2021-2022学年山西省吕梁市交城县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山西省吕梁市交城县七年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 体积为的正方体棱长为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，已知，如果，那么的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，为了解决村民饮水困难，需要在河边建立取水点，下面四个点中哪个最方便作为取水点(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

5. 如图，点是平面直角坐标系中的一点，轴，轴，，，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，沿着正方形的边平移得到，已知，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 下列说法错误的是(    )

A. 同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有相交和平行
B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 有部分无理数不能用数轴上的点表示

8. 已知点，，线段的长度为(    )

A. 个单位长度 B. 个单位长度 C. 个单位长度 D. 个单位长度

9. 如图，要添加一个条件使，则下列选项中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 用“”表示一种新运算：对于任意正实数，例如，那么的运算结果为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 如图，直线，相交于点，并且，则的度数为______．

12. 已知直线，把一个直角三角板按如图方式摆放，点在直线上，点在直线上，，，则的度数为______．

13. 在，，，，，，中，无理数的个数是______．
14. 如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端，两点的坐标分别为，则叶柄底部点的坐标为______．

15. 如图，已知，和分别平分和，若，，则的度数为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：；
    解方程：．
17. 本小题分
    已知是的平方根，是的算术平方根，求的平方根；
    已知正数的平方根是和，若，求的值．
18. 本小题分
    已知点是平面直角坐标系中的点．
    若点在第四象限的角平分线上，求得值；
    若点在第三象限，且到两坐标轴的距离和为，请确定点的坐标．
19. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在网格格点上，其中点坐标为．
    请写出点，点的坐标；
    将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到请画出平移后的三角形，并写出的三个顶点的坐标；
    求的面积．

20. 本小题分
    在数学课上老师提出了如下问题：
    如图，，当与满足什么关系时，？
    小明解答这个问题的思路和步骤如下，请你在横线上把未写出的步骤补充完整，或者填写依据．
    解：满足的关系为：当时，．
    过点作
    ，______
    
    ______，
    
    ______
    
    ，______
    ______，______
    ______

21. 本小题分
    如图，已知，，，，平分．
    求证：；
    求的度数．

22. 本小题分
    先阅读下面的一段文字，再解答问题．
    已知：在平面直角坐标系中，任意两点，，其两点之间的距离公式为同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为或
    已知点，，试求，两点之间的距离；
    已知点，在垂直于轴的直线上，点的坐标为，，试确定点的坐标；
    已知点，，，请判断的形状，并说明理由．
23. 本小题分
    问题情境：如图，，，，求的度数．
    
    请你用两种不同的方法解答这个问题；
    问题迁移：如图，，点在直线上运动，，．
    当点在线段上运动时不与点，重合，、、之间有何数量关系？请说明理由．
    如果点在线段之外运动时，请你直接写出、、之间的数量关系．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：体积为的立方体棱长为．
故选：．
根据正方体体积公式，利用立方根定义表示出棱长即可．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则，平方根对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，平方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据对顶角相等可得，然后利用平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，设村庄为点，
由于，点到村庄的距离最近．
故选：．
根据“垂线段最短”进行分析判断．
本题主要考查了垂线段最短，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
 

5.【答案】 

【解析】解：轴，轴，，，
由图可知，点在第二象限，
，
故选：．
根据点的坐标特点解答即可．
本题考查了点的坐标，掌握点的坐标特点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，
由平移的性质可知：，，
四边形是平行四边形，
四边形的面积．
故选：．
根据正方形的性质和平移的性质可得四边形是平行四边形，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，平移的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有相交和平行，
选项的结论不符合题意；
同旁内角互补，两直线平行，
选项的结论不符合题意；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
选项的结论不符合题意；
实数与数轴上的点是一一对应的，即每个实数都能用数轴上的一个点表示，
选项的结论符合题意，
故选：．
利用同一平面内两直线的位置关系，平行线的判定定理，直线垂直的性质和实数与数轴上的点的一一对应关系对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了同一平面内两直线的位置关系，平行线的判定定理，直线垂直的性质和实数与数轴上的点的一一对应关系，正确利用上述定理与性质解答是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由点，，可知轴，
线段的长度为．
故选：．
由题意可知，轴，则线段的长度为．
本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是了解当两点纵坐标相等时，两点所在直线与轴平行；当两点横坐标相等时，两点所在直线与轴平行．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，根据同位角相等，两直线平行证得，故A符合题意；
B、，不能判定，故B不符合题意；
C、，不能判定，故C不符合题意；
D、，不能判定，故D不符合题意．
故选：．
根据平行线的判定方法逐一分析判断即可．
本题考查了平行线的判定，熟练应用判定定理是解题的关键，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式


．
故选：．
直接利用新定义，进而代入计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确运用新定义是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
．
．
故答案为：．
根据邻补角的定义解决此题．
本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角的定义是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先利用平角定义求出的度数，从而求出的度数，然后利用平行线的性质，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
在，，，，，，中，无理数有，，，共个．
故答案为：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像相邻两个中间依次多个，等有这样规律的数．
 

14.【答案】 

【解析】解：，两点的坐标分别为，，
得出坐标轴如下图所示位置：


点的坐标为．
故答案为：．
根据，的坐标确定出坐标轴的位置，点的坐标可得．
本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长交于点，延长交于点，

设，，
和分别平分和，
，，
，
，，
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
，，
，
解得：，
，
故答案为：．
延长交于点，延长交于点，设，，根据角平分线的定义可得，，然后利用平行线的性质可得，，，再利用三角形的外角性质可得，，最后列出关于，的方程组，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；

，
，
，
则，
解得：． 

【解析】直接利用绝对值的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案；
直接利用立方根的性质计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：是的平方根，
，，
解得：，
是的算术立方根，
，
解得：，
当，时，
，
的平方根为；
正数的平方根是和，
，，
则方程可化为，
解得：，
为正数，
． 

【解析】根据题意求出，，解出，的值代入中即可求解；
根据正数有两个平方根可得，，再将化简即可求解．
本题主要考查了平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方的定义是解题的关键．
 

18.【答案】解：点在第四象限的角平分线上，
，
；
点在第三象限，且到两坐标轴的距离和为，
，
，
，
，
 

【解析】根据第四象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，然后进行计算即可解答；
根据第三象限点的坐标特征为，然后列出方程进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
 

19.【答案】解：，；
如图，即为所求；

，，；
． 

【解析】根据平面直角坐标系即可写出点，点的坐标；
根据平移的性质即可将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到进而写出的三个顶点的坐标；
根据网格即可求的面积．
本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
 

20.【答案】两直线平行，同旁内角互补    已知  等量代换    内错角相等，两直线平行  如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 

【解析】解：过点作，
两直线平行，同旁内角互补，

，
，
已知，
，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；已知；等量代换；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
利用平行线的判定定理与性质对解答过程进行分析即可．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定定理与性质的掌握与运用．
 

21.【答案】证明：，
，
，
；
解：，
，
，
，
，，
，
，
，
平分，
，
． 

【解析】由已知条件可判定，即可证得；
由平行线的性质可得，从而可求得，再由平行线的性质可得，可求得，利用角平分线的定义可得，即可求的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．
 

22.【答案】解：，，
；
，在垂直于轴的直线上，
点与点的纵坐标相等，
设，
，
，
解得或，
或；
的形状为等腰三角形，
理由：，，，
，
，
，
，
的形状为等腰三角形． 

【解析】根据题目中两点间的距离公式，可以求得，两点之间的距离；
根据题意，可以设出点的坐标，再根据，即可得到点的坐标；
先判断的形状，再根据点，，，分别求出、、的长度，即可说明理由．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，会求两点间的距离．
 

23.【答案】解：方法一：如图，过点作，

，
，
，
，
．
方法二：如图，延长交于点，

，
，
，
，
，
．
如图，过点作，

，
，
，
，
．
当点在点的上方时：；
当点在点的下方时：． 

【解析】方法一：过点作，根据平行线的性质进行求解，方法二：延长交于点，根据三角形内角和定理求解；
过点作，根据方法一进行求解；
分两种情况讨论，根据平行线的性质即可求解，当点在点的上方时：，当点在点的下方时：．
本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．