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2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第三节函数的奇偶性与周期性课件
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这是一份2025届高考数学一轮总复习第三章函数与基本初等函数第三节函数的奇偶性与周期性课件，共53页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，知识梳理1奇偶性，答案B，答案A，2图象法，答案AD，典例突破，答案D等内容，欢迎下载使用。
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
微点拨1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的条件,因此在判断函数奇偶性时,必须首先考察函数定义域是否关于原点对称.2.当f(x)≠0时,可以利用奇偶函数定义的以下等价形式判断奇偶性:(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ =1⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ =-1⇔f(x)为奇函数.3.对于分段函数,要分别从x>0和x<0来判断等式f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)是否成立,只有当对称的两个区间上满足相同的关系时,分段函数才具有相应的奇偶性.
微思考1存在既是奇函数又是偶函数的函数吗?唯一吗?
提示存在既是奇函数又是偶函数的函数,但不唯一.如果函数y=f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x),而它又是奇函数,那么f(x)=-f(-x),因此f(x)=-f(x),于是f(x)=0,既是奇函数又是偶函数的函数的函数值只能为零,但其解析式的形式是不
微思考2若已知函数f(x+a)是偶函数,那么可得到“f(-x-a)=f(x+a)”还是“f(-x+a)=f(x+a)”?由此能否得到函数f(x)图象的对称轴?
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么f(-x+a)=f(x+a),因此函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象向右平移a个单位长度,得到f(x)的图象,因此f(x)图象的对称轴为直线x=a.
2.周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)= ,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般都是指最小正周期).
并非所有周期函数都有最小正周期
微点拨若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.
常用结论1.关于函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,那么一定有f(0)=0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x)=f(|x|).(2)如果函数f(x)不是常数函数,当f(x)是奇函数时,它在两个对称的区间上具有相同的单调性;当f(x)是偶函数时,它在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.(4)如果f(x)=g(x)+m(m为常数)且g(x)为奇函数,那么f(a)+f(-a)=2m.(5)如果奇函数f(x)存在最大值与最小值,那么它的最大值与最小值之和等于零.
2.关于函数周期性的常用结论(a,b为非零常数)(1)若f(x+a)=-f(x),则周期T=2a.
(4)若f(x+a)=f(x+b),则周期T=|a-b|.(5)若函数f(x)图象有对称轴直线x=a和直线x=b,那么周期T=2|a-b|.(6)若函数f(x)图象有对称中心(a,0)和(b,0),那么周期T=2|a-b|.(7)若函数f(x)图象有对称轴直线x=a和对称中心(b,0),那么周期T=4|a-b|.(8)若函数是周期为T的奇函数,则f(T)=0.
3.关于函数图象对称性的常用结论(1)若对于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)或f(-x)=-f(2a+x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数f(x)=x3(x≥0)是奇函数.( )(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( )(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( )(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( )(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( )
2.对于定义在R上的函数f(x),有下面四个结论:①若f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2);②若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数;③若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数;④若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4
解析①正确;②错误,仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性,需要满足“任意”;③正确;④错误,反例:f(x)= 满足f(-2)=f(2)=0,易证f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+1)=f(x-1).当x∈(0,1)时,f(x)=2x+1,则f(lg23)等于( )
解析 由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).
考向1.函数奇偶性的判断典例突破例1.(1)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是( )A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1
答案 (1)B
解析 函数 ,则该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.
(2)解 ①因为函数的定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是偶函数.
③当x>0时,f(x)=x2-3x,而-x<0,所以f(-x)=-(-x)2-3(-x)=-x2+3x=-f(x);当x<0时,f(x)=-x2-3x,而-x>0,所以f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x=-f(x).因此对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=-f(x),故函数是奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法:
(3)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
对点训练1(2023广西玉林三模)已知f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,则g(x)的解析式可以为( )
解析由f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,得f(-x)=-x3g(-x)=x3g(x)=f(x),∴g(-x)=-g(x),∴g(x)是奇函数.在四个选项中,只有A选项g(x)=( )x-3x是奇函数.故选A.
考向2.函数奇偶性的应用典例突破例2.(1)若f(x)为奇函数,当x≤0时,f(x)=a+2cs x,则
(2)(2023全国甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin 为偶函数,则a= .
答案 (1)C (2)2 (3)-2ln 2
解析 (1)因为f(x)为奇函数,当x≤0时,f(x)=a+2cs x,所以f(0)=a+2cs 0=0,解得a=-2,因此当x≤0时,f(x)=2cs x-2,
(2)由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cs x+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cs(-x)+1=x2+(2-a)x+cs x+1,∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cs x+1=x2+(2-a)x+cs x+1,解得a=2.
归纳总结利用函数的奇偶性可以解决的问题(1)求解析式中的参数值:利用待定系数法根据f(-x)=±f(x)得到关于参数的恒等式,由系数的对等性建立方程(组),进而求得参数值,也可以利用取特殊值法求解.(2)求解析式:在欲求解析式的区间上任取x,则-x必在解析式已知的区间内,代入求得f(-x),再根据奇偶性即得f(x).(3)求函数值:将欲求函数值利用奇偶性转化为求函数在已知解析式的区间上的函数值问题.(4)求特殊值:根据具有最大值与最小值的奇函数在对称区间上的最大值与最小值之和等于零求一些特殊结构的函数值.
对点训练2(1)(多选)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足:f(x)+g(x)=ex(其中e为自然对数的底数),则下列结论正确的是( )A.g(0)=1B.f(1)<0C.f(2x)=2f(x)g(x)D.g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2(2)已知f(x)=tan x·(ex+e-x)+6,若f(t)=8,则f(-t)= .
答案 (1)ACD (2)4
考向3.函数奇偶性与对称性的综合典例突破
例3.(多选)(2023江苏无锡三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则( )A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f(x)的图象关于点(1,0)对称C.f(x)的图象关于直线x=2对称D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
解析∵f(x+2)为奇函数,∴f(x+2)=-f(-x+2),∴函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,又f(2x+1)为偶函数,∴f(2x+1)=f(-2x+1),∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称.故选AD.
名师点析函数奇偶性与对称性的关系及其应用(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,这实际上是函数图象中心对称和轴对称的特殊情形.一般地,如果图象关于直线x=a对称,那么有f(a+x)=f(a-x),如果图象关于点(a,0)对称,那么有f(a+x)=-f(a-x).(2)从函数值的特点来看,对称轴反映的是两个函数值相等,而对称中心反映的是两个函数值互为相反数.(3)如果函数f(x)有对称轴直线x=a,那么将其图象向左平移a个单位长度,得到f(x+a)的图象,其对称轴是y轴,因此函数y=f(x+a)是偶函数,反之亦然;如果函数f(x)有对称中心(a,0),那么将其图象向左平移a个单位长度,得到f(x+a)的图象,其对称中心是原点,因此函数y=f(x+a)是奇函数,反之亦然.
对点训练3(2023山西晋中二模)已知函数f(x)=2x- (x∈R),则f(x)的图象( )A.关于直线x=2对称B.关于点(2,0)对称C.关于直线x=0对称D.关于原点对称
例4.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则
A.-21B.-22C.-23D.-24
解析 由g(x)的图象关于直线x=2对称,可知g(x)=g(4-x).∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x).∴f(x)的周期为4.当x=0时,f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,
∴f(4)=f(0)=1.当x=2时,g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3.当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.
突破技巧函数周期性的应用技巧(1)熟记函数周期常见的几种表达形式,能够由已知条件准确地推得函数的最小正周期;(2)熟练运用结论“若T是函数的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期”,对自变量的值进行转化;(3)注意通过“区间变换法”,结合函数的周期,由局部的解析式得到函数在整个定义域内的解析式.
对点训练4(2023安徽合肥二模)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(1)=2,则f(2 024)= .
解析由f(x)=f(x+1)+f(x-1),得f(x+1)=f(x+2)+f(x),∴f(x)-f(x-1)=f(x+2)+f(x),即-f(x-1)=f(x+2),于是有-f(x)=f(x+3),∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x).∴函数f(x)的周期为6.又∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0.令x=1,则f(1)=f(2)+f(0),得f(2)=f(1)-f(0)=2,∴f(2 024)=f(337×6+2)=f(2)=2.
考向1.函数奇偶性与单调性的综合典例突破例5.若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,则不等式xf(x-1)≤0的解集为( ) A.(-∞,-1]∪[3,+∞)B.(-∞,-1]∪[1,3]C.[-1,0]∪[1,3]D.[-1,0]∪[3,+∞)
突破技巧综合应用奇偶性与单调性解题的技巧综合应用函数的奇偶性与单调性主要解决两类问题:一是解抽象函数不等式;二是比较函数值的大小.基本策略是:(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.(2)根据单调性, 得到具体的不等式,即可解不等式或比较大小.(3)注意根据已知函数的单调性与奇偶性画出函数的大致图象,借助图象分析解决问题.
考向2.函数奇偶性与周期性的综合典例突破例6.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,
解析 ∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).
∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.即4a+b=-6,∴a=-2,b=2,
突破技巧综合应用奇偶性与周期性解题的技巧综合应用奇偶性与周期性主要是解决求值问题,一般策略如下:(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期;(2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系,必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化;(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值.
对点训练6(2023山东泰安一模)设f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)=f(2-x).
解析由题意得f(x)=f(-x),又f(x)=f(2-x),所以f(x)=f(-x)=f(2+x),所以f(x)是周期
考向3.函数奇偶性、单调性与周期性的综合典例突破例7.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且在[0,2]上单调递增,下列判断正确的是( )A.f(x)的周期是4B.f(2)是函数的一个最大值C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称D.f(x)在[2,6]上单调递减
解析 因为f(x)是奇函数,且f(2+x)=f(2-x),所以函数最小正周期为8,故A项错误;又因为f(x)关于直线x=2对称,而且在区间[0,2]上单调递增,所以f(x)在区间[2,4]上单调递减,又f(x)是奇函数,所以f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,0]上单调递增,所以f(2)是函数的一个最大值,f(x)图象关于直线x=-2对称,在区间[2,6]上单调递减,故B正确,C错误,D正确.
突破技巧综合应用奇偶性、单调性、周期性的解题技巧(1)根据奇偶性推得周期性;(2)利用周期性转化自变量所在的区间;(3)利用单调性解决相关问题.
对点训练7(2023江西九江三模)已知定义在R上的函数f(x)在[0,1]上单调递增,f(x+1)是奇函数,f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)( )A.在[2 020,2 022]上单调递减B.在[2 021,2 023]上单调递增C.在[2 022,2 024]上单调递减D.在[2 023,2 025]上单调递增
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
微点拨1.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的条件,因此在判断函数奇偶性时,必须首先考察函数定义域是否关于原点对称.2.当f(x)≠0时,可以利用奇偶函数定义的以下等价形式判断奇偶性:(1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔ =1⇔f(x)为偶函数;(2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔ =-1⇔f(x)为奇函数.3.对于分段函数,要分别从x>0和x<0来判断等式f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)是否成立,只有当对称的两个区间上满足相同的关系时,分段函数才具有相应的奇偶性.
微思考1存在既是奇函数又是偶函数的函数吗?唯一吗?
提示存在既是奇函数又是偶函数的函数,但不唯一.如果函数y=f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x),而它又是奇函数,那么f(x)=-f(-x),因此f(x)=-f(x),于是f(x)=0,既是奇函数又是偶函数的函数的函数值只能为零,但其解析式的形式是不
微思考2若已知函数f(x+a)是偶函数,那么可得到“f(-x-a)=f(x+a)”还是“f(-x+a)=f(x+a)”?由此能否得到函数f(x)图象的对称轴?
提示根据偶函数的定义,如果函数f(x+a)是偶函数,那么f(-x+a)=f(x+a),因此函数f(x)图象的对称轴为直线x=a.也可从图象变换的角度来理解,函数f(x+a)是偶函数,则其图象关于y轴对称,将该图象向右平移a个单位长度,得到f(x)的图象,因此f(x)图象的对称轴为直线x=a.
2.周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)= ,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般都是指最小正周期).
并非所有周期函数都有最小正周期
微点拨若T是函数f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.
常用结论1.关于函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,那么一定有f(0)=0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(-x)=f(x)=f(|x|).(2)如果函数f(x)不是常数函数,当f(x)是奇函数时,它在两个对称的区间上具有相同的单调性;当f(x)是偶函数时,它在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.(4)如果f(x)=g(x)+m(m为常数)且g(x)为奇函数,那么f(a)+f(-a)=2m.(5)如果奇函数f(x)存在最大值与最小值,那么它的最大值与最小值之和等于零.
2.关于函数周期性的常用结论(a,b为非零常数)(1)若f(x+a)=-f(x),则周期T=2a.
(4)若f(x+a)=f(x+b),则周期T=|a-b|.(5)若函数f(x)图象有对称轴直线x=a和直线x=b,那么周期T=2|a-b|.(6)若函数f(x)图象有对称中心(a,0)和(b,0),那么周期T=2|a-b|.(7)若函数f(x)图象有对称轴直线x=a和对称中心(b,0),那么周期T=4|a-b|.(8)若函数是周期为T的奇函数,则f(T)=0.
3.关于函数图象对称性的常用结论(1)若对于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x)或f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(a-x)=-f(a+x)或f(2a-x)=-f(x)或f(-x)=-f(2a+x),则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数f(x)=x3(x≥0)是奇函数.( )(2)若函数f(x)为奇函数,则必有f(0)=0.( )(3)若函数f(x),g(x)均为奇函数,则函数f(g(x))也为奇函数.( )(4)若函数f(x)满足f(x-2)=f(x+3),则函数的周期为1.( )(5)若f(4+x)+f(4-x)=0,则函数y=f(4+x)是奇函数.( )
2.对于定义在R上的函数f(x),有下面四个结论:①若f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2);②若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数;③若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数;④若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4
解析①正确;②错误,仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性,需要满足“任意”;③正确;④错误,反例:f(x)= 满足f(-2)=f(2)=0,易证f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
3.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+1)=f(x-1).当x∈(0,1)时,f(x)=2x+1,则f(lg23)等于( )
解析 由f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).
考向1.函数奇偶性的判断典例突破例1.(1)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是( )A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1
答案 (1)B
解析 函数 ,则该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.
(2)解 ①因为函数的定义域为R,且f(-x)=(-x)2-xsin(-x)=x2+xsin x=f(x),所以函数是偶函数.
③当x>0时,f(x)=x2-3x,而-x<0,所以f(-x)=-(-x)2-3(-x)=-x2+3x=-f(x);当x<0时,f(x)=-x2-3x,而-x>0,所以f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x=-f(x).因此对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=-f(x),故函数是奇函数.
方法总结判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法:
(3)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
对点训练1(2023广西玉林三模)已知f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,则g(x)的解析式可以为( )
解析由f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,得f(-x)=-x3g(-x)=x3g(x)=f(x),∴g(-x)=-g(x),∴g(x)是奇函数.在四个选项中,只有A选项g(x)=( )x-3x是奇函数.故选A.
考向2.函数奇偶性的应用典例突破例2.(1)若f(x)为奇函数,当x≤0时,f(x)=a+2cs x,则
(2)(2023全国甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin 为偶函数,则a= .
答案 (1)C (2)2 (3)-2ln 2
解析 (1)因为f(x)为奇函数,当x≤0时,f(x)=a+2cs x,所以f(0)=a+2cs 0=0,解得a=-2,因此当x≤0时,f(x)=2cs x-2,
(2)由题意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cs x+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cs(-x)+1=x2+(2-a)x+cs x+1,∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cs x+1=x2+(2-a)x+cs x+1,解得a=2.
归纳总结利用函数的奇偶性可以解决的问题(1)求解析式中的参数值:利用待定系数法根据f(-x)=±f(x)得到关于参数的恒等式,由系数的对等性建立方程(组),进而求得参数值,也可以利用取特殊值法求解.(2)求解析式:在欲求解析式的区间上任取x,则-x必在解析式已知的区间内,代入求得f(-x),再根据奇偶性即得f(x).(3)求函数值:将欲求函数值利用奇偶性转化为求函数在已知解析式的区间上的函数值问题.(4)求特殊值:根据具有最大值与最小值的奇函数在对称区间上的最大值与最小值之和等于零求一些特殊结构的函数值.
对点训练2(1)(多选)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足:f(x)+g(x)=ex(其中e为自然对数的底数),则下列结论正确的是( )A.g(0)=1B.f(1)<0C.f(2x)=2f(x)g(x)D.g(2x)=[f(x)]2+[g(x)]2(2)已知f(x)=tan x·(ex+e-x)+6,若f(t)=8,则f(-t)= .
答案 (1)ACD (2)4
考向3.函数奇偶性与对称性的综合典例突破
例3.(多选)(2023江苏无锡三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则( )A.f(x)的图象关于直线x=1对称B.f(x)的图象关于点(1,0)对称C.f(x)的图象关于直线x=2对称D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
解析∵f(x+2)为奇函数,∴f(x+2)=-f(-x+2),∴函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,又f(2x+1)为偶函数,∴f(2x+1)=f(-2x+1),∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称.故选AD.
名师点析函数奇偶性与对称性的关系及其应用(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,这实际上是函数图象中心对称和轴对称的特殊情形.一般地,如果图象关于直线x=a对称,那么有f(a+x)=f(a-x),如果图象关于点(a,0)对称,那么有f(a+x)=-f(a-x).(2)从函数值的特点来看,对称轴反映的是两个函数值相等,而对称中心反映的是两个函数值互为相反数.(3)如果函数f(x)有对称轴直线x=a,那么将其图象向左平移a个单位长度,得到f(x+a)的图象,其对称轴是y轴,因此函数y=f(x+a)是偶函数,反之亦然;如果函数f(x)有对称中心(a,0),那么将其图象向左平移a个单位长度,得到f(x+a)的图象,其对称中心是原点,因此函数y=f(x+a)是奇函数,反之亦然.
对点训练3(2023山西晋中二模)已知函数f(x)=2x- (x∈R),则f(x)的图象( )A.关于直线x=2对称B.关于点(2,0)对称C.关于直线x=0对称D.关于原点对称
例4.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则
A.-21B.-22C.-23D.-24
解析 由g(x)的图象关于直线x=2对称,可知g(x)=g(4-x).∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5.又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x).∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7.又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x).∴f(x)的周期为4.当x=0时,f(0)+g(2)=5,∴f(0)=5-g(2)=1,
∴f(4)=f(0)=1.当x=2时,g(2)-f(-2)=7,∴f(-2)=g(2)-7=-3,∴f(2)=f(-2)=-3.当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.
突破技巧函数周期性的应用技巧(1)熟记函数周期常见的几种表达形式,能够由已知条件准确地推得函数的最小正周期;(2)熟练运用结论“若T是函数的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期”,对自变量的值进行转化;(3)注意通过“区间变换法”,结合函数的周期,由局部的解析式得到函数在整个定义域内的解析式.
对点训练4(2023安徽合肥二模)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(1)=2,则f(2 024)= .
解析由f(x)=f(x+1)+f(x-1),得f(x+1)=f(x+2)+f(x),∴f(x)-f(x-1)=f(x+2)+f(x),即-f(x-1)=f(x+2),于是有-f(x)=f(x+3),∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x).∴函数f(x)的周期为6.又∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0.令x=1,则f(1)=f(2)+f(0),得f(2)=f(1)-f(0)=2,∴f(2 024)=f(337×6+2)=f(2)=2.
考向1.函数奇偶性与单调性的综合典例突破例5.若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,则不等式xf(x-1)≤0的解集为( ) A.(-∞,-1]∪[3,+∞)B.(-∞,-1]∪[1,3]C.[-1,0]∪[1,3]D.[-1,0]∪[3,+∞)
突破技巧综合应用奇偶性与单调性解题的技巧综合应用函数的奇偶性与单调性主要解决两类问题:一是解抽象函数不等式;二是比较函数值的大小.基本策略是:(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.(2)根据单调性, 得到具体的不等式,即可解不等式或比较大小.(3)注意根据已知函数的单调性与奇偶性画出函数的大致图象,借助图象分析解决问题.
考向2.函数奇偶性与周期性的综合典例突破例6.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,
解析 ∵f(x+1)是奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1).∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x),∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0.∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),∴f(0)=-f(2).
∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,∴由f(1)=0得a+b=0.∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6.即4a+b=-6,∴a=-2,b=2,
突破技巧综合应用奇偶性与周期性解题的技巧综合应用奇偶性与周期性主要是解决求值问题,一般策略如下:(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期;(2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系,必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化;(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值.
对点训练6(2023山东泰安一模)设f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)=f(2-x).
解析由题意得f(x)=f(-x),又f(x)=f(2-x),所以f(x)=f(-x)=f(2+x),所以f(x)是周期
考向3.函数奇偶性、单调性与周期性的综合典例突破例7.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且在[0,2]上单调递增,下列判断正确的是( )A.f(x)的周期是4B.f(2)是函数的一个最大值C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称D.f(x)在[2,6]上单调递减
解析 因为f(x)是奇函数,且f(2+x)=f(2-x),所以函数最小正周期为8,故A项错误;又因为f(x)关于直线x=2对称,而且在区间[0,2]上单调递增,所以f(x)在区间[2,4]上单调递减,又f(x)是奇函数,所以f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,0]上单调递增,所以f(2)是函数的一个最大值,f(x)图象关于直线x=-2对称,在区间[2,6]上单调递减,故B正确,C错误,D正确.
突破技巧综合应用奇偶性、单调性、周期性的解题技巧(1)根据奇偶性推得周期性;(2)利用周期性转化自变量所在的区间;(3)利用单调性解决相关问题.
对点训练7(2023江西九江三模)已知定义在R上的函数f(x)在[0,1]上单调递增,f(x+1)是奇函数,f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)( )A.在[2 020,2 022]上单调递减B.在[2 021,2 023]上单调递增C.在[2 022,2 024]上单调递减D.在[2 023,2 025]上单调递增
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