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2020年辽宁省营口市中考数学试卷
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这是一份2020年辽宁省营口市中考数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空題，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2020•营口）﹣6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．16 D．-16
2．（3分）（2020•营口）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2020•营口）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．xy2-14xy2=34xy2
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4
4．（3分）（2020•营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为
（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
5．（3分）（2020•营口）反比例函数y=1x（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（ ）
A．35 B．23 C．45 D．32
7．（3分）（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．160°
8．（3分）（2020•营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
9．（3分）（2020•营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
10．（3分）（2020•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则k的值为（ ）
A．3 B．52 C．2 D．1
二、填空題（每小题3分，共24分）
11．（3分）（2020•营口）ax2﹣2axy+ay2＝ ．
12．（3分）（2020•营口）长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 ．
13．（3分）（2020•营口）（32+6）（32-6）＝ ．
14．（3分）（2020•营口）从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 ．
15．（3分）（2020•营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 ．
16．（3分）（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
17．（3分）（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．
18．（3分）（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为 ．
三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）（2020•营口）先化简，再求值：（4-xx-1-x）÷x-2x-1，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
20．（10分）（2020•营口）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）
21．（12分）（2020•营口）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 ；
（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
22．（12分）（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：3≈1.73）
五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
23．（12分）（2020•营口）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA=34，AD＝2，求BO的长．
24．（12分）（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
六、解答题（本题满分14分）
25．（14分）（2020•营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
七、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
2020年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2020•营口）﹣6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．16 D．-16
【解答】解：|﹣6|＝6，
故选：A．
2．（3分）（2020•营口）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看易得俯视图：
．
故选：C．
3．（3分）（2020•营口）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．xy2-14xy2=34xy2
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4
【解答】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、xy2-14xy2=34xy2，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（2xy2）2＝4xy4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）（2020•营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为
（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
5．（3分）（2020•营口）反比例函数y=1x（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵反比例函数y=1x（x＜0）中，k＝1＞0，
∴该函数图象在第三象限，
故选：C．
6．（3分）（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（ ）
A．35 B．23 C．45 D．32
【解答】解：∵DE∥AB，
∴CEAE=CDBD=32，
∴CECA的值为35，
故选：A．
7．（3分）（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．160°
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
8．（3分）（2020•营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
故选：D．
9．（3分）（2020•营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
10．（3分）（2020•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则k的值为（ ）
A．3 B．52 C．2 D．1
【解答】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），
∵点C为斜边OB的中点，
∴C（m2，m2），
∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点C，
∴k=m2•m2=m24，
∵∠OAB＝90°，
∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点D，
∴D的纵坐标为m4，
作CE⊥x轴于E，
∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD=32，
∴12（AD+CE）•AE=32，即12（m4+m2）•（m-12m）=32，
∴m28=1，
∴k=m24=2，
故选：C．
二、填空題（每小题3分，共24分）
11．（3分）（2020•营口）ax2﹣2axy+ay2＝ a（x﹣y）2 ．
【解答】解：ax2﹣2axy+ay2
＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
12．（3分）（2020•营口）长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 1.8×106 ．
【解答】解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×106，
故答案为：1.8×106．
13．（3分）（2020•营口）（32+6）（32-6）＝ 12 ．
【解答】解：原式＝（32）2﹣（6）2
＝18﹣6
＝12．
故答案为：12．
14．（3分）（2020•营口）从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 丙 ．
【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴丙选手的成绩更加稳定，
∴适合参加比赛的选手是丙，
故答案为：丙．
15．（3分）（2020•营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 15π ．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案为：15π
16．（3分）（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 4 ．
【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为12×2×4＝4．
故答案为：4．
17．（3分）（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 33 ．
【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF=12AB=12×6＝3，
∴CF=BC2-BF2=62-32=33，
∴CE+EF的最小值为33，
故答案为：33．
18．（3分）（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为 3（1+3）2019 ．
【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°=3，
∵A1B1∥A2B2，
∴A2B2A1B1=OA2OA1，
∴A2B23=1+31，
∴A2B2=3（1+3），
同法可得，A3B3=3（1+3）2，
…
由此规律可知，A2020B2020=3（1+3）2019，
故答案为3（1+3）2019．
三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）（2020•营口）先化简，再求值：（4-xx-1-x）÷x-2x-1，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
【解答】解：原式=4-x-x2+xx-1•x-1x-2
=(2-x)(2+x)x-1•x-1x-2
＝﹣2﹣x．
∵x≠1，x≠2，
∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0．
当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
20．（10分）（2020•营口）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 14 ；
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率=14；
故答案为：14；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率=416=14．
四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）
21．（12分）（2020•营口）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 18° ；
（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
【解答】解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人），
C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人），
补全的条形统计图，如右图所示；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×10200=18°，
故答案为：18°；
（3）2500×30%＝750（人），
答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人．
22．（12分）（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：3≈1.73）
【解答】 解：没有触礁的危险；
理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，
由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝12，
在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×32=63，
∵AN＝63≈10.38＞10，
∴没有危险．
五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
23．（12分）（2020•营口）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA=34，AD＝2，求BO的长．
【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH为⊙O的半径，
∵OH⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOH中，∵tanA=34，
∴OHAH=34，
∴3xAH=34，
∴AH＝4x，
∴AO=OH2+AH2=(3x)2+(4x)2=5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，∵tanA=BCAC，
∴BC＝AC•tanA＝8×34=6，
∴OB=OC2+BC2=32+62=35．
24．（12分）（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×20-x0.5，
∴y＝﹣40x+880；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元．
六、解答题（本题满分14分）
25．（14分）（2020•营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 AF＝AE ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
【解答】解：（1）AE＝AF．
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE．
（2）AF＝kAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴ABAD=AEAF，
∵AD＝kAB，
∴ABAD=1k，
∴AEAF=1k，
∴AF＝kAE．
（3）解：①如图1，当点F在DA上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF=AD2+DF2=42+12=17，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴GFGA=DFBA=12，
∵AF＝GF+AG，
∴AG=23AF=2317．
∵△ABE∽△ADF，
∴AEAF=ABAD=24=12，
∴AE=12AF=12×17=172．
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG=AE2+AG2=(172)2+(2173)2=5176，
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF=AD2+DF2=42+32=5．
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴AGFG=ABFD=23，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴AEAF=ABAD=24=12，
∴AE=12AF=12×5=52，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG=AE2+AG2=(52)2+22=412．
综上所述，EG的长为5176或412．
七、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；
tan∠BCO=13，则cos∠BCO=210；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠PAB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠PAB＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×210=32+12，
解得：CH=53，则OH＝3﹣CH=43，故点H（0，-43），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=43x-43②，
联立①②并解得：x=-5y=-8，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO=13，
故设直线AP的表达式为：y=13x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y=13x+1，
联立①③并解得：x=43y=139，故点N（43，139）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m-43）2+（139）2④，
联立③④并解得：m=-29n=-109，
故点M（-43，-359）．
2020年辽宁省营口市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2020•营口）﹣6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．16 D．-16
2．（3分）（2020•营口）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2020•营口）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．xy2-14xy2=34xy2
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4
4．（3分）（2020•营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为
（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
5．（3分）（2020•营口）反比例函数y=1x（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（ ）
A．35 B．23 C．45 D．32
7．（3分）（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．160°
8．（3分）（2020•营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
9．（3分）（2020•营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
10．（3分）（2020•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则k的值为（ ）
A．3 B．52 C．2 D．1
二、填空題（每小题3分，共24分）
11．（3分）（2020•营口）ax2﹣2axy+ay2＝ ．
12．（3分）（2020•营口）长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 ．
13．（3分）（2020•营口）（32+6）（32-6）＝ ．
14．（3分）（2020•营口）从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 ．
15．（3分）（2020•营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 ．
16．（3分）（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
17．（3分）（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．
18．（3分）（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为 ．
三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）（2020•营口）先化简，再求值：（4-xx-1-x）÷x-2x-1，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
20．（10分）（2020•营口）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）
21．（12分）（2020•营口）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 ；
（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
22．（12分）（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：3≈1.73）
五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
23．（12分）（2020•营口）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA=34，AD＝2，求BO的长．
24．（12分）（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
六、解答题（本题满分14分）
25．（14分）（2020•营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
七、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
2020年辽宁省营口市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2020•营口）﹣6的绝对值是（ ）
A．6 B．﹣6 C．16 D．-16
【解答】解：|﹣6|＝6，
故选：A．
2．（3分）（2020•营口）如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上面看易得俯视图：
．
故选：C．
3．（3分）（2020•营口）下列计算正确的是（ ）
A．x2•x3＝x6 B．xy2-14xy2=34xy2
C．（x+y）2＝x2+y2 D．（2xy2）2＝4xy4
【解答】解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、xy2-14xy2=34xy2，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（2xy2）2＝4xy4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）（2020•营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为
（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
5．（3分）（2020•营口）反比例函数y=1x（x＜0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵反比例函数y=1x（x＜0）中，k＝1＞0，
∴该函数图象在第三象限，
故选：C．
6．（3分）（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD=32，则CECA的值为（ ）
A．35 B．23 C．45 D．32
【解答】解：∵DE∥AB，
∴CEAE=CDBD=32，
∴CECA的值为35，
故选：A．
7．（3分）（2020•营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110° B．130° C．140° D．160°
【解答】解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
8．（3分）（2020•营口）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【解答】解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
故选：D．
9．（3分）（2020•营口）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
10．（3分）（2020•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则k的值为（ ）
A．3 B．52 C．2 D．1
【解答】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0），
∵点C为斜边OB的中点，
∴C（m2，m2），
∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点C，
∴k=m2•m2=m24，
∵∠OAB＝90°，
∴D的横坐标为m，
∵反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象过点D，
∴D的纵坐标为m4，
作CE⊥x轴于E，
∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD=32，
∴12（AD+CE）•AE=32，即12（m4+m2）•（m-12m）=32，
∴m28=1，
∴k=m24=2，
故选：C．
二、填空題（每小题3分，共24分）
11．（3分）（2020•营口）ax2﹣2axy+ay2＝ a（x﹣y）2 ．
【解答】解：ax2﹣2axy+ay2
＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
12．（3分）（2020•营口）长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 1.8×106 ．
【解答】解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×106，
故答案为：1.8×106．
13．（3分）（2020•营口）（32+6）（32-6）＝ 12 ．
【解答】解：原式＝（32）2﹣（6）2
＝18﹣6
＝12．
故答案为：12．
14．（3分）（2020•营口）从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 丙 ．
【解答】解：∵平均成绩都是87.9分，S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2，
∴丙选手的成绩更加稳定，
∴适合参加比赛的选手是丙，
故答案为：丙．
15．（3分）（2020•营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 15π ．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴母线长为5，
∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π，
故答案为：15π
16．（3分）（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为 4 ．
【解答】解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为12×2×4＝4．
故答案为：4．
17．（3分）（2020•营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 33 ．
【解答】解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF=12AB=12×6＝3，
∴CF=BC2-BF2=62-32=33，
∴CE+EF的最小值为33，
故答案为：33．
18．（3分）（2020•营口）如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为 3（1+3）2019 ．
【解答】解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°=3，
∵A1B1∥A2B2，
∴A2B2A1B1=OA2OA1，
∴A2B23=1+31，
∴A2B2=3（1+3），
同法可得，A3B3=3（1+3）2，
…
由此规律可知，A2020B2020=3（1+3）2019，
故答案为3（1+3）2019．
三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）
19．（10分）（2020•营口）先化简，再求值：（4-xx-1-x）÷x-2x-1，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入求值．
【解答】解：原式=4-x-x2+xx-1•x-1x-2
=(2-x)(2+x)x-1•x-1x-2
＝﹣2﹣x．
∵x≠1，x≠2，
∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0．
当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．
20．（10分）（2020•营口）随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 14 ；
（2）用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【解答】解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率=14；
故答案为：14；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率=416=14．
四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）
21．（12分）（2020•营口）“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 18° ；
（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．
【解答】解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人），
C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人），
补全的条形统计图，如右图所示；
（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×10200=18°，
故答案为：18°；
（3）2500×30%＝750（人），
答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人．
22．（12分）（2020•营口）如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：3≈1.73）
【解答】 解：没有触礁的危险；
理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，
由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝12，
在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×32=63，
∵AN＝63≈10.38＞10，
∴没有危险．
五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）
23．（12分）（2020•营口）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tanA=34，AD＝2，求BO的长．
【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥BC，
∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，
∴OH＝OC，
即OH为⊙O的半径，
∵OH⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，
在Rt△AOH中，∵tanA=34，
∴OHAH=34，
∴3xAH=34，
∴AH＝4x，
∴AO=OH2+AH2=(3x)2+(4x)2=5x，
∵AD＝2，
∴AO＝OD+AD＝3x+2，
∴3x+2＝5x，
∴x＝1，
∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，
∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，∵tanA=BCAC，
∴BC＝AC•tanA＝8×34=6，
∴OB=OC2+BC2=32+62=35．
24．（12分）（2020•营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．
（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×20-x0.5，
∴y＝﹣40x+880；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元．
六、解答题（本题满分14分）
25．（14分）（2020•营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 AF＝AE ；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．
【解答】解：（1）AE＝AF．
∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∴△EAB≌△FAD（AAS），
∴AF＝AE；
故答案为：AF＝AE．
（2）AF＝kAE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．
∴△ABE∽△ADF，
∴ABAD=AEAF，
∵AD＝kAB，
∴ABAD=1k，
∴AEAF=1k，
∴AF＝kAE．
（3）解：①如图1，当点F在DA上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF=AD2+DF2=42+12=17，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴GFGA=DFBA=12，
∵AF＝GF+AG，
∴AG=23AF=2317．
∵△ABE∽△ADF，
∴AEAF=ABAD=24=12，
∴AE=12AF=12×17=172．
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG=AE2+AG2=(172)2+(2173)2=5176，
②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF=AD2+DF2=42+32=5．
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴AGFG=ABFD=23，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴AEAF=ABAD=24=12，
∴AE=12AF=12×5=52，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG=AE2+AG2=(52)2+22=412．
综上所述，EG的长为5176或412．
七、解答题（本题满分14分）
26．（14分）（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；
tan∠BCO=13，则cos∠BCO=210；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠PAB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠PAB＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×210=32+12，
解得：CH=53，则OH＝3﹣CH=43，故点H（0，-43），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=43x-43②，
联立①②并解得：x=-5y=-8，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO=13，
故设直线AP的表达式为：y=13x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y=13x+1，
联立①③并解得：x=43y=139，故点N（43，139）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m-43）2+（139）2④，
联立③④并解得：m=-29n=-109，
故点M（-43，-359）．
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