专题2.42 几何模型专题（隐形圆问题）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

这是一份专题2.42 几何模型专题（隐形圆问题）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版），共44页。

专题2.42 几何模型专题（隐形圆问题）
一、单选题
1．如图，以直角三角形的斜边为边在三角形的同侧作正方形，正方形的对角线，相交于点，连接，如果，，则正方形的面积为（    ）
  
A．20 B．22 C．24 D．26
2．如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交于点D，连接AC，AD，有下列结论：
①AD=CD；
②∠ACD的大小随着α的变化而变化；
③当α=30°时，四边形OADC为菱形；
④ACD面积的最大值为a2；
其中正确的是（　　）（把你认为正确结论的序号都填上）

A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①②④
3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，I是Rt△ABC的内心，连接CI，AI，则△CIA外接圆的半径为（）

A． B． C． D．
4．如图，线段AB＝6，点C为线段AB外一动点，，连接BC，M，N分别为AB，BC的中点，则线段MN的最大值为（　　）

A．3 B．4 C．3 D．3+
5．如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（    ）

A． B． C． D．
6．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　　）

A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3
7．如图，将绕点逆时针旋转60°得到，连接．若，，则四边形面积的最小值是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是（  ）

A．6 B． C． D．7
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，已知点和直线m的函数表达式为，动点在A点的右边，过点B作x轴的垂线交直线m于点C，过点B作直线m的平行线交y轴于点D，当时，则x的值为 ．
    
10．在平面直角坐标系中，已知点，，轴，点在直线上，，点是轴上一动点，若，则点的坐标是 ．
11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为 ．

12．如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），B（0，4），M为AB边上的一动点，N（0，1），连接MN，将△ABO绕点O逆时针旋转一周，则MN的取值范围为 ．

13．已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD＝，∠BPD＝90°，则点A到BP的距离等于 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y＝－x＋3．点C是AO上一点且OC＝1，点D在线段BO上，分别连接BC，AD交于点E，若∠BED＝45°，则OD的长是 ．

15．如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，AB＝15，BC＝8，直线EF经过点O，分别与边CD，AB相交于点E，F（其中0＜DE＜）．现将四边形ADEF沿直线EF折叠得到四边形A′D′EF，点A，D的对应点分别为A′，D′，过D′作D′G⊥CD于点G，则线段D′G的长的最大值是 ，此时折痕EF的长为 ．

16．如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为 ．

17．如图，已知四边形ABCD是菱形，BC∥x轴，点B的坐标是（1，），坐标原点O是AB的中点.动圆⊙P的半径是，圆心在x轴上移动，若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则点P的横坐标m 的取值范围是 ．

18．在边长为6的正方形ABCD中，点E是射线BC上的动点（不与B，C重合），连结AE，将△ABE沿AE向右翻折得△AFE，连结CF和DF，若△DFC为等腰三角形，则BE的长为 ．

19．如图，已知，点分别在上，且，将射线绕点逆时针旋转得到，旋转角为，作点关于直线的对称点，画直线交于点，连接，，有下列结论：
①；                                     ②的大小随着的变化而变化；
③当时，四边形为菱形；             ④面积的最大值为；

其中正确的是 .（把你认为正确结论的序号都填上）.
三、解答题
20．如图1，⊙的直径的长为16，为半圆的中点，为劣弧上的一动点，和的延长线交于点，过点作的垂线交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则点的坐标为，设点的坐标为，若，是方程的两根，求的值．
（3）若，求的值．





21．我们给出定义：如果三角形存在两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．已知△ABC为“准互余三角形”，并且．
（1）如图①若且，求边BC的长；
（2）如图②，以边为直径作，交于点D，若，试求的面积．





22．【问题提出】
（1）如图①，在正方形中，点分别在边上，连接，延长到点，使，连接．若，则可证__________；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若，求面积的最小值；
【问题解决】
（3）如图②，是一条笔直的公路，村庄离公路的距离是5千米，现在要在公路上建两个快递转运点，且，为了节约成本，要使得之和最短，求的最小值．
  








23．问题提出
（1）如图，在四边形中，，图中已作出辅助线，请你按照这种思路，求出四边形的面积；
问题解决
（2） 如图，等腰是某公园的一块空地，，．园区管理员想要在这块空地内修建两条观光小路和（小路宽度不计，F在边上，H在边上），将其分成三个区域种植不同的花卉，且在边上的点E处修建一个凉亭．根据实际需要，，，并且要求四边形的面积尽可能大．请问，是否存在满足条件的四边形？若存在，求四边形的面积最大值；若不存在，请说明理由．






24．圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
（1）已知：如图1，，请利用圆规画出过三点的圆．若，则______．
（2）已知，如图2，中，．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点的对应点分别为点，求四边形的面积和的大小．
（3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由．






参考答案
1．D
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，过点A作于点F，证明是等腰直角三角形，求出，，证明点A、C、O、B四点共圆，得出，证明，得出点、、三点共线，根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得出正方形的边长为，最后求出正方形的面积即可．
解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，过点A作于点F，如图所示：
  
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵正方形的对角线，相交于点，
∴，
∵，
∴点A、C、O、B四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴点、、三点共线，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四点共圆，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正方形的性质．
2．B
【分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断；
②作⊙O，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判断；
④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断．
解：①∵A、C关于直线OM'对称，
∴OM'是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
故①正确；
②连接OC，
由①知：OM'是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
∴OA=OB=OC，
以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C都在⊙O上，
∵∠MON=120°，
∴∠BOE=60°，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACD=∠E=60°，
故②不正确；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，
由①得：CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴OC=OA=AD=CD，
∴四边形OADC为菱形；
故③正确；
④∵CD=AD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
当AC最大时，△ACD的面积最大，
∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，
∴△ACD面积的最大值是：AC2=，
故④正确，
所以本题结论正确的有：①③④
故答案为：①③④．选B

【点拨】本题是圆和图形变换的综合题，考查了轴对称的性质、四点共圆的性质、等边三角形的判定、菱形的判定、三角形面积及圆的有关性质，有难度，熟练掌握轴对称的性质是关键，是一道比较好的填空题的压轴题．
3．C
解：分析：过I作ID⊥AC于D，设△CIA的外接圆为⊙O，连接CO，IO，AO．
    由勾股定理得到AB的长．由公式直角三角形内切圆半径=（a+b-c）÷2，得到内切圆半径ID的长，由CD=ID，得到CD的长．以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，向右为正方向，CB所在直线为y轴，向上为正方向建立直角坐标系，则C（0，0），I（2，2）A（12，0）．设O（x，y），由OC=OI=OA，用两点间距离公式列方程组，求解即可得到O的坐标，即可得到结论．
解：过I作ID⊥AC于D，设△CIA的外接圆为⊙O，连接CO，IO，AO．
∵∠ACB=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=13．
∵I是Rt△ABC的内心，ID⊥AC，
∴ID为内切圆半径，ID=（5+12-13）÷2=2，
∴CD=ID=2．以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，向右为正方向，CB所在直线为y轴，向上为正方向建立直角坐标系，则C（0，0），I（2，2）A（12，0）．设O（x，y）．
∵OC=OI=OA，∴，
解得：，
∴O（6，－4），
∴△CIA外接圆的半径=CO==．
故选C．

点睛：本题是圆的综合题．考查了三角形的内切圆与外接圆等知识．解题的关键是建立直角坐标系，进而用同圆的半径相等列方程求解．
4．C
【分析】由定边对等角，判断、、三点共圆，由中位线的性质当取最大值时，即取最大值时，根据圆内最长弦为直径即可求解．
解：由题知、、三点共圆，
M，N分别为AB，BC的中点，
，
当过圆心即是直径时（如图所示），取得最大值，此时取的最大值，
，
此时是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
，
，
故选C．

【点拨】本题考查了三点共圆的判定，三角形中位线性质，勾股定理，圆周角定理，圆内最长弦的判定；能判断点的运动轨迹，熟练掌握好相关的基础知识是解决本题的关键．
5．A
【分析】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE=m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论．
解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG,
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，

∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF,
∴∠EGB=∠FGC,
在△EGB和△FGC中，

∴△EGB≌△FGC（SAS），
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE=m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m  
∴BC= ，
∴AD=m，
∴
故选∶A．
【点拨】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识．
6．B
【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
解：如图，连接BO′、BC．

∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴，O′E＝2，
在Rt△BCO′中，，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以AC为直径的圆上运动，属于中考选择题中的压轴题．
7．D
【分析】将四边形的面积转化为，再进行分析解答
解：由旋转得：，
∴，
设四边形面积为S，
∴．
由旋转可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，
∴，
∴最大时，最小，
作的外接圆，

易知．
∴，．
当为中点时，面积最大，
过作于，则．
设，．
∴，．
∴．
∴．
故选D．
【点拨】本题求面积的最小值，考查的知识点有等边三角形的判定与性质、圆周角定理、旋转的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大．
8．A
【分析】取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小.
解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．

∵DH⊥AC，
∴∠AHD=90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=，
BM=，
∴BH的最小值为BM-MH=8-2=6．
故选：A．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助线圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
9．或
【分析】先根据题意画出图形，分两种情况：①当点B在原点右边时，证明A、C、B、D四点共圆，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到是直角三角形，分别在和中用x表示出，构造方程求解x值；②如图2，当B点在A点右边，O点左边时，可得A、C、O、D四点共圆，根据同弧或等弧所对的圆周角相等从而得到，分别在和中用x表示出，构造方程求解x值．
解：分两种情况：
①如图，当点B在原点右边时，中，
      
∴，，
∴，，
∴在中，根据勾股定理得．
∵，，
∴．
∴A、C、B、D四点共圆．
连接，则，又，
∴．
在中，利用勾股定理可得，
∴在中，，
∴，
解得．
如图，当B点在A点右边，O点左边时，此时．
    
同理可得A、C、O、D四点共圆，，
在中，，
在中，
∴在中，．
∴，解得．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了一次函数图象和性质、勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，已知圆内接四边形求角度，对点的位置分类讨论是解题的关键．
10．或或
【分析】先由已知得出，，然后由点的位置分类讨论，再设点，从而根据勾股定理列出方程，求出每种情况下点的坐标即可．
解：∵点的坐标为，轴，
∴点的纵坐标为，
∵点在直线上，，
∴，，
设点，则，
如图1，
  
当点在处时，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：或，
∴或；
如图，当点在处时，，，
  
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴；
综上所述：点的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，勾股定理，利用直径所对的圆周角为直角画出图形，找到对应的点是解题的关键．
11．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，如图所示：
连接OA、OC，作OD⊥AC于D，
则AD＝CDAC＝1，
∵所对的圆心角＝2∠APC＝240°，
∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，

∵OA＝OC，
∴∠OAD＝30°，
∵OD⊥AC，
∴ODAD，OA＝2OD，
∴的长为π；
故答案为：π．
12．≤MN≤5
【分析】以点O为圆心，OB为半径作圆，以点O为圆心，作与AB相切的圆，可知AB上所有点扫过的区域为两个圆组成的圆环，进而即可求解．
解：∵A（3，0），B（0，4），N（0，1），
∴OA=3，OB=4，AB=，ON=1，

以点O为圆心，OB为半径作圆，以点O为圆心，作与AB相切的圆，此时，小圆的半径=3×4÷5=2.4，
∴AB上所有点扫过的区域为两个圆组成的圆环，延长NO交大圆于点E，ON交小圆于点F，则NE为MN的最大值，NF为MN的最小值，NF=2.4-1=1.4，EN=1+4=5，
∴MN的取值范围是：≤MN≤5．
故答案是：≤MN≤5．
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，找出线段AB扫过的区域，是解题的关键．
13．或
【分析】由题意可得点P在以D为圆心，为半径的圆上，同时点P也在以BD为直径的圆上，即点P是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP，AH的长，即可求点A到BP的距离．
解：∵点P满足PD＝，
∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图，点P是两圆的交点，

若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，
∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，
∴BD＝4，
∵∠BPD＝90°，
∴BP＝＝3，
∵∠BPD＝90°＝∠BAD，
∴点A，点B，点D，点P四点共圆，
∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AH＝HP，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴16＝AH2+（3﹣AH）2，
∴AH＝（不合题意），或AH＝，
若点P在CD的右侧，
同理可得AH＝，
综上所述：AH＝或．
【点拨】本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D为圆心，为半径的圆和以BD为直径的圆的交点是解决问题的关键．
14．
【分析】作△ABE的外接圆，圆心为P，过点P作x轴垂线，垂足为G，过点B作PG的垂线，垂足为F，证明△APG≌△PBF，得到GP=BF，PF=AG，求出点A和点B的坐标，从而算出点P坐标，求出BC的表达式，从而可设点E（m，），利用PA2=PE2，求出点E坐标，再求出AD表达式，从而可得OD的长．
解：如图，作△ABE的外接圆，圆心为P，过点P作x轴垂线，垂足为G，过点B作PG的垂线，垂足为F，
∵∠BED=45°，
∴∠BAE+∠ABE=45°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=2∠ABE+2∠BAE=90°，
∴∠APG+∠BPF=90°，又∠APG+∠PAG=90°，
∴∠BPF=∠PAG，又PA=PB，∠AGP=∠F=90°，
∴△APG≌△PBF（AAS），
∴GP=BF，PF=AG，
在直线y＝－x＋3中，令x=0，则y=3，令y=0，则x=4，
∴A（0，3），B（4，0），
∴PG+PF=BO=4，AO+AG=BF=3，
∴设AG=a，则PF=a，GP=BF=4-x，OG=x+3，
∴4-x=x+3，解得：x=，
∴OG=，GP=，即P（，），
设直线BC的表达式为y=kx+b，
∵OC=1，则C（0，1），将B，C代入y=kx+b，
则，解得：，
∴直线BC的表达式为，
设点E（m，），∵PA2=PE2，
∴，
解得：m=4（舍）或，
∴点E的坐标为（，），
设直线AE的表达式为y=sx+t，将A、E代入，
，解得：，
∴直线AE的表达式为，
令y=0，解得：x=，
则OD=，
故答案为：．

【点拨】本题考查了圆周角定理，一次函数，全等三角形的判定和性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题的关键是构造出△ABE的外接圆，利用全等、勾股定理和一次函数的知识求出相应点的坐标．
15．
【分析】如图，连接AC，BD．由题意OD＝OC＝OD′＝，推出点D′的运动轨迹是弧CD，当OD′⊥CD时，D′G的值最大，设DE＝ED′＝x，在Rt△EGD′中，根据EG2+D′G2＝ED′2，构建方程求出x即可解决问题．
解：如图，连接AC，BD．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∠DAB＝90°，AD＝BC＝8，
∴BD＝＝17，
∵OD＝OC＝OD′＝，
∴点D′的运动轨迹是弧CD，
当OD′⊥CD时，D′G的值最大，
∵OG∥BC，OD＝OB，
∴DG＝GC，
∴OG＝BC＝4，
∴D′G的最大值＝OD′﹣OG＝﹣4＝，
设DE＝ED′＝x，
在Rt△EGD′中，∵EG2+D′G2＝ED′2，
∴（﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝，
∴EG＝DG﹣DE＝
∴OE＝＝，
∴EF＝2OE＝．
故答案为：，
【点拨】本题考查矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点D′的运动轨迹，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．6
【分析】当点P与点A重合时，作MF⊥x轴，CH⊥x轴交AB于E，作BG⊥CH于G，连接ME，取MC的中点D以CD为半径作圆，连接DE、DA，先求出点E坐标为（-1,2），证明△AMF≌△CAH，得到点M（-7,2），当点P与点B重合时，点M与点E重合，即可得到答案.
解：如图，当点P与点A重合时，作MF⊥x轴，CH⊥x轴交AB于E，作BG⊥CH于G，连接ME，取MC的中点D以CD为半径作圆，连接DE、DA，
∵，，
∴M、A、E、C四点共圆，
∵，，
∴，∠ABO=45°，
∴∠ABG=45°
∵，
∴BG=CG=1，
∴EG=BG=1，
∴点E坐标为（-1,2）
∵，
∴∠MAF+CAH=90°，
∵∠MAF+∠AMF=90°，
∴∠AMF=∠CAH,
∵，
∴△AMF≌△CAH，
∴MF=AH=2，AM=CH=4，
∴点M的坐标为（-7,2），
当点P与点B重合时，点M与点E重合，此时的坐标为（-1,2），
∴当点从点运动到点时，则点运动的路径长为线段ME的长，ME=-1-（-7）=6，
故答案为：6.

【点拨】此题考查直角坐标系中点的坐标特点，利用点坐标表示线段长度，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，直角坐标系中动点问题.
17．或或或
【分析】若⊙P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切，则需要对此过程分四种情况讨论，根据已知条件计算出m的取值范围即可．
解：由B点坐标（1，），及原点O是AB的中点可知AB=2，直线AB与x轴的夹角为60°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD=2，
设DC与x轴相交于点H，则OH=4，
（1）当⊙P与DC边相切于点E时，连接PE，如图所示，
由题意可知PE=，PE⊥DC，∠PHE=60°，
∴PH=2，
∴此时点P坐标为（-6,0），所以此时．

（2）当⊙P只与AD边相切时，如下图，
∵PD=，∴PH=1，
∴此时，
当⊙P继续向右运动，同时与AD，BC相切时，PH=1，所以此时，
∴当时，⊙P只与AD相切；
，
（3）当⊙P只与BC边相切时，如下图，
⊙P与AD相切于点A时，OP=1，此时m=-1，
⊙P与AD相切于点B时，OP=1，此时m=1，
∴当，⊙P只与BC边相切时；
，
（4）当⊙P只与BC边相切时，如下图，
由题意可得OP=2，
∴此时．

综上所述，点P的横坐标m 的取值范围或或或．
【点拨】本题考查圆与直线的位置关系，加上动点问题，此题难度较大，解决此题的关键是能够正确分类讨论，并根据已知条件进行计算求解．
18．2或12+6或12﹣6
【分析】分三种情形画出图形 分别求解即可．
解：如图，①点F在以A为圆心AB为半径的圆上，满足条件的点F在线段CD的垂直平分线KF上．

作FH⊥AD于H．在Rt△AFH中，∵AF＝2FH，
∴∠FAH＝30°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAF＝60°，
∴∠EAB＝∠EAF＝30°，
在Rt△ABE中，BE＝AB•tan30°＝2，
②当DF′＝DC时，在BE′上取一点G，使得AG＝GE′．
∵AF′＝AD＝DF′，
∴△ADF′是等边三角形，
∴∠DAF′＝60°，
∴∠BAF′＝150°，
∴∠BE′F′＝30°，
∴∠BE′A＝15°，
∵GA＝GE′，
∴∠GAE′＝∠GE′A＝15°，
∴∠AGB＝30°，
∴AG＝GE′＝2AB＝12，BG＝6，
∴BE′＝12+6
若以点D为圆心，DC长为半径作圆与以点A为圆心，AB长为半径的圆在正方形的内的交点为F
同理可得BE＝12﹣6
综上所述，BE的长为2或12+6或12﹣6
【点拨】本题考查翻折变换、正方形的性质、直角三角形30度角的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点F的位置，学会推分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
19．①③④
【分析】①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断；
②作⊙O，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判断；
④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断．
解：①∵A、C关于直线OM'对称，
∴OM'是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
故①正确；
②连接OC，由①知：OM'是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
∴OA=OB=OC，
以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，
则A、B、C都在⊙O上，
∵∠MON=120°，
∴∠BOE=60°，
∵OB=OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠E=60°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACD=∠E=60°，
故②不正确；
③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，
由①得：CD=AD，
∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=CD，
∴OC=OA=AD=CD，
∴四边形OADC为菱形，
故③正确；
④∵CD=AD，∠ACD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
当AC最大时，△ACD的面积最大，
∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，
∴△ACD面积的最大值是：AC2=，
故④正确；
所以本题结论正确的有：①③④，
故答案为①③④．

【点拨】本题考查了轴对称的性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线构建图形并能灵活应用相关知识是解题的关键.
20．（1）见分析；（2）；（3）
【分析】（1）若求，连接是显然的，然后再讨论和，而发现这两个角都在圆外，而外部也无复杂图象包含它们，所以常规作法显然不好处理．故想到把它们也放在圆中，连接发现，，则若以为直径画圆，其圆必过、两点，则利用圆周角、对顶角性质可证恰与劣弧的圆周角相等，因为为中点，显然为，则结论易证．
（2）综合题，后问往往要用前问的结论，前问中，本题利用可求出中，与的关系．在利用根与系数的关系列出方程即可讨论，但要注意还有讨论两根存在的前提；
（3）连接、，过点作，垂足为，由，，设，利用勾股定理可以求出，然后根据即可求解．
解：（1）证明：连接，，以为直径画圆．
  
，，
、两点必过以为直径的圆，
，
．
为劣弧的圆周角，且为半圆的中点，
∵为半圆的中点，
∴，
为劣弧的圆周角，
．
在中，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
，
、为方程的两根，
，，
，
∴，
解得或．
在第一象限，
，
舍去，
即此时为． ，
综上所述：
（3）如图3，连接、，过点作，垂足为，
  
由（1）可得，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
又∵在中，，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题难度较高，考查了圆、三角形、一元二次方程根与系数关系及用勾股定理解三角形等相关知识，其中（1）辅助线的作法并不易想到，需要特殊留意．总体来说，综合性极高，学生一定要加强理解．
21．（1）；（2）
【分析】（1）利用新定义计算出，如图①:过A点作于H点，过C点作于D点，先计算出，则，再证明，平分，根据角平分线的性质得到，所以，然后在中利用含30度直角三角形三边的关系得到的长；
（2）延长交于E点，连接，如图②，利用圆周角定理得到为直径，再利用新定义计算出，即平分，所以，再证明得到，于是利用勾股定理可计算出，设,则，在中得到，解方程得到，然后在中利用勾股定理计算出，从而得到的面积．
（1）解：∵为“准互余三角形”，
∴，即，
∴，
如图①: 过A点作于H点，过C点作于D点，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴．
（2）解：如图②：延长交于E点，连接，
∵为直径，
∴，
∵为“准互余三角形”，
∴，
∵，
∴，即平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
设,则,
在中，∵，
∴，解得，
在中，，
∴⊙O的面积．
  
【点拨】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质等知识点，理解半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解答本题的关键．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先证明得到，再证明，即可证明；
（2）由（1）可得，则的面积等于面积．如图①，作的外接圆，连接，过点作于点，设的半径为．先求出．则可得．由，得到，由此得到得到最小值为，据此即可得到答案．
（3）如图，在上分别截取，，连接，先根据等边对等角和三角形内角和定理证明，作的外接圆，分别过点作于点，于点，由已知得．连接，设的半径为，利用圆周角定理求出，则．即可得到，再由，推出，由此求出得最小值为，则可得的最小值为．
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）由（1）可得，则的面积等于面积．
如图，作的外接圆，连接，过点作于点，
设的半径为．
，
∴，
．
在中，，．
．
又，，
，
．
当时，取得最小值即．
的最小面积为．
的最小面积为．
  
（3）如图，在上分别截取，，连接，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
作的外接圆，分别过点作于点，于点，由已知得．
连接，设的半径为，
由可得，则．
，
，，
，即
，
当四点共线时，取最小值10，此时，
∴．
，
的最小值为．
  
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
23．（1）8；（2）
【分析】（1）如图所示，过点A作于F，交延长线于E，先证明四边形是矩形，得到，再证明，得到，则四边形是正方形，则；
（2）如图所示，过点E作于D，由题意得到，则是等腰直角三角形，由此求出；再求出；将绕点E顺时针旋转得到，则，，证明三点共线；由，可知当的面积最小时，四边形的面积最大，作的外接圆，连接，过点O作于N，设，求出，得到，则是等边三角形，即可得到，，由，求出，则的最小值为 ，则的最大值为．
（1）解：如图所示，过点A作于F，交延长线于E，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
  
（2）解：如图所示，过点E作于D，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∵

，
∴当的面积最小时，四边形的面积最大，
作的外接圆，连接，过点O作于N，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为 ，
∴的最大值为．
  
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
24．（1）；（2）四边形的面积为，的大小为；（3）四边形的最大面积为，平移2个单位
【分析】（1）利用圆的定义知三点共圆，再利用圆周角定理求解即可；
（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解；
（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．
（1）解：以为圆心，为半径作辅助圆，如图，
，  
，
，
故答案为：；
（2）解：连接，如图，
  ，    
中，，
，
为斜边中点，
，
线段平移到之后，，
四边形为菱形，
，
，
，且，
四边形为直角梯形，
；
（3）解：如图所示，
  
当边沿方向平移2个单位至时，
满足且此时四边形的面积最大，
此时直角梯形的最大面积为，
．
【点拨】本题主要考查图形的平移、圆心角、圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．