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2023-2024学年山西省吕梁市孝义市八年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山西省吕梁市孝义市八年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个图形中，画出△ABC的边AB上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各组长度（单位：cm）的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，5D．3，4，5
4．正五边形一个外角的度数是（ ）
A．72°B．90°C．108°D．118°
5．如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（ ）
A．160°B．170°C．180°D．190°
6．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别截取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分．这样画图的主要依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．HL
7．已知点A（m，2）和点B（﹣3，n）关于x轴对称，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．3D．1
8．在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（ ）
A．分类思想B．方程思想
C．数形结合思想D．转化思想
9．如图，△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，AD，BE，CF交于点O．若△ABC的面积是12，则阴影部分的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
10．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点F，若AB＝AC，∠ABF＝2∠FBC，则∠A＝（ ）
A．36°B．45°C．60°D．72°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是 ．
12．如图，∠ACB＝∠DBC，要依据“AAS”判定△ABC≌△DCB，则还需要添加的条件是 ．
13．如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则∠ABC的度数是 ．
14．如图，直角坐标系中，已知A（1，3），B（﹣1，1），C（1，﹣2），请你在坐标系内找一点P（不与点B重合），使PA＝BA，PC＝BC，则点P的坐标是 ．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，直线DE分别交AC，BC于点F，G．若BC＝10，则GC＝ ．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB，∠ABC的平分线交AE于点F．求∠ACD和∠EFB的度数．
17．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点．求证：BE＝DC．
18．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，点E是BD上一点，AE＝CE，AE⊥CE，AB＝10，CD＝6，试求BD的长．
19．如图，△ABC中，已知点A（﹣1，﹣3），B（﹣3，2），C（﹣4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；A1 ，B1 ，C1 ．
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标；A2 ，B2 ，C2 （直接写出答案）．
（3）连接AO，A1A2．猜想：AO和A1A2，的数量关系： ．（直接写出答案）
20．作图题．
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
实践操作
（1）作∠ABC的平分线，交AC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
推理与计算
（2）设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，试求S1：S2的值．
21．阅读下面材料并完成相应学习任务：
利用轴对称研究边与角之间的数量关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交BC于点E，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＝∠B+∠DEB（依据1），
∴∠ADE＞∠B．
∴∠C＞∠B．
这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小．
类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小．
如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么可以将△ABC沿DE折叠，使点B与点C重合，则∠ABC＝∠ECD，
∴BE＝CE（依据2）．
在△ACE中，AE+EC＞AC（依据3），
∴AE+BE＞AC，即AB＞AC．
归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系．
任务一：上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？
依据1： ；
依据2： ；
依据3： ．
任务二：
（1）如图3，在△ABC中，若∠C＝2∠B，请直接写出AC，CE，AB之间的等量关系 ；
（2）如图4，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠C＝2∠B．求证：BD＝AC+CD．
22．综合与实践
如图1，△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点F是BC上一点，连接FD，以FD为边作等边三角形FDE，连接CE．
（1）如图2，当点F与点B重合时，求证：AD＝CE．
（2）如图1，当点F与点B不重合时，试说明AD＝CE+BF．
（3）如图3，点F与点B重合，BC与DE交于点G，当点D是AC的中点时，若AB＝10，请直接写出BG的长．
参考答案
一、选择题（每小题2分，共20分．下列各小题均给出四个备选答案，请将符合题意选项的字母代号，填写在下面方格内）
1．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列四个图形中，画出△ABC的边AB上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的定义判断即可．
解：A、该垂线是BC边上的高，故不合题意；
B、该垂线不是三角形的高，故不合题意；
C、该垂线是AC边上的高，故不合题意；
D、该垂线是AB边上的高，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高，解题的关键是利用从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高进行判断．
3．下列各组长度（单位：cm）的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，5D．3，4，5
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故本选项不合题意；
B、1+2＜4，不能组成三角形，故本选项不合题意；
C、2+3＝5，不能组成三角形，故本选项不合题意；
D、3+4＞5，能组成三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．正五边形一个外角的度数是（ ）
A．72°B．90°C．108°D．118°
【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求解．
解：正五边形的一个外角为360°÷5＝72°，
故选：A．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．
5．如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（ ）
A．160°B．170°C．180°D．190°
【分析】根据∠ABC＝180°﹣∠1，∠ADC＝180°﹣∠2，∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC，计算求解即可．
解：由题意知，∠ABC＝180°﹣∠1＝108°，∠ADC＝180°﹣∠2＝72°，
∴∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝180°，
故选：C．
【点评】本题考查了邻补角，四边形内角和．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
6．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别截取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分．这样画图的主要依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．HL
【分析】用作法可得到OM＝ON，PM⊥OM，PN⊥ON，再加上公共边OP，则可利用“HL”判断△POM≌△PON．
解：由作法可得OM＝ON，PM⊥OM，PN⊥ON，
则∠PMO＝∠PNO＝90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，
，
∴△POM≌△PON（HL）．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
7．已知点A（m，2）和点B（﹣3，n）关于x轴对称，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．3D．1
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出m，n的值，代入求值即可．
解：∵已知点A（m，2）和点B（﹣3，n）关于x轴对称，
∴m＝﹣3，n＝﹣2，
∴m﹣n＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了在平面直角坐标系上关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系上关于坐标轴对称的点的坐标特征．
8．在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（ ）
A．分类思想B．方程思想
C．数形结合思想D．转化思想
【分析】根据“分类讨论思想”回答即可．
解：在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是“分类思想”，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
9．如图，△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，AD，BE，CF交于点O．若△ABC的面积是12，则阴影部分的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【分析】根据点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，可得OE，OF，OD分别是△AOC，△AOB，△BOC的中线，可得，再根据△ABC的面积是12，即可求解．
解：∵点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴OE，OF，OD分别是△AOC，△AOB，△BOC的中线，
∴，
∵S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝12，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形中线的性质，理解并掌握三角形中线将三角形的面积平分是解题的关键．
10．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点F，若AB＝AC，∠ABF＝2∠FBC，则∠A＝（ ）
A．36°B．45°C．60°D．72°
【分析】设∠FBC＝x，则∠ABF＝2x，得出∠ABC＝∠FBC+∠ABF＝3x，∠C＝90°﹣x，根据AB＝AC得出∠ABC＝∠C，列出方程，求出x的值，即可求解．
解：由作图可知，BF⊥AC，
设∠FBC＝x，则∠ABF＝2x，
∴∠ABC＝∠FBC+∠ABF＝3x，∠C＝90°﹣x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴3x＝90°﹣x，
解得：x＝22.5°，
∴∠ABC＝∠C＝22.5°×3＝67.5°，
∴∠A＝180°﹣67.5°×2＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】理解题干“照相机的三角支架”以及“保持相机的稳定性”这些文字信息是解题的关键．
解：依题意，依据的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性
【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是理解题意，学会利用三角形稳定性解决问题．
12．如图，∠ACB＝∠DBC，要依据“AAS”判定△ABC≌△DCB，则还需要添加的条件是 ∠A＝∠D ．
【分析】根据AAS添加∠A＝∠D即可．
解：∵∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，
∴添加∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DCB（AAS）；
故答案为：∠A＝∠D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟记AAS判定三角形全等是解本题的关键．
13．如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则∠ABC的度数是 150° ．
【分析】先求解正六边形与正方形的一个内角，再结合周角的含义可得答案．
解：∵正六边形的每一个内角为：，
正方形的每一个内角为：90°，
∴∠ABC＝360°﹣120°﹣90°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了正多边形的内角与外角的综合应用，掌握周角的含义是关键．
14．如图，直角坐标系中，已知A（1，3），B（﹣1，1），C（1，﹣2），请你在坐标系内找一点P（不与点B重合），使PA＝BA，PC＝BC，则点P的坐标是 （3，1） ．
【分析】以点A为圆心，AB为半径画圆，以点C为圆心，BC为半径画圆，两圆相交于点P，点P即为所求；根据全等三角形的性质得出点B和点P关于直线AC对称，即可解答．
解：∵PA＝BA，PC＝BC，AC＝AC，
∴△ABC≌△APC，
∵A（1，3），C（1，﹣2），
∴AC⊥x轴，
∴点B和点P关于直线AC对称，
∵B（﹣1，1），
∴P（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，直线DE分别交AC，BC于点F，G．若BC＝10，则GC＝ ．
【分析】连接AG，由等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，再求出∠BAG＝90°，可证，然后根据AC＝BG+CG＝10即可求解．
解：连接AG．
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°．
由作法知，DE是AC的垂直平分线，
∴AG＝CG，
∴∠CAG＝∠C＝30°，
∴∠BAG＝90°，
∴，
∵AC＝BG+CG＝10，
∴2CG+CG＝10，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性这些质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB，∠ABC的平分线交AE于点F．求∠ACD和∠EFB的度数．
【分析】由三角形内角和定理可得∠BAC＝60°，∠ACD＝30°，由角平分线的定义可求∠EAB，∠ABF的值，然后根据∠EFB＝∠ABF+∠EAB计算求解即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠ADC＝30°，
∵AE平分∠CAB，
∴，
∵BF平分∠ABC，
∴，
∴∠EFB＝∠ABF+∠EAB＝45°，
∴∠ACD的度数为30°，∠EFB的度数为45°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
17．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点．求证：BE＝DC．
【分析】先证明AD＝AE，再利用SAS证明△ADC≌△AEB，从而可得结论．
【解答】证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴，，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴BE＝DC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，解题的关键是：先证明AD＝AE，再利用SAS证明△ADC≌△AEB，从而可得结论．
18．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，点E是BD上一点，AE＝CE，AE⊥CE，AB＝10，CD＝6，试求BD的长．
【分析】先通过角的等量代换得∠A＝∠CED，结合AE＝CE，证明△ABE≌△EDC，得BE＝DC＝6，DE＝AB＝10，即可作答．
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，AE⊥CE，
∴∠ABE＝∠EDC＝∠AEC＝90°
∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠A＝∠CED，
在△ABE和△EDC中，
，
∴△ABE≌△EDC（AAS），
∴BE＝DC＝6，DE＝AB＝10，
∴BD＝BE+DE＝16．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．如图，△ABC中，已知点A（﹣1，﹣3），B（﹣3，2），C（﹣4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；A1 （﹣1，3） ，B1 （﹣3，﹣2） ，C1 （﹣4，1） ．
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标；A2 （1，﹣3） ，B2 （3，2） ，C2 （4，﹣1） （直接写出答案）．
（3）连接AO，A1A2．猜想：AO和A1A2，的数量关系： ．（直接写出答案）
【分析】（1）分别确定A，B，C关于x轴的对称点A1，B1，C1，再顺次连接，并根据其位置可得其坐标；
（2）分别确定A，B，C关于y轴的对称点A2，B2，C2，再顺次连接，并根据其位置可得其坐标；
（3）由A，A2关于y轴对称，可得OA＝OA2，由A1，A2关于原点对称，可得OA1＝OA2，从而可得答案．
解：（1）如图1，△A1B1C1即为所画的图形；
∴A1（﹣1，3），B1（﹣3，﹣2），C1（﹣4，1）；
故答案为：（﹣1，3），（﹣3，﹣2），（﹣4，1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所画的图形，
∴A2（1，﹣3），B2（3，2），C2（4，﹣1）；
故答案为：（1，﹣3），（3，2），（4，﹣1）；
（3）连接AO，A1A2．
∵A1（﹣1，3），A2（1，﹣3），A（﹣1，﹣3），
∴A1A2过点O，OA1＝OA2＝OA，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，坐标与图形，中心对称的性质与轴对称的性质，熟练的利用轴对称的性质并进行画图是解本题的关键．
20．作图题．
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
实践操作
（1）作∠ABC的平分线，交AC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
推理与计算
（2）设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，试求S1：S2的值．
【分析】（1）先以B为圆心，任意长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，过这个交点与角的顶点画角平分线即可；
（2）作DE⊥BC于点E，证明AD＝DE，再利用三角形的面积公式列比例式即可．
解：（1）如图所示，
（2）作DE⊥BC于点E，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，
∴AD＝DE，而AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∵，，
∴．
【点评】本题考查的是作一个角的角平分线，角平分线的性质，熟练的作图是解本题的关键；
21．阅读下面材料并完成相应学习任务：
利用轴对称研究边与角之间的数量关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交BC于点E，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＝∠B+∠DEB（依据1），
∴∠ADE＞∠B．
∴∠C＞∠B．
这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小．
类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小．
如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么可以将△ABC沿DE折叠，使点B与点C重合，则∠ABC＝∠ECD，
∴BE＝CE（依据2）．
在△ACE中，AE+EC＞AC（依据3），
∴AE+BE＞AC，即AB＞AC．
归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系．
任务一：上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？
依据1： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ；
依据2： 等角对等边 ；
依据3： 三角形两边的和大于第三边 ．
任务二：
（1）如图3，在△ABC中，若∠C＝2∠B，请直接写出AC，CE，AB之间的等量关系 AC+CE＝AB ；
（2）如图4，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠C＝2∠B．求证：BD＝AC+CD．
【分析】任务一：依据1根据三角形外角的性质解答即可；
依据2根据等角对等边解答即可；
依据3根据三角形三条边的关系解答即可；
任务二：（1）利用翻折的性质得到∠ADE＝∠C，AD＝AC，DE＝CE，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定证明BD＝DE，进而可得出结论；
（2）在DB上截取DF＝DC，连接AF，证明△ADC≌△ADF得AC＝AF，∠C＝∠AFD，再证明FA＝FB即可得出结论．
【解答】任务一：解：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据 2：等角对等边；依据3：三角形两边的和大于第三边．
故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等角对等边；三角形两边的和大于第三边；
任务二：
（1）解：AC+CE＝AB．
由折叠知：∠ADE＝∠C，AD＝AC，DE＝CE．
∵∠C＝2∠B，
∴∠ADE＝2∠B．
∵∠ADE＝∠B+∠DEB，
∴∠DEB＝∠B，
∴BD＝DE．
∵AB﹣AC＝AB﹣AD＝BD，
∴AB﹣AC＝CE，
∴AC+CE＝AB；
故答案为：AC+CE＝AB；
（2）证明：在DB上截取DF＝DC，连接AF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ADC和△ADF中，
，
∴△ADC≌△ADF（SAS），
∴AC＝AF，∠C＝∠AFD，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AFD＝2∠B，
∵∠AFD＝∠B+∠BAF，
∴∠B＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴AC＝FB，
∵BD＝BF+FD，
∴BD＝AC+CD．
【点评】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
22．综合与实践
如图1，△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点F是BC上一点，连接FD，以FD为边作等边三角形FDE，连接CE．
（1）如图2，当点F与点B重合时，求证：AD＝CE．
（2）如图1，当点F与点B不重合时，试说明AD＝CE+BF．
（3）如图3，点F与点B重合，BC与DE交于点G，当点D是AC的中点时，若AB＝10，请直接写出BG的长．
【分析】（1）结合等边三角形的性质可得AB＝BC，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE，可证明△ABD≌△CBE，即可；
（2）作FG∥AB交AC于点G，先证明△GFC是等边三角形，再证得△DFG≌△EFC，可得DG＝CE，即可；
（3）根据等边三角形的性质可得，再由勾股定理可得，然后根据等边三角形的性质可得，再由勾股定理，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△FDE是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：作FG∥AB交AC于点G，如图1，
∴∠GFC＝∠B，∠FGC＝∠A，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠GFC＝∠FGC＝∠ACB＝60°，
∴△GFC是等边三角形，
∴CG＝CF＝FG，∠CFG＝∠DFE＝60°，
∴AG＝BF，∠DFG＝∠CFE，
∵DF＝EF，
∴△DFG≌△EFC（SAS），
∴DG＝CE，
∵AD＝GD+AG，
∴AD＝CE+BF；
（3）解：∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，AB＝10，
∴，
∴，
∵△FDE是等边三角形，
∴，
∴∠DBG＝∠DBG＝30°，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，涉及了类比思想，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理全等三角形的判定和性质是解题的关键．
1．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个图形中，画出△ABC的边AB上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各组长度（单位：cm）的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，5D．3，4，5
4．正五边形一个外角的度数是（ ）
A．72°B．90°C．108°D．118°
5．如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（ ）
A．160°B．170°C．180°D．190°
6．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别截取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分．这样画图的主要依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．HL
7．已知点A（m，2）和点B（﹣3，n）关于x轴对称，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．3D．1
8．在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（ ）
A．分类思想B．方程思想
C．数形结合思想D．转化思想
9．如图，△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，AD，BE，CF交于点O．若△ABC的面积是12，则阴影部分的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
10．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点F，若AB＝AC，∠ABF＝2∠FBC，则∠A＝（ ）
A．36°B．45°C．60°D．72°
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是 ．
12．如图，∠ACB＝∠DBC，要依据“AAS”判定△ABC≌△DCB，则还需要添加的条件是 ．
13．如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则∠ABC的度数是 ．
14．如图，直角坐标系中，已知A（1，3），B（﹣1，1），C（1，﹣2），请你在坐标系内找一点P（不与点B重合），使PA＝BA，PC＝BC，则点P的坐标是 ．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，直线DE分别交AC，BC于点F，G．若BC＝10，则GC＝ ．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB，∠ABC的平分线交AE于点F．求∠ACD和∠EFB的度数．
17．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点．求证：BE＝DC．
18．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，点E是BD上一点，AE＝CE，AE⊥CE，AB＝10，CD＝6，试求BD的长．
19．如图，△ABC中，已知点A（﹣1，﹣3），B（﹣3，2），C（﹣4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；A1 ，B1 ，C1 ．
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标；A2 ，B2 ，C2 （直接写出答案）．
（3）连接AO，A1A2．猜想：AO和A1A2，的数量关系： ．（直接写出答案）
20．作图题．
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
实践操作
（1）作∠ABC的平分线，交AC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
推理与计算
（2）设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，试求S1：S2的值．
21．阅读下面材料并完成相应学习任务：
利用轴对称研究边与角之间的数量关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交BC于点E，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＝∠B+∠DEB（依据1），
∴∠ADE＞∠B．
∴∠C＞∠B．
这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小．
类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小．
如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么可以将△ABC沿DE折叠，使点B与点C重合，则∠ABC＝∠ECD，
∴BE＝CE（依据2）．
在△ACE中，AE+EC＞AC（依据3），
∴AE+BE＞AC，即AB＞AC．
归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系．
任务一：上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？
依据1： ；
依据2： ；
依据3： ．
任务二：
（1）如图3，在△ABC中，若∠C＝2∠B，请直接写出AC，CE，AB之间的等量关系 ；
（2）如图4，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠C＝2∠B．求证：BD＝AC+CD．
22．综合与实践
如图1，△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点F是BC上一点，连接FD，以FD为边作等边三角形FDE，连接CE．
（1）如图2，当点F与点B重合时，求证：AD＝CE．
（2）如图1，当点F与点B不重合时，试说明AD＝CE+BF．
（3）如图3，点F与点B重合，BC与DE交于点G，当点D是AC的中点时，若AB＝10，请直接写出BG的长．
参考答案
一、选择题（每小题2分，共20分．下列各小题均给出四个备选答案，请将符合题意选项的字母代号，填写在下面方格内）
1．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列四个图形中，画出△ABC的边AB上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的定义判断即可．
解：A、该垂线是BC边上的高，故不合题意；
B、该垂线不是三角形的高，故不合题意；
C、该垂线是AC边上的高，故不合题意；
D、该垂线是AB边上的高，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高，解题的关键是利用从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高进行判断．
3．下列各组长度（单位：cm）的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2B．1，2，4C．2，3，5D．3，4，5
【分析】三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解．
解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故本选项不合题意；
B、1+2＜4，不能组成三角形，故本选项不合题意；
C、2+3＝5，不能组成三角形，故本选项不合题意；
D、3+4＞5，能组成三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．正五边形一个外角的度数是（ ）
A．72°B．90°C．108°D．118°
【分析】根据多边形的外角和是360°，即可求解．
解：正五边形的一个外角为360°÷5＝72°，
故选：A．
【点评】本题考查多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和是360°是关键．
5．如图∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝（ ）
A．160°B．170°C．180°D．190°
【分析】根据∠ABC＝180°﹣∠1，∠ADC＝180°﹣∠2，∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC，计算求解即可．
解：由题意知，∠ABC＝180°﹣∠1＝108°，∠ADC＝180°﹣∠2＝72°，
∴∠A+∠C＝360°﹣∠ABC﹣∠ADC＝180°，
故选：C．
【点评】本题考查了邻补角，四边形内角和．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
6．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别截取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分．这样画图的主要依据是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．HL
【分析】用作法可得到OM＝ON，PM⊥OM，PN⊥ON，再加上公共边OP，则可利用“HL”判断△POM≌△PON．
解：由作法可得OM＝ON，PM⊥OM，PN⊥ON，
则∠PMO＝∠PNO＝90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，
，
∴△POM≌△PON（HL）．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
7．已知点A（m，2）和点B（﹣3，n）关于x轴对称，则m﹣n的值是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．3D．1
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出m，n的值，代入求值即可．
解：∵已知点A（m，2）和点B（﹣3，n）关于x轴对称，
∴m＝﹣3，n＝﹣2，
∴m﹣n＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了在平面直角坐标系上关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系上关于坐标轴对称的点的坐标特征．
8．在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是（ ）
A．分类思想B．方程思想
C．数形结合思想D．转化思想
【分析】根据“分类讨论思想”回答即可．
解：在探索满足三个条件分别相等的两个三角形是否全等时，我们按照“三边分别相等，两边一角分别相等，两角一边分别相等，或三角分别相等的两个三角形是否全等”进行，这种做法主要体现的数学思想是“分类思想”，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
9．如图，△ABC中，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，AD，BE，CF交于点O．若△ABC的面积是12，则阴影部分的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．12
【分析】根据点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，可得OE，OF，OD分别是△AOC，△AOB，△BOC的中线，可得，再根据△ABC的面积是12，即可求解．
解：∵点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴OE，OF，OD分别是△AOC，△AOB，△BOC的中线，
∴，
∵S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝12，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形中线的性质，理解并掌握三角形中线将三角形的面积平分是解题的关键．
10．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，再分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点F，若AB＝AC，∠ABF＝2∠FBC，则∠A＝（ ）
A．36°B．45°C．60°D．72°
【分析】设∠FBC＝x，则∠ABF＝2x，得出∠ABC＝∠FBC+∠ABF＝3x，∠C＝90°﹣x，根据AB＝AC得出∠ABC＝∠C，列出方程，求出x的值，即可求解．
解：由作图可知，BF⊥AC，
设∠FBC＝x，则∠ABF＝2x，
∴∠ABC＝∠FBC+∠ABF＝3x，∠C＝90°﹣x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴3x＝90°﹣x，
解得：x＝22.5°，
∴∠ABC＝∠C＝22.5°×3＝67.5°，
∴∠A＝180°﹣67.5°×2＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】理解题干“照相机的三角支架”以及“保持相机的稳定性”这些文字信息是解题的关键．
解：依题意，依据的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性
【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是理解题意，学会利用三角形稳定性解决问题．
12．如图，∠ACB＝∠DBC，要依据“AAS”判定△ABC≌△DCB，则还需要添加的条件是 ∠A＝∠D ．
【分析】根据AAS添加∠A＝∠D即可．
解：∵∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，
∴添加∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DCB（AAS）；
故答案为：∠A＝∠D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟记AAS判定三角形全等是解本题的关键．
13．如图是由边长相等的两个正六边形和一个正方形组成，则∠ABC的度数是 150° ．
【分析】先求解正六边形与正方形的一个内角，再结合周角的含义可得答案．
解：∵正六边形的每一个内角为：，
正方形的每一个内角为：90°，
∴∠ABC＝360°﹣120°﹣90°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了正多边形的内角与外角的综合应用，掌握周角的含义是关键．
14．如图，直角坐标系中，已知A（1，3），B（﹣1，1），C（1，﹣2），请你在坐标系内找一点P（不与点B重合），使PA＝BA，PC＝BC，则点P的坐标是 （3，1） ．
【分析】以点A为圆心，AB为半径画圆，以点C为圆心，BC为半径画圆，两圆相交于点P，点P即为所求；根据全等三角形的性质得出点B和点P关于直线AC对称，即可解答．
解：∵PA＝BA，PC＝BC，AC＝AC，
∴△ABC≌△APC，
∵A（1，3），C（1，﹣2），
∴AC⊥x轴，
∴点B和点P关于直线AC对称，
∵B（﹣1，1），
∴P（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，直线DE分别交AC，BC于点F，G．若BC＝10，则GC＝ ．
【分析】连接AG，由等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，再求出∠BAG＝90°，可证，然后根据AC＝BG+CG＝10即可求解．
解：连接AG．
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°．
由作法知，DE是AC的垂直平分线，
∴AG＝CG，
∴∠CAG＝∠C＝30°，
∴∠BAG＝90°，
∴，
∵AC＝BG+CG＝10，
∴2CG+CG＝10，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性这些质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，CD⊥AB于点D，AE平分∠CAB，∠ABC的平分线交AE于点F．求∠ACD和∠EFB的度数．
【分析】由三角形内角和定理可得∠BAC＝60°，∠ACD＝30°，由角平分线的定义可求∠EAB，∠ABF的值，然后根据∠EFB＝∠ABF+∠EAB计算求解即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠ADC＝30°，
∵AE平分∠CAB，
∴，
∵BF平分∠ABC，
∴，
∴∠EFB＝∠ABF+∠EAB＝45°，
∴∠ACD的度数为30°，∠EFB的度数为45°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
17．如图，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点．求证：BE＝DC．
【分析】先证明AD＝AE，再利用SAS证明△ADC≌△AEB，从而可得结论．
【解答】证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴，，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴BE＝DC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，解题的关键是：先证明AD＝AE，再利用SAS证明△ADC≌△AEB，从而可得结论．
18．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，点E是BD上一点，AE＝CE，AE⊥CE，AB＝10，CD＝6，试求BD的长．
【分析】先通过角的等量代换得∠A＝∠CED，结合AE＝CE，证明△ABE≌△EDC，得BE＝DC＝6，DE＝AB＝10，即可作答．
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，AE⊥CE，
∴∠ABE＝∠EDC＝∠AEC＝90°
∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠A＝∠CED，
在△ABE和△EDC中，
，
∴△ABE≌△EDC（AAS），
∴BE＝DC＝6，DE＝AB＝10，
∴BD＝BE+DE＝16．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．如图，△ABC中，已知点A（﹣1，﹣3），B（﹣3，2），C（﹣4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；A1 （﹣1，3） ，B1 （﹣3，﹣2） ，C1 （﹣4，1） ．
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，B2，C2的坐标；A2 （1，﹣3） ，B2 （3，2） ，C2 （4，﹣1） （直接写出答案）．
（3）连接AO，A1A2．猜想：AO和A1A2，的数量关系： ．（直接写出答案）
【分析】（1）分别确定A，B，C关于x轴的对称点A1，B1，C1，再顺次连接，并根据其位置可得其坐标；
（2）分别确定A，B，C关于y轴的对称点A2，B2，C2，再顺次连接，并根据其位置可得其坐标；
（3）由A，A2关于y轴对称，可得OA＝OA2，由A1，A2关于原点对称，可得OA1＝OA2，从而可得答案．
解：（1）如图1，△A1B1C1即为所画的图形；
∴A1（﹣1，3），B1（﹣3，﹣2），C1（﹣4，1）；
故答案为：（﹣1，3），（﹣3，﹣2），（﹣4，1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所画的图形，
∴A2（1，﹣3），B2（3，2），C2（4，﹣1）；
故答案为：（1，﹣3），（3，2），（4，﹣1）；
（3）连接AO，A1A2．
∵A1（﹣1，3），A2（1，﹣3），A（﹣1，﹣3），
∴A1A2过点O，OA1＝OA2＝OA，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，坐标与图形，中心对称的性质与轴对称的性质，熟练的利用轴对称的性质并进行画图是解本题的关键．
20．作图题．
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5．
实践操作
（1）作∠ABC的平分线，交AC于点D；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
推理与计算
（2）设△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，试求S1：S2的值．
【分析】（1）先以B为圆心，任意长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，过这个交点与角的顶点画角平分线即可；
（2）作DE⊥BC于点E，证明AD＝DE，再利用三角形的面积公式列比例式即可．
解：（1）如图所示，
（2）作DE⊥BC于点E，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，
∴AD＝DE，而AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∵，，
∴．
【点评】本题考查的是作一个角的角平分线，角平分线的性质，熟练的作图是解本题的关键；
21．阅读下面材料并完成相应学习任务：
利用轴对称研究边与角之间的数量关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交BC于点E，则∠C＝∠ADE．
∵∠ADE＝∠B+∠DEB（依据1），
∴∠ADE＞∠B．
∴∠C＞∠B．
这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小．
类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小．
如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么可以将△ABC沿DE折叠，使点B与点C重合，则∠ABC＝∠ECD，
∴BE＝CE（依据2）．
在△ACE中，AE+EC＞AC（依据3），
∴AE+BE＞AC，即AB＞AC．
归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系．
任务一：上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？
依据1： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 ；
依据2： 等角对等边 ；
依据3： 三角形两边的和大于第三边 ．
任务二：
（1）如图3，在△ABC中，若∠C＝2∠B，请直接写出AC，CE，AB之间的等量关系 AC+CE＝AB ；
（2）如图4，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠C＝2∠B．求证：BD＝AC+CD．
【分析】任务一：依据1根据三角形外角的性质解答即可；
依据2根据等角对等边解答即可；
依据3根据三角形三条边的关系解答即可；
任务二：（1）利用翻折的性质得到∠ADE＝∠C，AD＝AC，DE＝CE，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定证明BD＝DE，进而可得出结论；
（2）在DB上截取DF＝DC，连接AF，证明△ADC≌△ADF得AC＝AF，∠C＝∠AFD，再证明FA＝FB即可得出结论．
【解答】任务一：解：依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；依据 2：等角对等边；依据3：三角形两边的和大于第三边．
故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等角对等边；三角形两边的和大于第三边；
任务二：
（1）解：AC+CE＝AB．
由折叠知：∠ADE＝∠C，AD＝AC，DE＝CE．
∵∠C＝2∠B，
∴∠ADE＝2∠B．
∵∠ADE＝∠B+∠DEB，
∴∠DEB＝∠B，
∴BD＝DE．
∵AB﹣AC＝AB﹣AD＝BD，
∴AB﹣AC＝CE，
∴AC+CE＝AB；
故答案为：AC+CE＝AB；
（2）证明：在DB上截取DF＝DC，连接AF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
在△ADC和△ADF中，
，
∴△ADC≌△ADF（SAS），
∴AC＝AF，∠C＝∠AFD，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AFD＝2∠B，
∵∠AFD＝∠B+∠BAF，
∴∠B＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴AC＝FB，
∵BD＝BF+FD，
∴BD＝AC+CD．
【点评】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
22．综合与实践
如图1，△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点F是BC上一点，连接FD，以FD为边作等边三角形FDE，连接CE．
（1）如图2，当点F与点B重合时，求证：AD＝CE．
（2）如图1，当点F与点B不重合时，试说明AD＝CE+BF．
（3）如图3，点F与点B重合，BC与DE交于点G，当点D是AC的中点时，若AB＝10，请直接写出BG的长．
【分析】（1）结合等边三角形的性质可得AB＝BC，BD＝BE，∠ABD＝∠CBE，可证明△ABD≌△CBE，即可；
（2）作FG∥AB交AC于点G，先证明△GFC是等边三角形，再证得△DFG≌△EFC，可得DG＝CE，即可；
（3）根据等边三角形的性质可得，再由勾股定理可得，然后根据等边三角形的性质可得，再由勾股定理，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC，△FDE是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）解：作FG∥AB交AC于点G，如图1，
∴∠GFC＝∠B，∠FGC＝∠A，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠GFC＝∠FGC＝∠ACB＝60°，
∴△GFC是等边三角形，
∴CG＝CF＝FG，∠CFG＝∠DFE＝60°，
∴AG＝BF，∠DFG＝∠CFE，
∵DF＝EF，
∴△DFG≌△EFC（SAS），
∴DG＝CE，
∵AD＝GD+AG，
∴AD＝CE+BF；
（3）解：∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，AB＝10，
∴，
∴，
∵△FDE是等边三角形，
∴，
∴∠DBG＝∠DBG＝30°，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，涉及了类比思想，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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