2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第十一讲导数与函数的单调性课件

这是一份2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第十一讲导数与函数的单调性课件，共48页。PPT课件主要包含了答案A，增区间，减区间，答案B，答案C，间的子集，解析由，答案D，故0＜a＜1，答案CD等内容，欢迎下载使用。

1.函数的单调性与导数的关系
一般地，函数 f(x)的单调性与导函数 f′(x)的正负具有如下关系：(1)在某个区间(a，b)上，如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在区
间(a，b)上单调递增.
(2)在某个区间(a，b)上，如果 f′(x)＜0，那么函数 y＝f(x)在区
间(a，b)上单调递减.
(3)特别地，在某个敬意(a，b)上若恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在区间
(a，b)内是常数函数.
[注意]讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不
等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
2.利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域，求 f ′(x).
(2)在函数定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 .(3)根据结果确定 f(x)的单调区间.
(1)在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上单调递增
(减)的充分不必要条件.
(2)可导函数 f(x)在(a，b)上是单调递增(减)的充要条件是对
∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.
求不含参数的函数的单调性
1.函数f(x)＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，0)C.(－∞，3)和(1，＋∞)
B.(0，＋∞)D.(－3，1)
解析：f′(x)＝－2xex＋(3－x2)ex＝(3－2x－x2)ex，∴f′(x)>0，即x2＋2x－3<0.解得－3A.(0，2)B.(－∞，0)∪(2，＋∞)C.(－2，0)D.(－∞，－2)∪(0，＋∞)
3.已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝x sin x＋cs x，则 f(x)的单调递增区间是________________________.
【题后反思】确定函数单调区间的步骤(1)确定函数 f(x)的定义域.(2)求 f′(x).
(3)解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为函数的单调递
(4)解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为函数的单调递
考点二 求含参数的函数的单调性
【题后反思】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对
不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解，在划分函数的单调区间时，要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间断点.
则当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
考点三 函数单调性的应用考向 1 比较大小或解不等式[例 2](1)(2021 年全国乙卷理科)设 a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，
A.a＜b＜cC.b＜a＜c
B.b＜c＜aD.c＜a＜b
(2)定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f′(x).若对任意实数 x，有f(x)>f′(x)，且 f(x)＋2 022 为奇函数，则不等式 f(x)＋2 022ex<0 的解
A.(－∞，0)C.(0，＋∞)
B.(－∞，ln 2 022)D.(2 022，＋∞)
考向 2 根据函数单调性求参数
【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路
(1)若函数 y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区
(2)函数 f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【考法全练】1.(考向 1)已知定义域为 R 的连续函数 f(x)的导函数为 f′(x)，
f′(x)m(x－3)
<0，当 m<0 时，下列关系中一定成立的是(
A.f(1)＋f(3)＝2f(2)B.f(0)·f(3)＝0C.f(4)＋f(3)<2f(2)D.f(2)＋f(4)>2f(3)
<0，得 m(x－3)f′(x)<0，
又 m<0，则(x－3)f′(x)>0.当 x>3 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当 x<3 时，f′(x)<0，f(x)单调递减.所以 f(2)>f(3)，f(4)>f(3)，所以 f(2)＋f(4)>2f(3).
⊙构造函数解决不等式问题
对于已知 f(x)与 f′(x)的关系式，比较有关函数式解决不等式的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用函数单调性求解.
考向1　x 与 f(x)的综合函数[例 4](2021 年武汉市模拟)设函数 f′(x)是奇函数 y＝f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x＞0 时，xf′(x)＋f(x)＞0，则使得 f(x)＞0
成立的 x 的取值范围是(
A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(0，1)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(－1，0)∪(1，＋∞)
解析：设 g(x)＝xf(x)，则 g(x)的导数为 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∵当 x＞0 时，xf′(x)＋f(x)＞0，即当 x＞0 时，g′(x)恒大于 0，∴当 x＞0 时，函数 g(x)单调递增.∵f(x)为奇函数，∴函数 g(x)为定义域上的偶函数，又∵g(－1)＝－1×f(－1)＝0，∴g(1)＝0.∵f(x)＞0，∴当 x＞0 时，g(x)＞0，即 g(x)>g(1)，∴x>1；当 x＜0时，g(x)＜0，即 g(x)∴x＞1 或－1＜x＜0，故使得 f(x)＞0 成立的 x 的取值范围是
(－1，0)∪(1，＋∞).
考向 2 ex 与 f(x)的综合函数[例 5](1)(2021 年八省联考模拟)已知 a＜5 且 ae5＝5ea，b＜4
且 be4＝4eb，c＜3 且 ce3＝3ec，则(
A.c＜b＜aC.a＜c＜b
B.b＜c＜aD.a＜b＜c
解析：因为ae5＝5ea，a＜5，故a＞0，同理b＞0，c＞0，
当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0；当 x＞1 时，f′(x)＞0.故 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.
同理 0＜b＜1，0＜c＜1.
∵f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c)，且 f(5)>f(4)>f(3)，故 f(a)>f(b)>f(c)，
因为 a，b，c∈(0，1)，所以 0＜a＜b＜c＜1.
(2)设 a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数，则(A.若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＞bB.若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＜bC.若 ea－2a＝eb－3b，则 a＞bD.若 ea－2a＝eb－3b，则 a＜b
解析：因为 a＞0，b＞0，若ea＋2a＝eb＋3b，则ea＋2a＝
eb＋2b＋b＞eb＋2b，同理，ea－2a＝eb－3b＝eb－2b－b0)，z′＝ex－2，易得函数z＝ex－2x在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，所以当a>0，b>0，ea－2a＝eb－3b时，无法判断a，b的大小.
【反思感悟】根据导数关系构造函数的常见结构
(1)对于不等式 f′(x)＋g′(x)＞0，构造函数 F(x)＝f(x)＋g(x).(2)对于不等式 f′(x)－g′(x)＞0，构造函数 F(x)＝f(x)－g(x).(3)对于不等式 f′(x)＞k，构造函数 F(x)＝f(x)－kx.
(4)对于不等式 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，构造函数 F(x)＝f(x)·g(x).
(5)对于不等式 f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0，构造函数 F(x)＝
(6)对于不等式 xf′(x)＋nf(x)＞0，构造函数 F(x)＝xn·f(x).(7)对于不等式 f′(x)＋f(x)＞0，构造函数 F(x)＝ex·f(x).(8)对于不等式 f′(x)＋kf(x)＞0，构造函数 F(x)＝ekx·f(x).