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2023年辽宁省营口市中考数学试卷
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这是一份2023年辽宁省营口市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．﹣
2．（3分）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（+）+（﹣）＝；④﹣3÷（﹣）＝9，其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠BAC＝100°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．40° C．35° D．45°
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4 D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
6．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷．根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点M（3，﹣4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是 ．
13．（3分）某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示：
时间/小时
7
8
9
10
人数
4
12
13
6
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是 小时．
14．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣12＝0的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则＝ ．
三、解答题（17小题8分，18小题12分，共20分）
17．（8分）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m＝+tan45°．
18．（12分）某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成了不完整统计图表．
学生周末家务劳动时长分组表
组别
A
B
C
D
t（小时）
t＜0.5
0.5≤t＜1
1≤t＜1.5
t≥1.5
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 名学生，条形统计图中的a＝ ，D组所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？
（3）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
20．（10分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）
21．（10分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程．（参考数据：≈1.41，≈2.45）
22．（12分）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
六、解答题（本题满分12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝3，cosC＝，求BF的长．
七、解答题（本题满分14分）
24．（14分）在▱ABCD中，∠ADB＝90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG，∠FED＝∠ADG，＝＝k．
（1）如图1，当k＝1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系 ；
（2）如图2，当k＝时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值．
八、解答题（本题满分14分）
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．﹣
【分析】正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣的绝对值是，
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
2．（3分）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】仔细观察图形找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得底层有3个正方形，上层中间有一个正方形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（+）+（﹣）＝；④﹣3÷（﹣）＝9，其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据有理数的混合运算法则，有理数的乘方等运算法则进行逐项分析计算即可．
【解答】解：①（﹣5）+（+3）＝﹣2，原来的计算错误；
②﹣（﹣2）3＝8，原来的计算错误；
③，原来的计算正确；
④，原来的计算正确．
正确的有2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，有理数的加法、除法等运算法则，关键在于正确的进行计算．
4．（3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠BAC＝100°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．40° C．35° D．45°
【分析】由邻补角的性质得到∠EAC＝180°﹣∠BAC＝80°，由角平分线定义，得到∠DAC＝40°，由平行线的性质得到∠C＝∠DAC＝40°．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠EAC＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝∠EAC＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质得到∠C＝∠DAC．
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4 D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
【分析】根据同类项、合并同类项法则以及同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：A．a3•a3＝a3+3＝a6，因此选项A不符合题意；
B．8a2﹣5a2＝3a2，因此选项B符合题意；
C．a8÷a2＝a8﹣2＝a6，因此选项C不符合题意；
D．（﹣3a2）3＝﹣27a6，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提．
6．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、四边形内角和是360°，是必然事件，故A符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
8．（3分）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷．根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，
∴2（2x+5y）＝3.6；
∵3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，
∴5（3x+2y）＝8．
∴根据题意可列方程组．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（3分）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠ABD＝90°，进而求出∠ADB，再根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”以及“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”是正确解答的前提．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的对称性即可求得对称轴，即可判断②；根据抛物线开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断出①；根据图象即可判断③④；根据函数的最值即可判断出⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故②正确；
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知，当﹣3＜x＜0时，y＞0，
∴当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0，故③正确；
由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值，
∴当m为任意实数时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③⑤共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥﹣ ．
【分析】二次根式有意义的条件是：二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
1+3x≥0，
解得，x≥﹣；
故答案是：x≥﹣．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点M（3，﹣4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是 （﹣2，﹣4） ．
【分析】根据平移规律即可得到点M′的坐标．
【解答】解：将点M（3，﹣4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是（3﹣5，﹣4），即（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
13．（3分）某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示：
时间/小时
7
8
9
10
人数
4
12
13
6
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是 9 小时．
【分析】根据众数的定义解答即可．
【解答】解：在该班35名同学一周课外阅读时间中，9小时出现的次数最多，
所以众数是9小时．
故答案为：9．
【点评】本题考查了众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
14．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣12＝0的一个根是3，则此方程的另一个根是 ﹣4 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，两根积，即可求出另一根．
【解答】解：设一元二次方程的另一根为x＝a，
则根据一元二次方程根与系数的关系得3a＝﹣12，
解得a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．（3分）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝ 4 ．
【分析】由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，求出CE＝DE＝3，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，
∵CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
∵CA＝5，
∴AE＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则＝ ．
【分析】连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD为等边三角形，由等边三角形三线合一可知AG＝CG＝，再设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，易得DG＝，△ABE∽△GDE，由相似三角形的性质可得，即AE＝GE，由AE+GE＝AG＝a可求出GE＝，AE＝，利用勾股定理求出DE，以此即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，
∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵DG⊥AC，
∴AG＝CG＝，
设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，
在Rt△ADG中，DG＝＝，
∵∠BAE＝∠DGE＝90°，∠AEB＝∠GED，
∴△ABE∽△GDE，
∴，即，
∴AE＝GE，
∵AE+GE＝AG＝a，
∴GE+GE＝a，
解得：GE＝，
∴AE＝，
在Rt△DGE中，DE＝＝，
∴＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题．
三、解答题（17小题8分，18小题12分，共20分）
17．（8分）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m＝+tan45°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（m+2+）•
＝•
＝•
＝•
＝﹣2（3+m）
＝﹣6﹣2m，
当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（12分）某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成了不完整统计图表．
学生周末家务劳动时长分组表
组别
A
B
C
D
t（小时）
t＜0.5
0.5≤t＜1
1≤t＜1.5
t≥1.5
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 50 名学生，条形统计图中的a＝ 9 ，D组所在扇形的圆心角的度数是 108° ；
（2）已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？
（3）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
【分析】（1）由C组的人数除以所占百分比得出这次抽样调查共抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校共有学生人数乘以周末家务劳动时长不低于1小时的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次抽样调查共抽取的学生人数为：22÷44%＝50（名），
∴A组的人数为：50×8%＝4（名），
∴条形统计图中的a＝50﹣4﹣22﹣15＝9，
D组所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝108°，
故答案为：50，9，108°；
（2）900×＝666（人），
答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有6种，
∴恰好选中两名男生的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的长为4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
20．（10分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出OB，进而求出点A坐标，最后用待定系数法即可求出k；
（2）过A作AF⊥x轴于F，求出点D坐标，进而求出直线AC的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点C的坐标，即可求出OC．
【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，
∴∠OBA＝90°，
在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝，
∴OB＝4，
∴A（2，4），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×2＝8；
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADO＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，
∴AF＝DF＝OB＝8，
∵OF＝AB＝2，
∴OD＝10，
∴D（10，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵点A（2，4），D（10，0）在直线AC上，
∴
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+5①，
由（1）知，反比例函数的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴C（8，1）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方程组，作出辅助线求出直线AC的解析式是解（2）的关键．
五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）
21．（10分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程．（参考数据：≈1.41，≈2.45）
【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，根据题意可得：∠ACD＝25°，∠BCD＝55°，∠FAB＝20°，AB＝1000米，CD∥FA，从而可得∠CAF＝∠ACD＝25°，进而可得∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，再在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出CE和BC的长，从而求出AC的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BE⊥AC，垂足为E，
由题意得：∠ACD＝25°，∠BCD＝55°，∠FAB＝20°，AB＝1000米，CD∥FA，
∴∠CAF＝∠ACD＝25°，
∴∠BAC＝∠FAB+∠CAF＝45°，∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝AB•cos45°＝1000×＝500（米），
BE＝AB•sin45°＝1000×＝500（米），
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，
∴BC＝2BE＝1000（米），CE＝BE＝500（米），
∴AC＝AE+CE＝（500+500）米，
∴AC﹣BC＝500+500﹣1000＝500﹣500≈520（米），
∴甲组同学比乙组同学大约多走520米的路程．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（12分）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是m元，根据今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同得：＝，解方程并检验可得今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
（2）设消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为w元，根据每瓶利润乘销售量等于总利润可得w＝（x﹣24）[600+100（36﹣x）]＝﹣100x2+6600x﹣100800，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是m元，
根据题意得：＝，
解得m＝24，
经检验，m＝24是原方程的解，也符合题意，
∴今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
（2）设消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为w元，
根据题意得w＝（x﹣24）[600+100（36﹣x）]＝﹣100x2+6600x﹣100800＝﹣100（x﹣33）2+8100，
∵﹣100＜0，
∴当x＝33时，w取最小值8100，
∴当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【点评】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数解析式．
六、解答题（本题满分12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝3，cosC＝，求BF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，勾股定理以及相似三角形的性质可求出圆的半径，再根据相似三角形的性质可求出BF．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD，
∵AB＝BC，
∴AD＝CD，
又∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵FD⊥AB，
∴FD⊥OD，
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：由于cosC＝＝，可设CD＝4x，则BC＝5x，
∴BD＝＝3x，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴∠DBE＝∠CBD，
∵∠BED＝∠BDC＝90°，
∴△BED∽△BDC，
∴＝，
即，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
∴BC＝5x＝，
∴OD＝BC＝，
∵OD∥BE，
∴△FEB∽△FDO，
∴＝，
即＝，
解得FB＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
七、解答题（本题满分14分）
24．（14分）在▱ABCD中，∠ADB＝90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG，∠FED＝∠ADG，＝＝k．
（1）如图1，当k＝1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系 AG＝DF ；
（2）如图2，当k＝时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值．
【分析】（1）当k＝1时，AD＝BD，DG＝EF，在AD上截取DH＝DE，连接HG，证明△DHG≌△EDF（SAS），推出∠DHG＝∠EDF＝135°，DF＝HG，得到AG＝GH＝DF；
（2）当＝ 时，得到∠A＝30°，∠CDB＝∠DBA＝60°，过点G作GM⊥AB交AD于点M，证明△DMG∽△EDF，推出 ，得到 ，，由此得到 ，进而推出 ；
（3）由（2）得DB＝2DF+DE，设DE＝x，由点G是AB的中点，得到∠ADG＝30°，推出DE＝DF＝x，DB＝3x，过 E作EN⊥BD于N，根据 30° 角的性质及勾股定理求出 ，，即可得到 ，根据三角函数定义即可得到答案．
【解答】解：（1）当 k＝1时，AD＝BD，DG＝EF，在AD上截取DH＝DE，连接HG，如图：
在▱ABCD中，∠ADB＝90°，
∴∠A＝∠ABD＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝45°，∠CDF＝135°，
∵DH＝DE，∠FED＝∠ADG，DG＝EF，
∴△DHG≌△EDF（SAS），
∴∠DHG＝∠EDF＝135°，DF＝HG，
∴∠AHG＝45°，
∴∠AGH＝90°，
∴AG＝GH＝DF，
故答案为：AG＝DF；
（2）AD＝2DF+DE，理由如下：
过点G作GM⊥AB交AD于点M，如图：
当 时，，
∴∠A＝30°，∠CDB＝∠DBA＝60°，
∴∠DMG＝120°，∠FDE＝120°，
∴∠FDE＝∠DMG，
∵∠FED＝∠ADG，
∴△DMG∽△EDF，
∴＝，
∴，，
∵∠A＝30°，
∴，
∵AD＝AM+DM，
∴；
（3）过点E作EN⊥BD于N，如图：
∵，；
∴DB＝2DF+DE，
设DE＝x，
∵点G是AB的中点，∠ADB＝90°，
∴AG＝DG＝BG，
∴∠ADG＝30°，
∴∠FED＝30°，
∴∠DFE＝∠CDB﹣∠FED＝30°＝∠FED，
∴DE＝DF＝x，
∴DB＝2DF+DE＝3x，
∵∠BDE＝∠ABD＝60°，
∴∠DEN＝30°，
∴DN＝DE＝x，EN＝DN＝x，
∴，
∴tan∠EBF＝＝＝．
【点评】本题考查相似三角形综合应用，涉及锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，含特殊角的直角三角形三边关系等知识．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
八、解答题（本题满分14分）
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可得出B的坐标，于是设抛物线的交点式解析式，代入点C坐标求得二次项系数，进而得出结果；
（2）可证明△OCD∽△BDE，从而，进而得出BE＝6，从而得出B（5，﹣6），进而得出CE的解析式，作PT⊥x轴，交直线CE于点T，设P（m，﹣），表示出T（m，﹣m﹣1），从而表示出PT的长，根据△PQT∽△BQE得出，从而求得m的值，进一步得出结果；
（3）先推出∠DEF＝45°，分为当点F在BP上时，方法一：直线EF，交y轴于点G，作GH⊥CE于点H，根据直线CE的解析式为：y＝﹣x﹣1可推出∠ECF＝∠BEC＝45°，进而得出∠DEF＝∠BEC，进而得出，设GH＝t，EH＝3t，可得出t+3t＝5，求得x的值，进而得出G（0，﹣），从而得出直线EG的解析式为：y＝﹣x﹣，和直线PB的解析式为：y＝﹣4联立成方程组，进而求得F点坐标；
方法二：作ER⊥y轴于点R，可推出∠REF+∠BED＝45°，根据tan∠BED＝得出tan∠REF＝，从而得出直线EF的解析式为：y＝﹣x﹣；当点F在PB的延长线上时，设EF交x轴于点W，同理得出tan∠BEF＝＝，从而得出BW＝BE＝3，求得OW＝8，进而得出直线EF的解析式为：y＝2x﹣16，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得：B（5，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点C（0，﹣1），
∴﹣1＝a•（﹣1）×（﹣5），
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣5）＝﹣；
（2）如图1，
∵直线l⊥x轴，DE⊥CD，
∴∠COD＝∠CDE＝∠EBD＝90°，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠ODC+∠BDE＝90°，
∴∠OCD＝∠BDE，
∴△OCD∽△BDE，
∴，
∵OC＝1，OD＝3，BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2，
∴，
∴BE＝6，
∴B（5，﹣6），
设CE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+1，
作PT⊥x轴，交直线CE于点T，设P（m，﹣），
∴T（m，﹣m﹣1），PT∥BE，
∴PT＝（﹣m﹣1）﹣（﹣）＝，△PQT∽△BQE，
∴，
∴，
∴m1＝﹣3，m2＝14（舍去），
当m＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3﹣1）×（﹣3﹣5）＝﹣，
∴P（﹣3，﹣）；
（3）存在F点满足∠DEF＝∠ACD+∠BED，理由如下：
由（2）知：△OCD∽△BDE，
∴∠BED＝∠CDO，
∴∠ACD+∠BED＝∠ACD+∠CDO＝∠OAC，
∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝45°，
∵∠DEF＝∠ACD+∠BED，
∴∠DEF＝45°，
如图2，
当点F在BP上时，
方法一：直线EF，交y轴于点G，作GH⊥CE于点H，
∵直线CE的解析式为：y＝﹣x﹣1，
∴∠ECF＝∠BEC＝45°，
∴∠DEF＝∠BEC，
∴∠FEQ＝∠BED，
∴tan∠FEQ＝tan∠BED＝，
∴，
∴设GH＝t，EH＝3t，
∴CH＝GH＝t，
∵C（0，﹣1），E（5，﹣6），
∴CE＝5，
∴t+3t＝5，
∴t＝，
∴CG＝GH＝＝，
∴OG＝1+＝，
∴G（0，﹣），
∴直线EG的解析式为：y＝﹣x﹣，
∵P（﹣3，﹣），B（5，0），
∴直线PB的解析式为：y＝﹣4，
由得，
，
∴F1（），
方法二：如图3，
作ER⊥y轴于点R，
∵∠DEF＝45°，∠BER＝90°，
∴∠REF+∠BED＝45°，
∵tan∠BED＝，
∴tan∠REF＝，
又E（5，﹣6），
∴直线EF的解析式为：y＝﹣x﹣，
后面步骤同上，
如图4，
当点F在PB的延长线上时，设EF交x轴于点W，
∵∠DEF＝45°，tan∠BED＝，
∴tan∠BEF＝＝，
∴BW＝BE＝3，
∴W（8，0），
∴直线EF的解析式为：y＝2x﹣16，
由2x﹣16＝得：x＝10，
当x＝10时，y＝2×10﹣16＝4，
∴F2（10，4），
综上所述：F（，﹣）或（10，4）．
【点评】本题是函数的综合题，考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是转化为解直角三角形问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/19 11:11:36；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557
2023年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．﹣
2．（3分）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（+）+（﹣）＝；④﹣3÷（﹣）＝9，其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠BAC＝100°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．40° C．35° D．45°
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4 D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
6．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷．根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点M（3，﹣4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是 ．
13．（3分）某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示：
时间/小时
7
8
9
10
人数
4
12
13
6
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是 小时．
14．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣12＝0的一个根是3，则此方程的另一个根是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则＝ ．
三、解答题（17小题8分，18小题12分，共20分）
17．（8分）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m＝+tan45°．
18．（12分）某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成了不完整统计图表．
学生周末家务劳动时长分组表
组别
A
B
C
D
t（小时）
t＜0.5
0.5≤t＜1
1≤t＜1.5
t≥1.5
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 名学生，条形统计图中的a＝ ，D组所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？
（3）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
20．（10分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）
21．（10分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程．（参考数据：≈1.41，≈2.45）
22．（12分）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
六、解答题（本题满分12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝3，cosC＝，求BF的长．
七、解答题（本题满分14分）
24．（14分）在▱ABCD中，∠ADB＝90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG，∠FED＝∠ADG，＝＝k．
（1）如图1，当k＝1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系 ；
（2）如图2，当k＝时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值．
八、解答题（本题满分14分）
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2023年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．﹣
【分析】正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣的绝对值是，
故选：B．
【点评】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义．
2．（3分）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】仔细观察图形找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得底层有3个正方形，上层中间有一个正方形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．（3分）有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（+）+（﹣）＝；④﹣3÷（﹣）＝9，其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据有理数的混合运算法则，有理数的乘方等运算法则进行逐项分析计算即可．
【解答】解：①（﹣5）+（+3）＝﹣2，原来的计算错误；
②﹣（﹣2）3＝8，原来的计算错误；
③，原来的计算正确；
④，原来的计算正确．
正确的有2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，有理数的加法、除法等运算法则，关键在于正确的进行计算．
4．（3分）如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠BAC＝100°，则∠C的度数是（ ）
A．50° B．40° C．35° D．45°
【分析】由邻补角的性质得到∠EAC＝180°﹣∠BAC＝80°，由角平分线定义，得到∠DAC＝40°，由平行线的性质得到∠C＝∠DAC＝40°．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，
∴∠EAC＝180°﹣∠BAC＝80°，
∵AD是∠EAC的平分线，
∴∠DAC＝∠EAC＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质得到∠C＝∠DAC．
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．a3•a3＝2a3 B．8a2﹣5a2＝3a2
C．a8÷a2＝a4 D．（﹣3a2）3＝﹣9a6
【分析】根据同类项、合并同类项法则以及同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
【解答】解：A．a3•a3＝a3+3＝a6，因此选项A不符合题意；
B．8a2﹣5a2＝3a2，因此选项B符合题意；
C．a8÷a2＝a8﹣2＝a6，因此选项C不符合题意；
D．（﹣3a2）3＝﹣27a6，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握合并同类项法则，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方的计算方法是正确解答的前提．
6．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、四边形内角和是360°，是必然事件，故A符合题意；
B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式组的解集为：1＜x≤3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
8．（3分）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷．根据题意，可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，
∴2（2x+5y）＝3.6；
∵3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，
∴5（3x+2y）＝8．
∴根据题意可列方程组．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（3分）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD＝30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．50° B．40° C．70° D．60°
【分析】根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠ABD＝90°，进而求出∠ADB，再根据圆周角定理即可得出答案．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”以及“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”是正确解答的前提．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的对称性即可求得对称轴，即可判断②；根据抛物线开口方向、对称轴，与y轴的交点即可判断出①；根据图象即可判断③④；根据函数的最值即可判断出⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴对称轴为直线x＝＝﹣1，故②正确；
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵与y轴的交点在正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知，当﹣3＜x＜0时，y＞0，
∴当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0，故③正确；
由图象可知，当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值，
∴当m为任意实数时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③⑤共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为 x≥﹣ ．
【分析】二次根式有意义的条件是：二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
1+3x≥0，
解得，x≥﹣；
故答案是：x≥﹣．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点M（3，﹣4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是 （﹣2，﹣4） ．
【分析】根据平移规律即可得到点M′的坐标．
【解答】解：将点M（3，﹣4）向左平移5个单位长度，得到点M′，则点M′的坐标是（3﹣5，﹣4），即（﹣2，﹣4）．
故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
13．（3分）某班35名同学一周课外阅读时间统计如表所示：
时间/小时
7
8
9
10
人数
4
12
13
6
则该班35名同学一周课外阅读时间的众数是 9 小时．
【分析】根据众数的定义解答即可．
【解答】解：在该班35名同学一周课外阅读时间中，9小时出现的次数最多，
所以众数是9小时．
故答案为：9．
【点评】本题考查了众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
14．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣12＝0的一个根是3，则此方程的另一个根是 ﹣4 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，两根积，即可求出另一根．
【解答】解：设一元二次方程的另一根为x＝a，
则根据一元二次方程根与系数的关系得3a＝﹣12，
解得a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．（3分）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝ 4 ．
【分析】由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，求出CE＝DE＝3，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，
∵CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
∵CA＝5，
∴AE＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则＝ ．
【分析】连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，由旋转的性质可得AC＝CD，∠ACD＝60°，得到△ACD为等边三角形，由等边三角形三线合一可知AG＝CG＝，再设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，易得DG＝，△ABE∽△GDE，由相似三角形的性质可得，即AE＝GE，由AE+GE＝AG＝a可求出GE＝，AE＝，利用勾股定理求出DE，以此即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，过点D作DG⊥AC于点G，
∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，
∴AC＝CD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵DG⊥AC，
∴AG＝CG＝，
设AB＝AC＝2a，则AC＝AD＝CD＝2a，AG＝CG＝a，
在Rt△ADG中，DG＝＝，
∵∠BAE＝∠DGE＝90°，∠AEB＝∠GED，
∴△ABE∽△GDE，
∴，即，
∴AE＝GE，
∵AE+GE＝AG＝a，
∴GE+GE＝a，
解得：GE＝，
∴AE＝，
在Rt△DGE中，DE＝＝，
∴＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题．
三、解答题（17小题8分，18小题12分，共20分）
17．（8分）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m＝+tan45°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（m+2+）•
＝•
＝•
＝•
＝﹣2（3+m）
＝﹣6﹣2m，
当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（12分）某校在评选“劳动小能手”活动中，随机调查了部分学生的周末家务劳动时间，根据调查结果，将劳动时长划分为A，B，C，D四个组别，并绘制成了不完整统计图表．
学生周末家务劳动时长分组表
组别
A
B
C
D
t（小时）
t＜0.5
0.5≤t＜1
1≤t＜1.5
t≥1.5
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 50 名学生，条形统计图中的a＝ 9 ，D组所在扇形的圆心角的度数是 108° ；
（2）已知该校有900名学生，根据调查结果，请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？
（3）班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中，随机抽取两名学生参加“我劳动，我快乐”的主题演讲活动，请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．
【分析】（1）由C组的人数除以所占百分比得出这次抽样调查共抽取的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校共有学生人数乘以周末家务劳动时长不低于1小时的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次抽样调查共抽取的学生人数为：22÷44%＝50（名），
∴A组的人数为：50×8%＝4（名），
∴条形统计图中的a＝50﹣4﹣22﹣15＝9，
D组所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝108°，
故答案为：50，9，108°；
（2）900×＝666（人），
答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中两名男生的结果有6种，
∴恰好选中两名男生的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的长为4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
20．（10分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出OB，进而求出点A坐标，最后用待定系数法即可求出k；
（2）过A作AF⊥x轴于F，求出点D坐标，进而求出直线AC的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点C的坐标，即可求出OC．
【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，
∴∠OBA＝90°，
在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝，
∴OB＝4，
∴A（2，4），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×2＝8；
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADO＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，
∴AF＝DF＝OB＝8，
∵OF＝AB＝2，
∴OD＝10，
∴D（10，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵点A（2，4），D（10，0）在直线AC上，
∴
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+5①，
由（1）知，反比例函数的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴C（8，1）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方程组，作出辅助线求出直线AC的解析式是解（2）的关键．
五、解答题（21小题10分，22小题12分，共22分）
21．（10分）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程．（参考数据：≈1.41，≈2.45）
【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，根据题意可得：∠ACD＝25°，∠BCD＝55°，∠FAB＝20°，AB＝1000米，CD∥FA，从而可得∠CAF＝∠ACD＝25°，进而可得∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，再在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出CE和BC的长，从而求出AC的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BE⊥AC，垂足为E，
由题意得：∠ACD＝25°，∠BCD＝55°，∠FAB＝20°，AB＝1000米，CD∥FA，
∴∠CAF＝∠ACD＝25°，
∴∠BAC＝∠FAB+∠CAF＝45°，∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝AB•cos45°＝1000×＝500（米），
BE＝AB•sin45°＝1000×＝500（米），
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，
∴BC＝2BE＝1000（米），CE＝BE＝500（米），
∴AC＝AE+CE＝（500+500）米，
∴AC﹣BC＝500+500﹣1000＝500﹣500≈520（米），
∴甲组同学比乙组同学大约多走520米的路程．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（12分）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同，当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销，该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
（1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
（2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是m元，根据今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同得：＝，解方程并检验可得今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
（2）设消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为w元，根据每瓶利润乘销售量等于总利润可得w＝（x﹣24）[600+100（36﹣x）]＝﹣100x2+6600x﹣100800，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是m元，
根据题意得：＝，
解得m＝24，
经检验，m＝24是原方程的解，也符合题意，
∴今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
（2）设消毒洗衣液每瓶的售价为x元，每周的销售利润为w元，
根据题意得w＝（x﹣24）[600+100（36﹣x）]＝﹣100x2+6600x﹣100800＝﹣100（x﹣33）2+8100，
∵﹣100＜0，
∴当x＝33时，w取最小值8100，
∴当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【点评】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数解析式．
六、解答题（本题满分12分）
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝3，cosC＝，求BF的长．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，勾股定理以及相似三角形的性质可求出圆的半径，再根据相似三角形的性质可求出BF．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD，
∵AB＝BC，
∴AD＝CD，
又∵OB＝OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵FD⊥AB，
∴FD⊥OD，
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：由于cosC＝＝，可设CD＝4x，则BC＝5x，
∴BD＝＝3x，
∵AB＝BC，BD⊥AC，
∴∠DBE＝∠CBD，
∵∠BED＝∠BDC＝90°，
∴△BED∽△BDC，
∴＝，
即，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
∴BC＝5x＝，
∴OD＝BC＝，
∵OD∥BE，
∴△FEB∽△FDO，
∴＝，
即＝，
解得FB＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
七、解答题（本题满分14分）
24．（14分）在▱ABCD中，∠ADB＝90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG，∠FED＝∠ADG，＝＝k．
（1）如图1，当k＝1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系 AG＝DF ；
（2）如图2，当k＝时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值．
【分析】（1）当k＝1时，AD＝BD，DG＝EF，在AD上截取DH＝DE，连接HG，证明△DHG≌△EDF（SAS），推出∠DHG＝∠EDF＝135°，DF＝HG，得到AG＝GH＝DF；
（2）当＝ 时，得到∠A＝30°，∠CDB＝∠DBA＝60°，过点G作GM⊥AB交AD于点M，证明△DMG∽△EDF，推出 ，得到 ，，由此得到 ，进而推出 ；
（3）由（2）得DB＝2DF+DE，设DE＝x，由点G是AB的中点，得到∠ADG＝30°，推出DE＝DF＝x，DB＝3x，过 E作EN⊥BD于N，根据 30° 角的性质及勾股定理求出 ，，即可得到 ，根据三角函数定义即可得到答案．
【解答】解：（1）当 k＝1时，AD＝BD，DG＝EF，在AD上截取DH＝DE，连接HG，如图：
在▱ABCD中，∠ADB＝90°，
∴∠A＝∠ABD＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝45°，∠CDF＝135°，
∵DH＝DE，∠FED＝∠ADG，DG＝EF，
∴△DHG≌△EDF（SAS），
∴∠DHG＝∠EDF＝135°，DF＝HG，
∴∠AHG＝45°，
∴∠AGH＝90°，
∴AG＝GH＝DF，
故答案为：AG＝DF；
（2）AD＝2DF+DE，理由如下：
过点G作GM⊥AB交AD于点M，如图：
当 时，，
∴∠A＝30°，∠CDB＝∠DBA＝60°，
∴∠DMG＝120°，∠FDE＝120°，
∴∠FDE＝∠DMG，
∵∠FED＝∠ADG，
∴△DMG∽△EDF，
∴＝，
∴，，
∵∠A＝30°，
∴，
∵AD＝AM+DM，
∴；
（3）过点E作EN⊥BD于N，如图：
∵，；
∴DB＝2DF+DE，
设DE＝x，
∵点G是AB的中点，∠ADB＝90°，
∴AG＝DG＝BG，
∴∠ADG＝30°，
∴∠FED＝30°，
∴∠DFE＝∠CDB﹣∠FED＝30°＝∠FED，
∴DE＝DF＝x，
∴DB＝2DF+DE＝3x，
∵∠BDE＝∠ABD＝60°，
∴∠DEN＝30°，
∴DN＝DE＝x，EN＝DN＝x，
∴，
∴tan∠EBF＝＝＝．
【点评】本题考查相似三角形综合应用，涉及锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，含特殊角的直角三角形三边关系等知识．解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
八、解答题（本题满分14分）
25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可得出B的坐标，于是设抛物线的交点式解析式，代入点C坐标求得二次项系数，进而得出结果；
（2）可证明△OCD∽△BDE，从而，进而得出BE＝6，从而得出B（5，﹣6），进而得出CE的解析式，作PT⊥x轴，交直线CE于点T，设P（m，﹣），表示出T（m，﹣m﹣1），从而表示出PT的长，根据△PQT∽△BQE得出，从而求得m的值，进一步得出结果；
（3）先推出∠DEF＝45°，分为当点F在BP上时，方法一：直线EF，交y轴于点G，作GH⊥CE于点H，根据直线CE的解析式为：y＝﹣x﹣1可推出∠ECF＝∠BEC＝45°，进而得出∠DEF＝∠BEC，进而得出，设GH＝t，EH＝3t，可得出t+3t＝5，求得x的值，进而得出G（0，﹣），从而得出直线EG的解析式为：y＝﹣x﹣，和直线PB的解析式为：y＝﹣4联立成方程组，进而求得F点坐标；
方法二：作ER⊥y轴于点R，可推出∠REF+∠BED＝45°，根据tan∠BED＝得出tan∠REF＝，从而得出直线EF的解析式为：y＝﹣x﹣；当点F在PB的延长线上时，设EF交x轴于点W，同理得出tan∠BEF＝＝，从而得出BW＝BE＝3，求得OW＝8，进而得出直线EF的解析式为：y＝2x﹣16，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得：B（5，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点C（0，﹣1），
∴﹣1＝a•（﹣1）×（﹣5），
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣5）＝﹣；
（2）如图1，
∵直线l⊥x轴，DE⊥CD，
∴∠COD＝∠CDE＝∠EBD＝90°，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠ODC+∠BDE＝90°，
∴∠OCD＝∠BDE，
∴△OCD∽△BDE，
∴，
∵OC＝1，OD＝3，BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2，
∴，
∴BE＝6，
∴B（5，﹣6），
设CE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+1，
作PT⊥x轴，交直线CE于点T，设P（m，﹣），
∴T（m，﹣m﹣1），PT∥BE，
∴PT＝（﹣m﹣1）﹣（﹣）＝，△PQT∽△BQE，
∴，
∴，
∴m1＝﹣3，m2＝14（舍去），
当m＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3﹣1）×（﹣3﹣5）＝﹣，
∴P（﹣3，﹣）；
（3）存在F点满足∠DEF＝∠ACD+∠BED，理由如下：
由（2）知：△OCD∽△BDE，
∴∠BED＝∠CDO，
∴∠ACD+∠BED＝∠ACD+∠CDO＝∠OAC，
∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝45°，
∵∠DEF＝∠ACD+∠BED，
∴∠DEF＝45°，
如图2，
当点F在BP上时，
方法一：直线EF，交y轴于点G，作GH⊥CE于点H，
∵直线CE的解析式为：y＝﹣x﹣1，
∴∠ECF＝∠BEC＝45°，
∴∠DEF＝∠BEC，
∴∠FEQ＝∠BED，
∴tan∠FEQ＝tan∠BED＝，
∴，
∴设GH＝t，EH＝3t，
∴CH＝GH＝t，
∵C（0，﹣1），E（5，﹣6），
∴CE＝5，
∴t+3t＝5，
∴t＝，
∴CG＝GH＝＝，
∴OG＝1+＝，
∴G（0，﹣），
∴直线EG的解析式为：y＝﹣x﹣，
∵P（﹣3，﹣），B（5，0），
∴直线PB的解析式为：y＝﹣4，
由得，
，
∴F1（），
方法二：如图3，
作ER⊥y轴于点R，
∵∠DEF＝45°，∠BER＝90°，
∴∠REF+∠BED＝45°，
∵tan∠BED＝，
∴tan∠REF＝，
又E（5，﹣6），
∴直线EF的解析式为：y＝﹣x﹣，
后面步骤同上，
如图4，
当点F在PB的延长线上时，设EF交x轴于点W，
∵∠DEF＝45°，tan∠BED＝，
∴tan∠BEF＝＝，
∴BW＝BE＝3，
∴W（8，0），
∴直线EF的解析式为：y＝2x﹣16，
由2x﹣16＝得：x＝10，
当x＝10时，y＝2×10﹣16＝4，
∴F2（10，4），
综上所述：F（，﹣）或（10，4）．
【点评】本题是函数的综合题，考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是转化为解直角三角形问题．
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