高考数学一轮复习第二章第三讲函数的奇偶性与周期性课件

这是一份高考数学一轮复习第二章第三讲函数的奇偶性与周期性课件，共51页。PPT课件主要包含了函数的周期性，函数的奇偶性，函数图象的对称性，x＝a对称，b0中心对称，图2-3-1，答案C，答案BCD，②fx＝，12x＋1等内容，欢迎下载使用。

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义， 会判断和应用简单
【名师点睛】(1)常见的奇函数有 f(x)＝xk(k 为奇数)，f(x)＝sin x，f(x)＝tan x，
＝c(c 为常数)，f(x)＝xk(k 为非零偶数)，f(x)＝cs x，f(x)＝g(|x|).(2)如果一个奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，那么一定有 f(0)＝0.(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
(1)周期函数：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最
小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.
【名师点睛】函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a>0).
(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线
(2)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点
(3)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)或 f(a＋x)＝f(a－x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称.
考点一 判断函数的奇偶性
[例 1](1)已知函数 f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是(A.f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞)
解析：将函数 f(x)＝x·|x|－2x 去掉绝对值得
画出函数 f(x)的图
象，如图 2-3-1，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇函数，且在(－1，
1)上单调递减.故选 C.
(2)(多选题)(2023 年辽宁省月考)已知 f(x)是定义在 R 上不恒为
0 的偶函数，g(x)是定义在 R 上不恒为 0 的奇函数，则(A.f(f(x))为奇函数B.g(g(x))为奇函数C.f(g(x))为偶函数D.g(f(x))为偶函数
解析：由题意可知，f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以 f(f(－x))＝f(f(x))，即 f(f(x))为偶函数，A 项错误；
g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，即 g(g(x))为奇函数，B 项正
因为 f(g(－x))＝f(g(x))，即 f(g(x))为偶函数，C 项正确；因为 g(f(－x))＝g(f(x))，即 g(f(x))为偶函数，D 项正确.
【题后反思】判断函数奇偶性的方法(1)定义法：
(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称.(3)在两函数的公共定义域中：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；
奇×奇＝偶，奇×偶＝奇，偶×偶＝偶.
【变式训练】给定四个函数：①f(x)＝－3x4；
③f(x)＝3x，x∈[－1，2]；④f(x)＝5x＋7.
解析：对于①，因为 f(－x)＝－3(－x)4＝－3x4≠－f(x)，即 f(x)不是奇函数；
所以函数的定义域不关于原点对称，即 f(x)不是奇函数；
对于③，函数的定义域为[－1，2]，所以函数的定义域不关于原点对称，即 f(x)不是奇函数；
对于④，因为 f(－x)＝－5x＋7≠－f(x)，即 f(x)不是奇函数，即奇函数的个数为 0.故选 A.
考点二 根据函数的奇偶性求参数的值或范围
∴x－a＝x＋a，得－a＝a，得 a＝0.故选 B.答案：B
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题.(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数 f(x＋a)为偶函数(奇函数)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称[关于点(a，0)对称].
ax＋1＋cs x，若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝x2＋2x－ax＋1＋cs x＝x2－2x＋ax＋1＋cs x＝f(x)，变形可得(a－2)x＝0 在 R 上恒成立，必有 a＝2.
考点三 函数性质的综合应用
考向 1 单调性与奇偶性的综合问题
通性通法：(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，实现不等式的等价转化.
(2)注意偶函数的性质 f(x)＝f(|x|)的应用.
[例3]已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)＝xf(x).若 a＝
g(－lg25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
解析：易知 g(x)＝xf(x)在 R 上为偶函数，∵奇函数 f(x)在R上是增函数，则f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又3>lg25.1>2>20.8，且a＝g(－lg25.1)＝g(lg25.1)，∴g(3)>g(－lg25.1)>g(20.8)，即 c>a>b.
考向 2 周期性与奇偶性的综合问题
通性通法：此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
[例 4](2023 年未央区模拟)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)＝f(2－x)，当 x∈[0，1]时，f(x)＝ax3＋2x＋a＋1，则 f(2 023)＝
解析：∵f(x)是 R 上的奇函数，
∴f(0)＝0，即 f(0)＝a＋1＝0，得 a＝－1，则当 x∈[0，1]时，f(x)＝－x3＋2x，∵奇函数 f(x)满足 f(x)＝f(2－x)，∴f(x)＝f(2－x)＝－f(x－2)，
则 f(x＋2)＝－f(x)，则 f(x＋4)＝f(x)，即 f(x)是周期为4的周期
则 f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－(－1＋2)＝－1.
考向 3 单调性、奇偶性与周期性的综合问题
通性通法：对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定函数另一区间上的性质.
【常用结论】函数图象的对称性与函数周期性的关系
(1)若 y＝f(x)的图象既关于 x＝a 对称，也关于 x＝b 对称，则
|2(a－b)|是 f(x)的一个周期.
(2)若 y＝f(x)的图象既关于(a，0)对称，也关于(b，0)对称，则
(3)若 y＝f(x)的图象既关于 x＝a 对称，也关于(b，0)对称，则
|4(a－b)|是 f(x)的一个周期.
[例 5](多选题)(2023年南平市期末)若定义在R上的奇函数 f(x)
满足 f(x)＝f(2－x)，且当 x∈(0，1]时，f(x)＝x，则(A.y＝f(x＋1)为偶函数B.f(x)在(3，5)上单调递增C.f(x)在(－3，－1)上单调递增D.f(x)的最小正周期 T＝4
解析：由 f(x)＝f(2－x)得函数 f(x)的图象关于 x＝1 对称，函数 f(x＋1)的图象是由函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度
所以函数 f(x＋1)的图象关于 y 轴对称，所以函数 f(x＋1)是偶
由 f(x)＝f(2－x)得 f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
所以 f(4＋x)＝f(x)，f(x)的最小正周期为 4，故 D 正确；
当 x∈(0，1]时，f(x)＝x，因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以当 x∈[－1，0)时，f(x)＝x，且 f(0)＝0，
所以 f(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，因为 f(x)的最小正周期 T＝4，所以 f(x)在(3，5)上单调递增，在(－3，－1)上单调递减，故 B 正确，C 错误.故选 ABD.
【考法全练】1.(考向 1)(2020 年全国Ⅰ卷)若定义在 R 上的奇函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(2)＝0，则满足 xf(x－1)≥0 的 x 的取值
A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3]
解析：因为函数 f(x)为定义在R上的奇函数，则 f(0)＝0.又 f(x)在(－∞，0)上单调递减，且 f(2)＝0，画出函数 f(x)的大致图象如图 D2(1)所示，则函数 f(x－1)的大致图象如图 D2(2)所示.当 x≤0时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≤0，得－1≤x≤0；当 x＞0时，要满足 xf(x－1)≥0，则 f(x－1)≥0，得 1≤x≤3.故满足 xf(x－1)≥0的 x 的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选 D.
2.(考向 3)(多选题)(2023 年邵阳市月考)已知函数 f(x)＝
A.f(x－3)是奇函数B.f(x－3)是偶函数C.f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，在区间(－3，＋∞)上是减函数D.f(x)有最大值
根据复合函数单调性同增异减可知：f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，在区间(－3，＋∞)上是减函数，C 选项正确；由于 f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，在区间(－3，＋∞)
但 f(x)的定义域是{x|x≠－3}，所以 f(x)没有最大值，D 选项错
3.(考向 2)(2023 年蒙城县校级三模)已知定义在 R 上的奇函数f(x) 满足 f(x)＝f(2－x)，若 x∈[0，1] 时，f(x)＝x，则 f(11)的值为
____________.
解析：根据题意，奇函数 f(x) 满足 f(x)＝f(2－x)，则有 f(2－x)
＝－f(－x)，即 f(x＋2)＝－f(x)，
变形可得 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函数 f(x)是周期为 4 的周
则 f(11)＝f(－1＋12)＝f(－1)＝－f(1)，而 x∈[0，1] 时，f(x)＝x，则 f(1)＝1，故 f(11)＝－f(1)＝－1.
⊙函数奇偶性、周期性的应用
函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出.这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为烦琐，若能灵活利用函数奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果.以下归纳出函数奇偶性的拓展及应用.
(1)若函数 f(x)是奇函数，且 g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)
(2) 已知函数 f(x) 是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的x∈D，都有 f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数 f(x)在 D 上有最值，则 fmax(x)＋fmin(x)＝0，且若 0∈D，则 f(0)＝0.
(3)若函数 f(x)是奇函数，则函数 g(x)＝f(x－a)＋h 的图象关于
(4)若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)＝f(|x|).
解析：易知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为偶函数.当 x≥0
【高分训练】1.设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝
)A.{x|x<－2 或 x>4}B.{x|x<0 或 x>4}C.{x|x<0 或 x>6}D.{x|x<－2 或 x>2}
解析：由 f(x)＝x3－8(x≥0)，知 f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且 f(2)＝0.所以由已知条件 f(x－2)>0 得 f(|x－2|)>f(2).所以|x－2|>2，解得 x<0 或 x>4.故选 B.
2.(多选题)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于点(1，
0)对称.以下关于 f(x)的结论正确的是(A.f(x)是周期函数B.f(x)满足 f(x)＝f(4－x)C.f(x)在(0，2)上单调递减