新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题16极值与最值(原卷版+解析)

这是一份新高考数学第一轮复习讲义命题方向全归类(新高考专用)专题16极值与最值(原卷版+解析)，共62页。

命题方向一：求函数的极值与极值点
命题方向二：根据极值、极值点求参数
命题方向三：求函数的最值（不含参）
命题方向四：求函数的最值（含参）
命题方向五：根据最值求参数
命题方向六：函数单调性、极值、最值得综合应用
命题方向七：不等式恒成立与存在性问题
【2024年高考预测】
2024年高考仍然重点利用导数的极值与最值，恒能成立问题难度可为基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．特别注意同构式体系的知识，在近两年考查特别多．
【知识点总结】
一、函数极值的概念
设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点．
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
二、求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．
为可导函数的极值点；但为的极值点．
三、函数的最大值、最小值
若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
四、求函数的最大值、最小值的一般步骤
设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【方法技巧与总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
【典例例题】
命题方向一：求函数的极值与极值点
例1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值D．无极大值，无最大值
例2．（2023·全国·高三专题练习）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
例3．（2023·辽宁鞍山·高三校联考期中）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．有极小值，极大值B．有极小值，极大值
C．有极小值，极大值和D．有极小值，极大值
变式1．（2023·全国·高三对口高考）函数的极值点是（ ）
A．B．C．或或0D．
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的极小值为______．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为______．
【通性通解总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
命题方向二：根据极值、极值点求参数
例4．（2023·全国·高三对口高考）如果函数在处有极值，则的值为__________．
例5．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
例6．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____．
变式5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________．
变式6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是______.
变式7．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.
变式8．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若是函数的极小值点，则的取值范围为__________.
命题方向三：求函数的最值（不含参）
例7．（2023·云南·校联考模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．10B．5C．D．
例9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）函数在上的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
变式9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知为函数的极值点，则在区间上的最大值为（ ）（注：）
A．3B．
C．5D．
变式10．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）函数在区间 的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
命题方向四：求函数的最值（含参）
例10．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，其中．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)已知在上的最大值为，讨论关于x的方程在内的根个数，并加以证明.
例12．（2023·四川内江·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)若，曲线在处的切线过点，求的值；
(2)若，求在区间上的最大值.
变式11．（2023·北京·高考真题）已知函数
(1)求的单调减区间；
(2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
变式12．（2023·北京石景山·高三统考期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求a的值．
变式13．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值；
命题方向五：根据最值求参数
例13．（2023·四川·高三统考对口高考）如果函数的值域为，那么______．
例14．（2023·山东东营·高三胜利一中校考期末）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是____________．
例15．（2023·福建·高三校联考阶段练习）若函数（其中）存在最小值，则实数a的取值范围为______.
变式14．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，若存在，，使得在区间的最小值为－1且最大值为1，则符合条件的一组，的值为_________．
变式15．（2023·全国·高三专题练习）如果两个函数存在零点，分别为，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“2度零点函数”，则实数的最大值为___________.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数在上的最小值为1，则__________．
命题方向六：函数单调性、极值、最值得综合应用
例16．（2023·山东潍坊·三模）已知函数有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
例17．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
例18．（2023·山西晋中·统考三模）．
(1)讨论的单调性；
(2)，若有两个极值点，且，试求的最大值．
变式18．（2023·天津河东·高三天津市第七中学校考期中）已知函数在上单调递减．
(1)求的取值范围；
(2)令，，求在上的最小值．
变式19．（2023·江苏南京·模拟预测）已知函数，其中，.
(1)若，求的最小值；
(2)若，且有最小值，求的取值范围.
变式20．（2023·上海黄浦·高三校考阶段练习）已知函数，其中.
(1)求的单调区间；
(2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
命题方向七：不等式恒成立与存在性问题
例19．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A．－4B．－3C．－2D．－1
例20．（2023·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．B．0C．1D．3
例21．（2023·河北·统考模拟预测）若，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式21．（2023·四川南充·统考三模）已知函数使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式22．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【通性通解总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三对口高考）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）
A．，4B．4，C．，2D．2，
2．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
3．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，则的极大值为（ ）
A．-3B．1C．27D．-5
4．（2023·四川·高三统考对口高考）函数的极值点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2023·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（ ）
A．，3B．，3C．，2D．，2
6．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
7．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在处的切线为轴B．是上的减函数
C．为的极值点D．最小值为0
10．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点B．有两个极值点
C．的极小值为D．在上的最大值为
11．（2023·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．的解集为
D．，都有
12．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
三、填空题
13．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则的极大值点为__________.
14．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.
15．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数有三个零点，则a的取值范围是______.
16．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数，若（），则的最大值为______.
四、解答题
17．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知函数.
(1)求出函数的单调区间；
(2)若，求的最小值.
18．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知，不等式的解集为.
(1)求集合；
(2)，不等式恒成立，求正实数的最小值.
19．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最大值．
20．（2023·广西防城港·高三统考阶段练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.
21．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数，在处取得极小值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
22．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，（a为常数，e为自然对数的底）．
(1)当时，求；
(2)若在时取得极小值，试确定a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将a换元为x，试判断曲线是否能与直线（m为确定的常数）相切，并说明理由．
专题16极值与最值
【命题方向目录】
命题方向一：求函数的极值与极值点
命题方向二：根据极值、极值点求参数
命题方向三：求函数的最值（不含参）
命题方向四：求函数的最值（含参）
命题方向五：根据最值求参数
命题方向六：函数单调性、极值、最值得综合应用
命题方向七：不等式恒成立与存在性问题
【2024年高考预测】
2024年高考仍然重点利用导数的极值与最值，恒能成立问题难度可为基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题．特别注意同构式体系的知识，在近两年考查特别多．
【知识点总结】
一、函数极值的概念
设函数在点处连续且，若在点附近的左侧，右侧，则为函数的极大值点；若在附近的左侧，右侧，则为函数的极小值点．
函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
二、求可导函数极值的一般步骤
（1）先确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．
为可导函数的极值点；但为的极值点．
三、函数的最大值、最小值
若函数在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
四、求函数的最大值、最小值的一般步骤
设是定义在区间上的函数，在可导，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行：
（1）求函数在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【方法技巧与总结】
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
（5）对于任意的，总存在，使得；
（6）对于任意的，总存在，使得；
（7）若存在，对于任意的，使得；
（8）若存在，对于任意的，使得；
（9）对于任意的，使得；
（10）对于任意的，使得；
（11）若存在，总存在，使得
（12）若存在，总存在，使得．
【典例例题】
命题方向一：求函数的极值与极值点
例1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数在区间上的最大值为k，则函数在上（ ）
A．有极大值，无最小值B．无极大值，有最小值
C．有极大值，有最大值D．无极大值，无最大值
【答案】D
【解析】由，则时，时，
所以在上递增，上递减，
而，在上的最大值为k，
所以，即，此时在上递减，且无极大值和最大值.
故选：D
例2．（2023·全国·高三专题练习）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
【答案】D
【解析】当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
故三次函数在上单调递增，在上单调递减，
可得的极大值为，极小值为.
故选：D.
例3．（2023·辽宁鞍山·高三校联考期中）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．有极小值，极大值B．有极小值，极大值
C．有极小值，极大值和D．有极小值，极大值
【答案】D
【解析】观察图象知，当时，或且，当时，或，
而当时，，当时，，因此当或时，，
当时，，当且仅当时取等号，则在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，极大值，A，B，C不正确；D正确.
故选：D
变式1．（2023·全国·高三对口高考）函数的极值点是（ ）
A．B．C．或或0D．
【答案】D
【解析】，令有或或0，
但当取或左右邻域的值时，同号，故函数的极值点是.
故选：D
变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的极小值为______．
【答案】/-0.5
【解析】函数的定义域为，
，
令，即，得，
令，即，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故当时，函数取得极小值，极小值为．
故答案为: .
变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在x＝1处取得极值，则函数的一个极大值点为______．
【答案】(答案不唯一）
【解析】因为，所以，则，解得a＝1，则，所以，
由，得到或，，
由，得到，，
由，得到，，所以的极大值点为，，
当k＝0时，，故的一个极大值点为（答案不唯一，满足，即可）.
故答案为：.
【通性通解总结】
1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．
命题方向二：根据极值、极值点求参数
例4．（2023·全国·高三对口高考）如果函数在处有极值，则的值为__________．
【答案】2
【解析】因为函数在处有极值，
所以，.
由于，所以.
，
解得：或.
当时，，
，所以单调递减，无极值.
所以.
故答案为：2
例5．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数在和，两处取得极值，且，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，则，
令，且，整理得，
原题意等价于与有两个不同的交点，
构建，则，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递增，在上单调递减，且，
由图可得：若与有两个不同的交点，可得：，
因为，则，
由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小，
取，令，则，
因为，解得，
所以，则，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
例6．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
【答案】
【解析】因为，所以，
为二次函数，且对称轴为，
所以函数在单调递增，
则函数在单调递增，
因为函数在上有极值，
所以在有解，
根据零点的存在性定理可知，即，
解得，
故答案为：.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）若在上存在极值，则数m的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由题得，
要使在上存在极值，则在上有解．
因为当时，，
令，则，
设，则，在上单调递增，
，
又恒成立，故m的取值范围为．
故答案为：
变式5．（2023·全国·高三对口高考）已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意当时不成立，当时有两个零点与.
①当时，开口向上，且，故当时，时，在处取到极大值；
②当时，开口向下；
当时，，无极大值；
当时，在区间上，上，故在处取到极大值；
当时，在区间上，上，故在处取到极小值.
综上有或.
故答案为：
变式6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】函数的定义域为，导函数，
由已知有两个不相等的正实数根，
所以有两个不相等正实数根，
令，则，
由，得.
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
又，，
当时，，当时，，
当时，，
由以上信息可得，函数的图象大致如下：

所以a的取值范围是.
故答案为：.
变式7．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】，
因为是的极小值点，所以，解得.
所以
.
当时，，
，，为减函数；，，为增函数，
所以是的极小值点，符合条件.
当时，令，解得或.
当时，，，为增函数；
，，为减函数；
，，为增函数，
所以是的极小值点，符合条件.
当，即时，，
则在R上为减函数，无极值点，舍去.
当时，即，
，，为减函数；
，，为增函数；
，，为减函数，
所以是的极大值点，舍去.
当时，即，
，，为减函数；
，，为增函数；
，，为减函数，
所以是的极小值点，符合条件.
综上，a的取值范围为.
故答案为：.
变式8．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若是函数的极小值点，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】，
因为是的极小值点，
所以，即，从而
.
当时，，
当时，单调递减；
当时，单调递增，符合题意；
当时，令，得，
若是的极小值点，则，解得.
综上，的取值范围.
故答案为：.
命题方向三：求函数的最值（不含参）
例7．（2023·云南·校联考模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点是函数图象上的点，点是直线上的点，
则可以转化为，两点之间的距离，
即，
因为，设函数在点处的切线与直线平行，
则直线的斜率为1，可得，整理得，
令，则，当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，，当时，
所以有且仅有一个零点，
∴方程有且仅有一个解，则，
故的最小值为点到直线的距离，
即的最小值为.
故选：A.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．10B．5C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，因为，所以，
即在上单调递增，所以，，
所以，所以，
因为是奇函数，关于原点对称，所以关于中心对称，
易知点在圆的内部，因为点到坐标原点的距离为，
所以所求最短弦长为.
故选：D.
例9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）函数在上的最小值是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以当时，函数值为0，当时，函数值为，所以其最小值为0.
故选：C.
变式9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知为函数的极值点，则在区间上的最大值为（ ）（注：）
A．3B．
C．5D．
【答案】B
【解析】，由于是的极值点，
所以，
此时，
所以在区间递减；在区间递增.
所以是极小值点，符合题意.
，，
由于，
所以在区间上的最大值为.
故选：B
变式10．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）函数在区间 的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】 ，当 时， ， 单调递增，
当 时 单调递减，当 时， 单调递增；
， ；
故选：D.
命题方向四：求函数的最值（含参）
例10．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，其中．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【解析】（1）当时，，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）依题意，，而，则，
①当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，
则，；
②当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递减，
则，；
③当时，函数在上单调递增，由，得，当时，递减，
当时，递增，，
由，得，，
由，得，，
所以当时，的最小值是，最大值是；
当时，的最小值是，最大值是；
当时，的最小值是，最大值是；
当时，的最小值是，最大值是．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)已知在上的最大值为，讨论关于x的方程在内的根个数，并加以证明.
【解析】（1）因为，所以，而
，所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）当时，有，则.
当时，，不符合题意；
当时，，则在上单调递减，即，不符合题意；
当时，，则在上单调递增，
即，解得.
令，则在上单调递增.
因为，所以在内存在唯一的零点.
当时，，
令，则，
所以当时，有，则，即在上单调递减，
因为，
所以在内存在唯一零点，即，
所以当时，，即在上单调递增，
所以有，即在内无零点，
当时，，所以在上单调递减.
因为，所以在内有且仅有一个零点.
综上，关于x的方程在内有两个不相等的实数根.
例12．（2023·四川内江·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)若，曲线在处的切线过点，求的值；
(2)若，求在区间上的最大值.
【解析】（1）当时，，，
，，
所以，曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程可得，
整理可得，解得或.
（2）因为且，，则，
①当时，对任意的，且不恒为零，
此时函数在上单调递增，当时，；
②当时，，当时，；当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，
故当时，.
综上所述，当时，.
变式11．（2023·北京·高考真题）已知函数
(1)求的单调减区间；
(2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【解析】（1）由，求导可得,
由，可得或，
所以函数的单调减区间为，；
（2）因为，
令，解得或可得下表：
则，分别是在区间上的最大值和最小值，
所以，解得，
从而得函数在上的最小值为.
变式12．（2023·北京石景山·高三统考期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求a的值．
【解析】（1）因为，，
所以，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程，即．
（2）函数的定义域为，
所以，，
所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，
当时，时，，单调递减；时，，单调递增，
综上，当时，增区间为，无减区间；
当时， 减区间为，增区间为.
（3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增.
所以，
因为，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，，
因为和有相同的最小值，
所以，即，
令，，
令，，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
所以，在上单调递增，
因为，
所以，等价于
变式13．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值；
【解析】（1）当时，，
∴，
∴，，
所以曲线在点处的切线方程为，即
（2）由，可得，
由，可得，
当，即时，时，恒成立，单调递增，
所以函数在区间上的最小值为；
当，即时，时，恒成立，单调递减，
所以函数在区间上的最小值为；
当，即时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以函数在区间上的最小值为；
综上，当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为；
命题方向五：根据最值求参数
例13．（2023·四川·高三统考对口高考）如果函数的值域为，那么______．
【答案】1
【解析】，当时，，为减函数，，显然不合题意；
当时，时，，此时为减函数，时，，此时为增函数，所以；
因为函数的值域为，所以，解得.
故答案为：1.
例14．（2023·山东东营·高三胜利一中校考期末）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由题意，得．
由，得或，
则在区间和上单调递增，
由，得，
则在区间上单调递减，
所以，即解得．
故答案为：.
例15．（2023·福建·高三校联考阶段练习）若函数（其中）存在最小值，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】，
①若，根，单调递减，无最小值，不符合题意；
②若，令，解得在上递减，上递增，
，
所以符合题意；
③若，则，单调递增，无最小值，不符合题意；
综上所述：.
故答案为：.
变式14．（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数，若存在，，使得在区间的最小值为－1且最大值为1，则符合条件的一组，的值为_________．
【答案】a=4，b=1（答案不唯一）
【解析】，，不妨令，在区间[0，1]上恒成立，在区间[0，1]上单调递减，此时要满足题意则，解得．符合条件的一组a，b的值为：
故答案为：a=4，b=1
变式15．（2023·全国·高三专题练习）如果两个函数存在零点，分别为，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“2度零点函数”，则实数的最大值为___________.
【答案】
【解析】函数的零点为3，设函数的零点为，则.，令，，；，即函数在上单调递增，在上单调递减，，即实数的最大值为.
故答案为：
变式16．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】，
令 解得；令 ，解得或
由此可得在上时增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
，解得
故答案为：
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数在上的最小值为1，则__________．
【答案】1
【解析】由题意得，
当，即时，，在上递增，
故，解得；
当，即时，当 时，，递减，
当 时，，递增，
故，解得，不符合，舍去，
综上，.
故答案为：1
命题方向六：函数单调性、极值、最值得综合应用
例16．（2023·山东潍坊·三模）已知函数有两个极值点．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：．
【解析】（1）由函数有两个极值点，
即函数有两个零点，不妨设，
因为，令，可得，
令，解得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，可得，
又由，所以存在，使得，
令，可得，
令，可得，
所以在上单调递增，且,即，
所以在上单调递增，
又由，所以在上恒成立，
又由，
所以存在，使得，
所以实数的取值范围是．
（2）由（1）得，不妨设，
则，即，
要证，即证，即，
只需证，则，即，
即，令，可得，
因为，可得，
所以在上为增函数，则，
即，所以.
例17．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数和有相同的最大值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【解析】（1），
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
由，
当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，函数有最大值，即；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，
于是有.
（2）由（1）知，两个函数图象如下图所示：
由图可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设
且，
由，又，
又当时，单调递增，所以，
又，又，
又当时，单调递减，所以，
；
于是有.
例18．（2023·山西晋中·统考三模）．
(1)讨论的单调性；
(2)，若有两个极值点，且，试求的最大值．
【解析】（1）由题意得，
令，得两根为和．
当时，令，得，令，得，
于是在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
于是在上单调递减，在上单调递增．
（2）由题意得，则．
令，则有两个不等正根，
于是，且，，即，
又，于是，且．
则
，
令，
则．
令，则，于是在单调递增，在单调递减，
故，
即的最大值为.
变式18．（2023·天津河东·高三天津市第七中学校考期中）已知函数在上单调递减．
(1)求的取值范围；
(2)令，，求在上的最小值．
【解析】（1），
若 在 上单调递减, 则 在 上恒成立.；
而 , 只需 在 上恒成立.；
于是 ,解得 .
（2）
则，
令，则，，
当时，即时， 在上成立,
此时在上单调递增,有最小值 ;
当 即 时,
当 时有 ,此时在 上单调递减,
当 时，有, 此时 在 上单调递增,
有最小值;
当 即时, 在上成立,
此时在上单调递减,有最小值 .
综上：当，最小值;
，最小值
，最小值
变式19．（2023·江苏南京·模拟预测）已知函数，其中，.
(1)若，求的最小值；
(2)若，且有最小值，求的取值范围.
【解析】（1）函数，其中，，函数定义域为，
，，解得；，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
∴，
有，
设，函数定义域为，有
，，解得；，解得，
在上单调递增，在上单调递减速，∴，
有，∴，，即
，当时的最小值为.
（2）若， 即，设，
，∴，是的最小值也是极小值，
，，则，
所以，有最小值，则有，即，得到的取值范围为
变式20．（2023·上海黄浦·高三校考阶段练习）已知函数，其中.
(1)求的单调区间；
(2)当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为，，
当时，由可得，由可得或，
所以，函数的单调递增区间为、，减区间为.
（2）因为，则，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
因为，，则，
所以，，令.
①若，则，
，故函数在上单调递减，此时；
②若，则.
综上所述，的取值范围是.
命题方向七：不等式恒成立与存在性问题
例19．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知，为实数，不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A．－4B．－3C．－2D．－1
【答案】C
【解析】设，，
当时，，函数在上单调递增，
此时，在不恒成立，不合题意
当时，
时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
所以在时取得最大值，
由题意不等式在恒成立，只需
即，
所以，
，
设，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以在取得最小值为，
所以最小值为，
故选：C
例20．（2023·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】B
【解析】因为对于任意恒成立，
等价于对于任意恒成立，
令，，则，
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在有且仅有一个根，满足，即，
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以，
由对勾函数可知，即，
因为，即，，，所以，
当时，不等式为，因为，不合题意；
所以整数的最大值为0.
故选：B
例21．（2023·河北·统考模拟预测）若，不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，不等式等价于，
即，即
构造函数，则，在上单调递增，
所以，于是，则，
即，
设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，解得.
故选：A.
变式21．（2023·四川南充·统考三模）已知函数使（为常数）成立，则常数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，在定义域上单调递增，
又使（为常数）成立，
显然，所以不妨设，则，
即，
令，，则，即函数在上存在单调递增区间，
又，则在上有解，
则在上有解，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，所以，即常数的取值范围为.
故选：C
变式22．（2023·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】不妨设，则，，
则．令，
则，记，则
所以在上单调递增，由，可得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
故选：A
变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得．
令，，
又∵，当时，，单调递增．
当时，，单调递减．
∴，
∴，即．
故选：D.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对任意，，都有不等式成立，
，，，则在区间上单调递增，
∴，
，，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减，
，，故，
综上，.
故选：C
【通性通解总结】
在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三对口高考）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）
A．，4B．4，C．，2D．2，
【答案】C
【解析】，
令，得，
当，，函数单调递增，当，，函数单调递减，
当，，函数单调递减，当，函数单调递增，
所以函数的极大值点是，函数的极小值点是.
故选：C
2．（2023·贵州遵义·统考三模）已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】，
有，得，
所以.
故选：B
3．（2023·河北·高三校联考阶段练习）已知函数，则的极大值为（ ）
A．-3B．1C．27D．-5
【答案】C
【解析】因为，所以，
则，解得，
故，，
当或时，，当时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值27.
故选：C
4．（2023·四川·高三统考对口高考）函数的极值点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】由题意得，，
令得，令得，令得，
故为函数的极小值点，
即函数的极值点个数为1个.
故选：B
5．（2023·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（ ）
A．，3B．，3C．，2D．，2
【答案】B
【解析】因为,所以为偶函数，
当时，，.
易知当时,，，则，在[0，π]上单调递增，
所以，，
故选:B
6．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知， ，
而 ，
所以，即 ，所以 ，
因此当时，,故函数在递增；时，,
故函数在上递减，时取最大值，满足题意，即有 ；
故选：C．
7．（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】1.因为，则，
若在上单调递增，则在上恒成立，
即恒成立，则，解得；
2.因为，则，
①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增，
此时只有最大值，没有最小值不满足题意；
②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减，
此时只有最小值，没有最大值不满足题意；
③当时，令，解得；令，解得；
则在单调递增，在单调递减，所以为最小值，
若在上既有最大值，又有最小值，
则且，解得：；
综上所述：．
故选：B.
8．（2023·西藏林芝·统考二模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题可知，，
因为有两个不同的极值点，所以且，
若，则，，当时，，即，即，即，
设（），则，所以在上单调递减，则，则，所以.
若，则，，当时，，即，若，则当时，，不满足题意，
所以，此时，即.
设（），则，解得，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，则有解得，所以.
综上，的取值范围是.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．在处的切线为轴B．是上的减函数
C．为的极值点D．最小值为0
【答案】ACD
【解析】由题意知，故，
故在处的切线的斜率为，而，
故在处的切线方程为，即，
所以在处的切线为轴，A正确；
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，B错误；
由此可得为的极小值点，C正确；
由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，
最小值为，D正确，
故选：
10．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是的极小值点B．有两个极值点
C．的极小值为D．在上的最大值为
【答案】ABD
【解析】因为，所以，
当时，；当时，，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，
则有两个极值点，B正确；
且当时，取得极小值，A正确；
且极小值为，C错误；
又，，所以在上的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11．（2023·海南省直辖县级单位·高三嘉积中学校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．的解集为
D．，都有
【答案】ACD
【解析】②当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对.
②时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对.
③时，令,解得；时，令，解得，故的解集为，所以C对.
④当时，，，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，且当时，，时，所以
由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对.
故选:ACD
12．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数的定义域为是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A．B．是的极大值点
C．是的极小值点D．是的极大值点
【答案】BC
【解析】是的极大值点．则存在区间，，对任意有，不一定是最大值，A错误；
的图象与的图象关于轴对称，因此，对任意有，是的极大值点，B正确；
的图象与的图象关于轴对称，因此对任意有，C正确；
由BC的推理可知是的极小值点，D错误．
故选：BC．
三、填空题
13．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则的极大值点为__________.
【答案】
【解析】，
令，得，或；令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值点为.
故答案为：.
14．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由有两个不同实根，
且，
设，
当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，所以，
显然当时，，当时，，
图象如下：
所以有，则有，
当时，即.，
时，，
故答案为：
15．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数有三个零点，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】由得，，
所以若函数有三个零点，则方程有三个根，
设，则，
令得，或，
当时，，递减，
当时，，递增，
当时，，递减，
又，
作出函数的大致图像，如图，
由图可知，当时，函数有三个零点.

故答案为：.
16．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数，若（），则的最大值为______.
【答案】
【解析】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，则，
可得，则，
令，则，
令，则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
故答案为：
四、解答题
17．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知函数.
(1)求出函数的单调区间；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1）函数的定义域为，
，
令，则或时，令，则时，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2），
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
18．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知，不等式的解集为.
(1)求集合；
(2)，不等式恒成立，求正实数的最小值.
【解析】（1）由得，且，解得，
即原不等式的解集；
（2）由（1）知，
∴即为恒成立，
则恒成立，
设，
∵在小于零，∴h(x)单调递减，
所以，∴，
即正实数的最小值为.
19．（2023·全国·高三专题练习）函数在区间上的最大值．
【解析】由，
所以，
当时，，
所以，
则在单调递减，
所以.
故答案为：.
20．（2023·广西防城港·高三统考阶段练习）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.
【解析】（1），
令，解得：，令，解得：，
故在上递增，在上递减，
∴的极大值为，无极小值.
（2）若对任意，都有成立，
则对任意恒成立，
令，则，
令，，则，
∴在上递增，即，∴在上恒成立，
∴在上递增，故，故，即的取值范围是.
21．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知函数，在处取得极小值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
【解析】（1）∵，则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，且，
令，解得：，
则当变化时，的变化情况如下表：
故符合题意，即.
（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值2.
（3）∵函数在时，，在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
22．（2023·全国·高三对口高考）已知函数，（a为常数，e为自然对数的底）．
(1)当时，求；
(2)若在时取得极小值，试确定a的取值范围；
(3)在（2）的条件下，设由的极大值构成的函数为，将a换元为x，试判断曲线是否能与直线（m为确定的常数）相切，并说明理由．
【解析】（1）当时，，求导得，
所以.
（2）函数的定义域为R，求导得，
由，得或，若，即时，怛成立，
此时在区间上单调递减，没有极小值；
当，即时，由，得或，由，得，
因此是函数的极小值点，
当，即时，由，得或，由，得，
因此是函数的极大值点，
所以使函数在时取得极小值的的取值范围是.
（3）由（2）知，当时，是的极大值点，极大值为，
因此，求导得，
令，求导得恒成立，即在上是增函数
，于是，恒有成立，
即在曲线上任意一点处的切线斜率都小于1，而直线的斜率为，
所以曲线不能与直线相切.减
极小值
增
极大值
减