2022-2023学年山西省吕梁市交城县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省吕梁市交城县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式，化简后能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在中，，，，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于我国古代一部著名的数学著作中，这部著作是(    )

A. 孙子算经 B. 海岛算经
C. 九章算术 D. 周髀算经

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，在平行四边形中，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列命题中正确的是(    )

A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 矩形的对角线相等
C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形

8.  已知，若是整数，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点是平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，则四边形是(    )

A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  二次根式有意义，则实数的取值范围是______ ．

12.  已知的三边长分别为，，，则的形状是______ ．

13.  九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______．

14.  如图，在平行四边形中，对角线，交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为______ ．

15.  如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在处，当为直角三角形时， ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
已知三角形的三边，，，可以求出这个三角形的面积古希腊几何学家海伦的公式为：其中；我国南宋著名数学家秦九韶的公式为：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
你认为选择______ 填海伦公式或秦九韶公式能使计算更简便；
请利用你选择的公式计算出这个三角形的面积．

18.  本小题分
如图，在四边形中，平分，，点是上一点，，若，，求的长．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，的平分线交于点，连接．
尺规作图：根据题意将图形补充完整保留作图痕迹，不写作法，标注相应字母；
求证：四边形是菱形．

20.  本小题分
如图，在矩形中，点、点分别是、的中点，连接，，，，与交于点，与交于点．
求证：四边形是平行四边形；
请判断四边形的形状，并说明理由．

21.  本小题分
按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为，每个小正方形的顶点称为格点．

在图中作一个边长都为整数的格点直角三角形；
在图中作一个边长分别为，，的格点三角形；
在图中作一个有一边长为的格点平行四边形．
请判断图中所作的形状，并说明理由．

22.  本小题分
问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法下面利用拼图的方法探究证明勾股定理；
定理表述：
请你结合图中的直角三角形，叙述勾股定理可以选择文字语言或符号语言叙述；
尝试证明：
利用图中的直角三角形可以构造出如图的直角梯形，请你利用图证明勾股定理；
定理应用：
某工程队要从点向点铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？

 

23.  本小题分
如图，四边形是菱形，点，点分别是，边上的动点，，连接，交对角线于点，．

求证：；
如图，连接，，请判断四边形是什么特殊四边形？并说明你的理由；
在图中，如果，，试探究在点，运动过程中，如果四边形成为正方形，则的长度是多少？请直接写出答案

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，
不能与合并，故A项不符合题意；
B、，
不能与合并，故B项不符合题意；
C、，
能与合并，故C项符合题意；
D、，
不能与合并，故D项不符合题意；
故选：．
利用二次根式的性质将各项化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可解答；
本题考查了二次根式的性质，最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记二次根式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
的面积为；
故选：．
勾股定理求出的长，面积公式进行求解即可．
本题主要考查三角形的面积公式，根据勾股定理求出的长，根据面积公式进行求解是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于周髀算经之中．
故选：．
由周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”记载于周髀算经之中，可得出结论．
本题考查了勾股定理以及数学常识，牢记周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”记载于周髀算经之中是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项正确，符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意．
故选：．
根据算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法法则逐项进行计算即可得．
本题考查的是算术平方根的含义，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
先求出，再根据平行四边形对边相等即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、平行四边形的对角线互相平分，故此选项错误；
B、矩形的对角线相等，故此选项正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故此选项错误．
故选：．
直接利用平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质和判定方法分别分析得出答案．
此题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定和性质，正确把握相关四边形的性质和判定方法是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
的值可能是，
故选：．
利用平方差公式找出括号中式子的有理化因式即可．
此题考查了式子的有理化因式，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图可知：，
米，米，
米，
由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度米，铅直的防滑毯的长度米，
至少需防滑毯的长为：米，
防滑毯宽为米
至少需防滑毯的面积为：平方米．
故选：．
勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可．
本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．
 

10.【答案】 

【解析】解：平行四边形，
，，
，
是平行四边形的边的中点，
，
又，
≌，
，
，即：，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形．
故选：．
平行四边形的性质，得到，，证明≌，得到，得到四边形是平行四边形，推出，即可得到四边形是矩形．
本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定．熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，是解题的关键．
 

11.【答案】任意实数 

【解析】解：由题意，得：，
为任意实数．
故答案为：任意实数．
根据二次根式的被开方数大于等于，列式进行求解即可．
本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于，是解题的关键．
 

12.【答案】等腰直角三角形 

【解析】解：的三边长分别为：，，，且，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
根据勾股定理的逆定理，得出三角形是直角三角形．
本题主要考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，
，
．
在中，，
，即．
故答案为：．
设，可知，再根据勾股定理列方程即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
 

14.【答案】 

【解析】解：平行四边形中，对角线，交于点，
，为的中点，
，
为的中垂线，
，
的周长为，
；
故答案为：．
根据平行四边形的对角线互相平分，得到为的中点，进而得到为的中垂线，得到，推出的周长为，求出的长，即可得解．
本题考查平行四边形的性质，中垂线的判定和性质．解题的关键是判断出为的中垂线．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如图所示，

连接，
在中，，，
，
由折叠的性质得，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，如图，
，，
，
设，则，，
在中，
，
即，
解得，
；
当点落在边上时，如图所示，

此时四边形为正方形，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
当为直角三角形时，有两种情况：当点落在矩形内部时，连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出当点落在边上时，此时四边形为正方形．
本题考查了折叠问题，矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等，注意分类讨论思想的应用．
 

16.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】根据二次根式的混合运算进行计算即可．
根据完全平方式和平方差公式展开，再根据二次根式的混合运算进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方式和平方差公式和二次根式的混合运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】秦九韶公式 

【解析】解：三边都是根号形式，
故用秦九韶公式能计算更简便；
故答案为：秦九韶公式；
，
，，，





．
根据三边数字特点即可选择正确的公式；
将三边的值代入公式计算即可．
本题主要考查根式的计算，正确的计算二次根式是解题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，
，
，
，
是直角三角形，

，

，
平分，
． 

【解析】先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得出，根据，平分，即可得出结果．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理判断是直角三角形．
 

19.【答案】解：如图所示即为所求；

证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形． 

【解析】根据题意作图即可；
根据平行四边形的性质得出，，再由各角之间的关系得出，利用等角对等边确定，结合菱形的判定即可证明．
本题考查基本的作图方法及平行四边形的性质、菱形的判定，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
 

20.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，分别是、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形为菱形；理由如下：
四边形是矩形，
，，，
，分别是、的中点，
，，
，
四边形和四边形均为平行四边形，
，，
四边形是平行四边形，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据矩形的性质可得，，根据，分别是、的中点可得，根据平行四边形的判定即可求证；
根据矩形的性质可得，，，根据，分别是、的中点可得，根据平行四边形的判定可得四边形和四边形均为平行四边形，即可证得四边形是平行四边形，根据全等三角形的判定和性质可得，，推得，根据菱形的判定即可求证．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，即为所求作三角形；

如图所示，即为所求作三角形；
如图所示，平行四边形即为所求作平行四边形；
为直角三角形．
理由：，
，
，
为直角三角形． 

【解析】根据直角三角形的概念和网格的特点求解即可；
根据勾股定理和网格的特点求解即可；
根据勾股定理，平行四边形的概念和网格的特点求解即可；
根据勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可．
此题考查了网格中作直角三角形和平行四边形，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
 

22.【答案】解：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么
，


，
，
；
在中，，
元；
答：增加了元． 

【解析】根据题意可直接进行求解；
根据等积法可进行求解；
利用勾股定理可进行求解．
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
解：四边形是菱形，
证明：四边形是菱形，
，，
在与中，
，
≌，
，
同理：，
又由可知：，
，
四边形是菱形；
解：连接，如图：

四边形是菱形，，
，，
四边形成为正方形，
，，
，
，，
，，
． 

【解析】根据菱形的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角可得，根据全等三角形的判定和性质可得；
根据菱形的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，同理可得，由可知，根据菱形的判定即可证明四边形是菱形；
连接，菱形的性质可得，，根据正方形的性质可得，根据等角对等边可得，根据度角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得，即可求得．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，正方形的性质，等角对等边，度角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题的关键．