正确的是(　　)A.f(x)是周期函数B.f(x)满足 f(x)＝f(4－x)C.f(x)在(0，2)上单调递减