专题21 解三角形-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义
展开专题21 解三角形
【考点预测】
1、角的关系
2、正弦定理
为的外接圆的直径）.
正弦定理的应用：
①已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若,已知角Ａ求角Ｂ.
若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3、余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
②已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边.
4、三角形面积公式
【典例例题】
例1．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·全国·高一专题练习）在中，角、、的对边分别为、、，其中有两解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例3．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·高三课时练习）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，，且，则______.
例5．（2023·高三课时练习）在中，三边长分别为，，，则的面积为______.
例6．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且a：b：c=3：5：7，则___________.
例7．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）在中，，，且，求：
(1)求的值；
(2)求的面积．
例8．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）在①，②D是边的中点且，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若__________，求的最大值．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
例9．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在平面四边形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E，且，.
(1)求BD的长；
(2)求的值.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在中，设命题p：，命题q：是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东·高三统考开学考试）在中，若，，，则（ ）
A．3 B． C． D．
4．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在中，角的对边分别为，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）的内角、、的对边分别为、、，已知，，的面积为，则等于（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，，，则（ ）
A．2 B． C．4 D．16
7．（2023秋·河南南阳·高三统考期末）在 中，角 的对边分别为 ，且．角A等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·高一课时练习）三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（ ）．
A．钝角三角形； B．锐角三角形； C．直角三角形； D．不能确定．
9．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为，，并测得，则教学楼AB的高度是（ ）
A．20米 B．米 C．米 D．25米
二、填空题
10．（2023·高一课时练习）在中，若， ，如果可解，则边a的取值范围是______．
11．（2023·高一课时练习）张老师在整理试题时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角的对边，已知，，求边．显然缺少条件，张老师打算补充条件，给出的大小，使得有两解，则可以给出的的范围是______．
12．（2023·高一课时练习）的外接圆半径为3，则______．
13．（2023·高三课时练习）在中，内角､､的对边分别为､､，若的面积为，则的值为___________.
14．（2023·高一课时练习）在锐角中，若a＝3，b＝4，三角形的面积为，则c＝______．
15．（2023·上海·高三专题练习）在中，已知，则的面积_______．
16．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角成等差数列，则___________.
17．（2023·全国·高一专题练习）在△中，角的对边分别为．，，，则_____________．
18．（2023·高三课时练习）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的值为___________.
19．（2023·高一课时练习）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，则一定为_____三角形．
20．（2023·全国·高三专题练习）若在中，，则面积S的取值范围是___________．
21．（2023·高一课时练习）已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______．
三、解答题
22．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边BC上，且．
(1)求BD；
(2)求的面积．
23．（2023秋·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）从①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面横线处并解答.
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____________.
(1)求角A；
(2)若，求面积的最大值.
24．（2023·全国·模拟预测）如图，四边形中，的面积为.
(1)求；
(2)求.
25．（2023·全国·高三专题练习）a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．
(1)求C；
(2)若c是a，b的等比中项，且的周长为6，求外接圆的半径．
26．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，
(1)求角A的大小：
(2)若，求△ABC的面积．
27．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，且．
(1)求；
(2)若角B的角平分线交AC于点D，，求△ABC的面积．
28．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．
(1)求A;
(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．
29．（2023春·湖北鄂州·高三校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且向量与向量共线.
(1)求；
(2)若的面积为，求的值.
30．（2023秋·广西钦州·高三校考阶段练习）中，角对应的边分别是，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，，求的值．
31．（2023·全国·高三对口高考）设的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且，，．
(1)求a的值；
(2)求的值．
32．（2023·全国·高三专题练习）记的面积为S，其内角的对边分别为，，，已知，．
(1)求；
(2)求面积的最大值．
33．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)如图，若D是外接圆的劣弧AC上一点，且．求AD．
34．（2023·全国·模拟预测）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若边上的高为，求.
35．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末） 的内角的对边分别为，设.
(1)求A；
(2)若，且 成等差数列，求的面积.
36．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）记的内角A，，的对边分别为，，，已知
(1)求证：；
(2)若，求的值.
37．（2023·北京·高三统考阶段练习）记中角所对的边分别为，已知，.
(1)求；
(2)若的周长为，求的面积.
38．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在中，点在边上，
(1)证明：；
(2)若，，求.
39．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.
(1)求B；
(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.
40．（2023·高一课时练习）为了测量对岸之间距离，在此岸边选取了相距1千米的两点，并测得．求之间的距离．
41．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知a，b，c为的内角A，B，C所对的边，向量，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，且，求线段的长.
42．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）在中，角所对的边分别为．已知且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
43．（2023秋·河南开封·高三统考期末），，分别为的内角，，的对边.已知.
(1)求；
(2)若，，求的周长.
44．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求a的值；
(2)若，求的值．
45．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知，，分别为的内角，，的对边，且
(1)求；
(2)若，的面积为，求，.
