《高考总复习》数学 第二章 第4讲 函数的奇偶性与周期性[配套课件]

这是一份《高考总复习》数学 第二章 第4讲 函数的奇偶性与周期性[配套课件]，共45页。PPT课件主要包含了函数的奇偶性，函数的周期性，题组一，走出误区，题组二，走进教材，答案2，1＋11＋a，为奇函，解析∵fx＝等内容，欢迎下载使用。

对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.
1.(多选题)下列结论正确的为(
A.若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)＝0B.若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称C.若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称D.2π是函数 f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期答案：BCD
(x＋1)(x＋a)x
3.(必修 1P36 第 1 题改编)设函数 f(x)＝数，则 a＝________.
∴f(1)＋f(－1)＝0，
(－1＋1)(－1＋a)－1
4.(2019 年全国Ⅱ) 设 f(x) 为奇函数，且当 x≥0 时，f(x) ＝
ex－1，则当 x<0 时，f(x)＝(
解析：设 x<0，则－x>0，f(－x)＝e－x －1，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)＝e－x －1，答案：D
A.e－x－1 B.e－x＋1
C.－e－x－1 D.－e－x＋1
则当 x<0 时，f(x)＝－e－x＋1.
5.(2020年江苏)已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝ ，
则 f(－8)的值是________.
所以 f(－8)＝－f(8)＝－4，故答案为：－4答案：－4
判断函数的奇偶性 自主练习
1.(多选题)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函
数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|＋g(x)是偶函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，
|g(x)|是偶函数.
根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f(x)g(x)
f(x)|g(x)|为奇函数，故选项 A 错误、C 正确；由两个偶函数的和还是偶函数知 B 正确；
由 f(x)g(x)为奇函数得|f(x)g(x)|为偶函数，故 D 错误.故选 BC.
2.设 f(x)是 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A.f(x)f(－x)是奇函数B.f(x)|f(－x)|是奇函数C.f(x)－f(－x)是偶函数D.f(x)＋f(－x)是偶函数
解析：A 中 F(x)＝f(x)f(－x)，则 F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)，
即函数 F(x)＝f(x)f(－x)为偶函数，∴A 错误；
B 中 F(x) ＝f(x)|f( －x)| ，F( －x) ＝f( －x)|f(x)| ，此时 F(x) 与F(－x)的关系不能确定，即函数 F(x)＝f(x)|f(－x)|的奇偶性不确定，∴B 错误；
C 中 F(x)＝f(x)－f(－x)，F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，即
函数 F(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数，∴C 错误；
D 中 F(x)＝f(x)＋f(－x)，F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，即函
数 F(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，∴D 正确.
3.(多选题)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调
解析：由题，易知 A，B，C，D 四个选项中的函数的定义域均为 R，
性质可得，当 t∈(1，＋∞)时是增函数，又 t＝ex 单调递增，所以 f(x)＝ex＋e－x 在(0，＋∞)上单调递增，故 B 符合题意；对于选项 C，f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，即 f(x)＝x2＋1 为偶函数，由二次函数性质可知对称轴为 x ＝0 ，则 f(x) ＝x2＋1 在(0，＋∞)上单调递增，故 C 符合题意；
对于选项 D，由余弦函数的性质可知 y＝cs x＋3 是偶函数，
但在(0，＋∞)不恒增，故 D 不符合题意.
4.(2014 年广东)下列函数为奇函数的是(
义域为 R， f(－x)＝2－x－2－(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，故A选项中的函数为奇函数；对于 B 选项中的函数 g(x)＝x3sin x，由于函数 y1＝x3 与函数y2＝sin x 均为奇函数，
则函数 g(x)＝x3sin x 为偶函数；
对于 C 选项中的函数 h(x)＝2cs x＋1，定义域为 R，h(－x)＝2cs(－x)＋1＝2cs x＋1＝h(x)，故函数 h(x)＝2cs x＋1 为偶函数；
则φ(－1)≠±φ(1)，
因此函数φ(x)＝x2＋2x为非奇非偶函数，故选 A.答案：A
解析：f(x) 的定义域为( －1 ，1) ，且对定义域内任意 x ，
用同样的方法可有：y＝x3＋1 既不是奇函数又不是偶函数；
但不是偶函数，故本题应选 D.答案：D
【规律方法】判断函数奇偶性的方法：①定义法：第一步先看函数 f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶函 数 的 定 义 来 判 断，即 若 有 f(－x)＝－f(x)
②图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇偶性的判断常用图象法；
③复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”；
④抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，
通过合理、灵活的变形配凑来判断.
根据函数的奇偶性求参数的值
(范围) 师生互动
1)＋bx 是偶函数，则 a＋b＝(
解析：函数 f(x)的图象关于原点对称，且当 x＝0 时，f(x)有意义，∴f(0)＝0，得 a＝1.又 g(x)为偶函数，∴g(－1)＝g(1). 答案：D【题后反思】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常用待定系数法：先利用 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.
【考法全练】(2014 年湖南) 若 f(x) ＝ln(e3x ＋1) ＋ax 是偶函数，则 a ＝________.解析：由题意知，f(x)的定义域为 R，所以 f(－1)＝f(1).
[例 2](1)(2017 年山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当 x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则 f(919)＝________.解析：由 f(x＋4)＝f(x－2)，得 T＝6，f(919)＝f(153×6＋1)
＝f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6.
(2)(2018 年全国Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足 f(1－x)＝f(1＋x).若 f(1)＝2，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋
解析：f(1－x)＝f(1＋x)⇒f(2－x)＝f(x)⇒f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝f(x)，f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，f(0)＝0，f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2.答案：C
(3)(多选题)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－3)＝－f(x)，
当 x∈[0，3]时，f(x)＝x2－3x，下列等式成立的是(A.f(2019)＋f(2020)＝f(2021)B.f(2019)＋f(2021)＝f(2020)C.2f(2019)＋f(2020)＝f(2021)D.f(2019)＝f(2020)＋f(2021)解析：由 f(x－3)＝－f(x)知 f(x)的周期为 6，f(2019)＝f(336×6＋3)＝f(3)＝0，f(2020)＝f(337×6－2)＝f(－2)＝－f(2)＝2，f(2021)＝f(337×6－1)＝f(－1)＝－f(1)＝2.故选 ABC.答案：ABC
(4)(2016 年江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，
【题后反思】本题考查函数的奇偶性与周期性.属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性 f(x)＝f(x＋T)，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间，再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可.
【考法全练】(多选题)(2019 年山东模拟)函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x＋
1)与 f(x＋2)都为奇函数，则(A.f(x)为奇函数C.f(x＋3)为奇函数
)B.f(x)为周期函数D.f(x＋4)为偶函数
解析：由 f(x＋1)与 f(x＋2)都为奇函数知函数 f(x)的图象关
于点(1，0)，(2，0)对称，
所以 f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以 f(2＋x)＝f(4＋x)，即 f(x)＝f(2＋x)
所以 f(x)是以 2 为周期的函数.又 f(x＋1)与 f(x＋2)都为奇函
所以 f(x)，f(x＋3)均为奇函数.故选 ABC.答案：ABC
⊙函数奇偶性、周期性与对称性质的判断及应用[例 3](1)(2019 届山东泰安模拟)已知函数 f(x－1)(x∈R)是偶函数，且函数 f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，当 x∈[－1，
1]时，f(x)＝x－1，则 f(2019)＝(
解析：根据题意，函数 f(x－1)(x∈R)是偶函数，则函数 f(x)图象的对称轴为 x＝－1，则有 f(x)＝f(－2－x)，
又由函数 f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，则 f(x)＝－f(2－x)，
则有 f(－2－x)＝－f(2－x)，即 f(x＋4)＝－f(x)，
变形可得 f(x＋8)＝f(x)，则函数是周期为 8 的周期函数，f(2019)＝f(3＋252×8)＝f(3)＝－f(－1)＝－(－1－1)＝2；故选 D.
(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x－2)是偶函数，且对任意x∈R 恒有 f(3－x)＋f(x－1)＝2020，又 f(－2)＝2019，则 f(2020)＝________.
解析：∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x－2)是偶函数，∴f(－x－2)＝f(x－2)，
∵∀x∈R，有 f(3－x)＋f(x－1)＝2020，∴f(4－x)＋f(x－2)＝2020，∴f(4－x)＋f(－2－x)＝2020，即 f(x＋4)＋f(x－2)＝2020，
从而有 f(x＋6)＋f(x)＝2020，f(x＋12)＋f(x＋6)＝2020，∴f(x＋12)＝f(x)，
即函数 f(x)的最小正周期为 12，
∴f(2020)＝f(12×168＋4)＝f(4)＝2020－f(－2)＝1.答案：1
【高分训练】(2018 年全国Ⅲ)下列函数中，其图象与函数 y＝ln x 的图象
关于直线 x＝1 对称的是(A.y＝ln(1－x)C.y＝ln(1＋x)
B.y＝ln(2－x)D.y＝ln(2＋x)
解析：与函数 y＝ln x 的图像关于直线 x＝1 对称的是y＝ln(2－x).答案：B
1.在讨论函数的奇偶性时，应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性；分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性.
2.函数的周期性与对称性性质总结：
(1)周期性：存在 T≠0，使得对任意的 x∈D，都有 f(x＋T)
＝f(x)，则 T 叫做函数 f(x)的周期.
(2)比较周期性与对称性.
(3)如何计算一般形式的周期和对称(这是一个函数自身的
(4)两个函数的对称关系.