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第22章 一元二次方程(22.2.4~22.3)周测 (含答案)
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这是一份第22章 一元二次方程(22.2.4~22.3)周测 (含答案),共21页。
周测四(22.2.4~22.3)
知识互动点对典
22.2.4.一元二次方程根的判别式
知识点一 一元二次方程根的判别式
1. (2021·洛阳汝阳期末)方程(m﹣2)x2﹣x+=0有两个实数根,则m的取值范围( B )
A.m> B.m≤且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
2. (2020·南阳南召期中)若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围
知识点二 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
3. (2021·驻马店新蔡期末)定义运算:m☆n=mn2-mn-1.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( A )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
4. (2020·南阳卧龙期末)下列一元二次方程,有两个不相等的实数根的是(B)
A. B.
C. D.
5.(2020·周口商水期末)已知关于的方程,下列说法正确的是(C)
A. 当时,方程无解
B. 当时,方程有一个实数解
C. 当时,方程有两个相等的实数解
D. 当时,方程总有两个不相等的实数解
6.(2021·洛阳偃师期中)已知k为实数,关于x的方程为x2+kx﹣4k﹣16=0.
(1)试判断这个方程根的情况.
(2)是否存在实数k,使这个方程两个根为连续偶数?若存在,求出k及方程的根;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵△=k2+4(4k+16)=k2+16k+64,
而无论k为何实数,总有(k+8)2≥0,
∴原方程总有两个实数根.
(2)存在实数k,使方程两个根为连续偶数.
由(1),得原方程的根为,
解得x1=4,x2=﹣k﹣4.
当﹣k﹣4=6,得k=﹣10;
当﹣k﹣4=2,得k=﹣6,
∴存在实数﹣10,﹣6,使原方程两个根为连续偶数.
22.2.5.一元二次方程的跟与系数的关系
知识点一 一元二次方程的根与系数的关系
7.(2020·鹤壁期中)已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根,则m的值是(A)
A.34
B.30
C.30或34
D.30或36
8.(2020·周口沈丘期末)已知关于的一元二次方程的一个根是,则的值为__-2____;另一个根是_-3__.
知识点二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
9.(2021·洛阳偃师期中)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,其中一个根为另一个根的,则称这样的方程为“半根方程”.例如方程x2﹣6x+8=0的根为的x1=2,x2=4,则x1=x2,则称方程x2﹣6x+8=0为“半根方程”.若方程ax2+bx+c=0是“半根方程”,且点P(a,b)是函数y=x图象上的一动点,则的值为 .
10.(2020·鹤壁期中)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1).
(1)试证明:无论p取何值此方程总有两个实数根;
(2)若原方程的两根x1,x2,满足x12+x22-x1x2=3p2+1,求p的值.
解:(1)证明:原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0.
∵△=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0,
∴无论p取何值此方程总有两个实数根;
(2)∵原方程的两根为x1、x2,
∴x1+x2=5,x1x2=6-p2-p.
又∵x12+x22-x1x2=3p2+1,
∴(x1+x2)2-3x1x2=3p2+1,
∴52-3(6-p2-p)=3p2+1,
∴25-18+3p2+3p=3p2+1,
∴3p=-6,
∴p=-2.
易错训练一对一
易错点.忽视对根判别式情况的讨论
(2021·驻马店新蔡期中)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2(m﹣3)x+m2+1=0的两个根.
(1)当m取何值时,原方程有两个不相等的实数根?
(2)若以x1,x2为对角线的菱形边长是,试求m的值.
解:(1)由题意,得△=[2(m﹣3)]2﹣4(m2+1)=32﹣24m,
要使方程有两个不相等的实数根,需要△>0,
即32﹣24m>0,解得m<,
即m<时,方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2(m﹣3)x+m2+1=0的两个根,
∴x1+x2=﹣2(m﹣3),x1•x2=m2+1.
∵x1,x2为菱形的对角线,
∴x1,x2互相垂直并且平分,
∴(x1)2+(x2)2=3,
∴x12+x22=12,
∴(x1+x2)2﹣2x1•x2=12,
∴(x1+x2)2﹣2x1•x2=12,
∴[﹣2(m﹣3)]2﹣2(m2+1)=12,
∴m2﹣12m+11=0,
解得m1=1,m2=11.
∵m<,
∴m2=11不合题意,舍去,
∴m的值为1.
知能提升面对面
1. (2021·南阳镇平期中)一元二次方程x2﹣8x+20=0的根的情况是( A )
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.有两个不相等的实数根
2. (2020·周口沈丘期末)若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根,那么k的取值范围是( B )
A.k>-且k≠0 B.k>-且k≠0
C.k≥-且k≠0 D.k<-且k≠0
3. (2021·洛阳偃师期中)设方程x2+x﹣2=0的两个根为α,β,那么α+β﹣αβ的值等于( C )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
4. (2016•河南中考)已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根,若k为非负整数,则k等于( B )
A.0 B.1 C.0或1 D.
5. 定义运算:m☆n=mn2﹣mn﹣1.例如:4☆2=4×22﹣4×2﹣1=7.则方程1☆x=0的根的情况为( A )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.无实数根 D.只有一个实数根
6. (2021·驻马店上蔡期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的图象可能是 ( B )
A. B.
C. D.
7.若是一元二次方程的根,则判别式△和完全平方式的关系是:△ .(填“”“ ”或“”
解:是一元二次方程的根,
,即,
△,
,
则△.
故答案为:.
8.已知一周长为11的等腰三角形(非等边三角形)的三边长分别为、、5,且、是关于的一元二次方程的两个根,则的值为 3或7 .
解:关于的一元二次方程有两个实数根,
△,解得;
若5是等腰三角形的腰的长度,则另外两边分别为5、1,此时三角形三边为1、5、5,符合三角形三边条件,
所以关于的一元二次方程的两个根为1、5,
则,即;
若5是等腰三角形的底边长度,则另外两边的长度为3、3,此时三角形三边的长度为3、3、5,符合三角形三边条件,
则,即;
综上,的值为3或7,
故答案为:3或7.
9. (2021·南阳南召期中)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数有 1或2 .
10. (2020·新乡辉县期末)关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围;
(2)如果是符合条件的最大整数,且一元二次方程与方程有一个相同的根,求此时的值.
解:(1)根据题意得,
解得;
(2)的最大整数为2,
方程变形为,解得,
∵一元二次方程与方程有一个相同的根,
∴当时,,解得;
当时,,解得,
而,
∴的值为.
11. (2021·南阳南召期中)关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根,求的值.
解:
=×
=×=﹣.
∵关于x的方程x2﹣ax+a+1=0有两个相等的实数根,
∴△=0,即(﹣a)2﹣4(a+1)=0,
∴a2﹣4a=4,
∴原式=﹣=﹣.
12.若,则我们把形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
(1)当,时,写出相应的“勾系一元二次方程”;
(2)求证:关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根.
(1)解:当,时,,相应的勾系一元二次方程为;
(2)证明:根据题意,得△
即△
勾系一元二次方程必有实数根.
13.已知,是关于的一元二次方程的两实数根.
(1)若方程有两个相等实数根,求的值;
(2)已知等腰的一边长为7,若,恰好是另外两边的边长,求这个三角形的周长.
解:(1)根据题意得△,解得;
(2)当腰长为7时,则是一元二次方程的一个解,
把代入方程得,
整理得,解得,,
当时,,解得,而,故舍去;
当时,,解得,则三角形周长为;
当7为等腰三角形的底边时,则,所以,方程化为,解得,则,故舍去,
综上所述,的值是4,这个三角形的周长为17.
14.已知:平行四边形的两边,的长是关于的方程的两个实数根.
(1)当为何值时,平行四边形是菱形?求出这时菱形的边长;
(2)若的长为1,那么平行四边形的周长是多少?
解:(1)四边形是菱形,.
又、的长是关于的方程的两个实数根,
△,
,
当为1时,四边形是菱形.
当时,原方程为,即,
解得:,
菱形的边长是.
(2)把代入原方程,得:,
解得:.
将代入原方程,得:,
解得或,
方程的另一根,
的周长是.
15.已知关于的一元二次方程.
(1)若该方程有两个实数根,求的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根为,,且,求的值.
解:(1)关于的一元二次方程有两个实数根,
,
解得:,
即的取值范围是;
(2),,
,
,
,即,
解得或.
,
.
故的值为2.
16.(2020秋•焦作市期末)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b﹣a)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
【分析】(1)将x=﹣1代入方程中,化简即可得出b=c,即可得出结论;
(2)利用一元二次方程有两个相等的实数根,用△=0建立方程,即可得出a2+c2=b2,进而得出结论;
(3)先判断出a=b=c,再代入化简即可得出方程x2+x=0,解方程即可得出结论.
解:(1)△ABC是等腰三角形,
理由:当x=﹣1时,(a+b)﹣2c+(b﹣a)=0,∴b=c,∴△ABC是等腰三角形,
(2)△ABC是直角三角形,
理由:∵方程有两个相等的实数根,
∴△=(2c)2﹣4(a+b)(b﹣a)=0,∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形;
(3)∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c,∴原方程可化为:2ax2+2ax=0,
即:x2+x=0,∴x(x+1)=0,∴x1=0,x2=﹣1,
即:这个一元二次方程的根为x1=0,x2=﹣1.
周测五(22.3)
22.3 实践与探索
知识互动点对典
21.1 二次根式
知识点一 图形面积问题
1. (2021·南阳邓州期中)在一幅长为70cm,宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是4800cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是( B )
A.x2+110x﹣1000=0 B.x2+55x﹣500=0
C.x2﹣110x﹣1000=0 D.x2﹣55x﹣500=0
2. (2021·驻马店上蔡期中)现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m2,那么小道的宽度应是 2 m.
知识点二 变化率问题
3. (2021·南阳镇平期中)近几年,手机支付用户规模增长迅速,据统计2016年手机支付用户约为4.69亿人,连续两年增长后,2018年手机支付用户达到约5.83亿人,如果设这两年手机支付用户的年均增长率为x,则根据题意可以列出方程为( C )
A.4.69(1+x)=5.83 B.4.69(1+2x)=5.83
C.4.69(1+x)2=5.83 D.4.69(1﹣x)2=5.83
4.(2021·新乡辉县期中)某型号的手机连续两次降价,每个售价由原来的1185元降到了580元,设平均每次降价的百分率为x,列出方程正确的是( D )
A.580(1+x)2=1185 B.1185(1+x)2=580
C.580(1﹣x)2=1185 D.1185(1﹣x)2=580
知识点三 销售问题
5. (2021·洛阳偃师期中)某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件100元降到每件64元,则平均每次降价的百分率为( D )
A.15% B.40% C.25% D.20%
6. (2021·洛阳偃师期中)某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况.
小张:“该商品的进价为24元/件.”
成员甲:“当定价为40元/件时,每天可售出480件.”
成员乙:“若单价每涨1元,则每天少售出20件;若单价每降1元,则每天多售出40件.”
根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利7680元,应该怎样合理定价?
解:设每件涨价x元,则每件的利润为(40﹣24+x)元,每日可售出(480﹣20x)件.
依题意,得(40﹣24+x)(480﹣20x)=7680,
整理,得x2﹣8x=0,
解得x1=0,x2=8,
∴40+x=40或48;
设每件降价y元,则每件的利润为(40﹣24﹣y)元,每日可售出(480+40y)件,
依题意,得(40﹣24﹣y)(480+40y)=7680,
整理,得y2﹣4y=0,
解得y1=0,y2=4,
∴40﹣y=40或36.
答:当定价为36元,40元或48元时,该商品每天获利7680元.
知识点四 单,双循环问题
7. (2020·南阳卧龙期末)学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).计划安排21场比赛,应邀请多少个球队参赛?设邀请x个球队参赛.根据题意,下面所列方程正确的是(B)
A. B. C. D.
8. 若x支球队参加篮球比赛,共比赛了42场,每2队之间都比赛两场,则下列方程中符合题意的是( A)
A.x(x﹣l)=42 B.x(x+1)=42
C.x(x﹣l)=42 D.x(x+1)=42
知能提升面对面
一.选择题(共8小题)
1.口罩是一种卫生用品,正确佩戴口罩能阻挡有害的气体、飞沫、病毒等物质,对进入肺部的空气有一定的过滤作用.据调查,2020年某厂家口罩产量由2月份的125万只增加到4月份的180万只.设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为,根据题意可得方程
A. B.
C. D.
解:从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为,根据题意可得方程:,
故选:.
2.2020年12月29日,贵阳轨道交通2号线实现试运行,从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票,则这段线路有多少个站点?设这段线路有个站点,根据题意,下面列出的方程正确的是
A. B. C. D.
解:设有个站点,则
.
故选:.
3.一个直角三角形的两条直角边的和是,面积是.设这个直角三角形的一条直角边为,依题意,可列出方程为
A. B. C. D.
解:设一条直角边的长为,则另一条直角边的长为,
根据题意得:,
故选:.
4.某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念,送出的相片总共2256张,如果设这个班有个学生,则可列方程
A. B. C. D.
解:若这个班有个学生,则每名同学要送出贺卡张,
又因为是互送相片,
所以总共送的张数应该是.
故选:.
5.如图,在长20米,宽12米的矩形空地中,修建4条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路,4条路围成的中间部分恰好是个正方形,且边长是路宽的2倍,小路的总面积是40平方米,若设小路的宽是米,根据题意列方程,正确的是
A. B. C. D.
解:设道路宽为米,则中间正方形的边长为 米,
依题意,得:,
即,
故选:.
6.原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会,因疫情推迟到2021年5月举办,为喜迎“”,某校团委举办了以“”为主题的学生绘画展览,为美化画面,要在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图),若设彩纸的宽度为,根据题意可列方程为
A. B.
C. D.
解:依题意,得,
即.
故选:.
7.小明同学是一位古诗文的爱好者,在学习了一元二次方程这一章后,改编了苏轼诗词《念奴娇赤壁怀古》:“大江东去浪淘尽,千古风流人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿同.哪位学子算得快,多少年华数周瑜?”假设周瑜去世时年龄的十位数字是,则可列方程为
A. B.
C. D.
解:假设周瑜去世时年龄的十位数字是,则可列方程为,
故选:.
8.从前有一个醉汉拿着竹竿进城,横拿竖拿都进不去,横着比城门宽米,竖着比城门高米,一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿,这个醉汉一试,不多不少刚好进去了,求竹竿的长度.若设竹竿长米,则根据题意,可列方程
A. B.
C. D.
解:设竹竿的长为米.
由题意得.
故选:.
二.填空题(共5小题)
9.某商场销售一批衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场采取了降价措施.假设在一定范围内,衬衫的单价每降1元,商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元,那么衬衫的单价降了多少元?设衬衫的单价降了元,则可列方程为 .
解:由题意可得,
,
故答案为:.
10.响应国家号召打赢脱贫攻坚战,小明利用信息技术开了一家网络商店,将家乡的土特产销往全国,今年6月份盈利24000元,8月份盈利34560元,求6月份到8月份盈利的月平均增长率.设6月份到8月份盈利的月平均增长率为,根据题意,可列方程为 .
解:设月平均增长率为,
根据题意得:.
故答案为:.
11.某种植物的一个主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数为133,则每个支干长出多少个小分支?设每个支干长出个小分支,依题意列方程,化成一般式为 .
解:依题意得:,
整理得:.
故答案为:.
12.如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了,另一边减少了,剩余一块面积为的矩形空地.设原正方形空地的边长为,则根据题意所列方程是 .
解:设原正方形的边长为,依题意有
,
故答案为:.
13.某市有一块正方形的空地需要美化,规划设计图如图所示,空地正中间修建一个圆形喷泉,在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池,其余部分种植花草.若喷泉和水池的半径都相同,喷泉边缘到空地边界的距离都为,种植花草的区域的面积为,设水池半径为,根据题意可列出方程为 .
解:依题意得:,
即.
故答案为:.
三.解答题(共9小题)
14.如图,用一条长为的绳子围成矩形,设边的长为.
(1)直接写出的长和矩形的面积(用代数式表示).
(2)矩形的面积是否可以是?请给出你的结论,并用所学知识说明理由.
解:(1)根据题意,知边的长为:,
矩形的面积为:;
故答案是:;;
(2)若矩形的面积是,则.
△,
这个方程无解.
矩形的面积不可以是.
15.2020年年末,大丰迈入高铁时代,建设部门打算对高铁站广场前一块长为,宽为的矩形空地进行绿化,计划在其中间修建两块相同的矩形绿地(图中阴影部分),若它们的面积之和为,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,问人行通道的宽度是多少米?
解:设人行通道的宽度是米,则两块绿地可合成长为,宽为的矩形,
依题意得:,
整理得:,
解得:,(不合题意,舍去).
答:人行通道的宽度是1米.
16.某水果经销商批发了一批水果,进货单价为每箱50元,若按每箱60元出售,则可销售80箱.现准备提价销售,经市场调研发现:每箱每提价1元,销量就会减少2箱,为保护消费者利益,物价部门规定,销售利润不能超过,设该水果售价为每箱元.
(1)用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为 箱;
(2)现在预算要获得1200元利润,应按每箱多少元销售?
解:(1)平均每天的销售量为(箱.
故答案为:.
(2)依题意得:,
整理得:,
解得:,.
当时,利润率,符合题意;
当时,利润率,不合题意,舍去.
答:应按每箱70元销售.
17.如图是一张长,宽的矩形铁皮,将其剪去一个小正方形和两个矩形,剩余部分(阴影部分)恰好可制成一个有盖的长方体铁盒.
(1) ;
(2)若铁盒底面积是,求剪去的小正方形边长.
解:(1)设底面长为,宽为,正方形的边长为,根据题意得:
,
由②③得,解得,
故答案为:;
(2)根据题意,得
,
由,得
由①得,,
把代入②得,
再把和代入中,得
,
解得或(舍去).
答:剪去的小正方形边长为.
18.在一次聚会上,规定每两个人见面必须握1次手.
(1)若参加聚会的人数为6,则共握手 15 次,若参加聚会的人数为为正整数),则共握手 次;
(2)若参加聚会的人共握手36次,请求出参加聚会的人数;
(3)小明由握手问题想到了一个数学问题:若线段上共有个点(不含端点、,线段总数为多少呢?请直接写出结论.
解:(1)若参加聚会的人数为6,共握手(次,
若参加聚会的人数为为正整数),共握手(次.
故答案为:15;.
(2)依题意得:,
整理得:,
解得:,(不合题意,舍去).
答:参加聚会的人数为9人.
(3)线段上共有(包含端点、个点,
线段总数为(条.
19.为满足市场需求,某工厂决定从2月份起扩大产能,其中2020年月份的产量统计如图所示.求从2月份到4月份的月平均增长率.
解:设2月份到4月份的月平均增长率为,根据题意可得方程:
,
解方程,得,(不合题意,舍去).
答:从2月份到4月份的月平均增长率为.
20.某旅游园区对团队入园购票规定:如团队人数不超过人,那么这个团队需交200元入园费;若团队人数超过人,则这个团队除了需交200元入园费外,超过部分游客还要按每人元交入园费.下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况:
旅游团队名称
团队人数(人
入园费用(元
旅游团队1
80
350
旅游团队2
45
200
根据表格的数据,求某旅游园区对团队入园购票规定的人是多少?
解:由旅游团队1得:,
由旅游团队1得:,
解得:,(不合题意,舍去),
答:某旅游园区对团队入园购票规定的人是50人.
21.新华商场销售某种商品,每件进货价为40元,市场调研表明:当销售价为80元时,平均每天能售出20件;在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,当销售价每降低1元时,平均每天就能多售出2件.
(1)若降价2元,则平均每天销售数量为 24 件;
(2)当每件商品定价多少元时,该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元?
解:(1)(件.
故答案为:24.
(2)设每件商品降价元,则平均每天可销售件,
依题意,得:,
整理,得:,
解得:,.
当时,,
舍去.
答:当每件商品定价70元时,该商店每天销售利润为1200元.
22.为了丰富市民的文化生活,我市某景点开放夜游项目.为吸引游客组团来此夜游,特推出了如下门票收费标准:
标准一:如果人数不超过20人,门票价格为60元人;
标准二:如果人数超过20人,每超过1人,门票价格降低2元,但门票价格不低于50元人.
(1)当夜游人数为15人时,人均门票价格为 60 元;当夜游人数为25人时,人均门票价格为 元.
(2)若某单位支付门票费用共计1232元,则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游.
解:(1)由标准一知,当夜游人数为15人时,人均门票价格为60元;
由标准二知,(元.
故答案是:60;50;
(2)设该单位这次共有名员工去某景点旅游,
(人,,
.
依题意,得:,
整理,得:,
解得:,(不合题意,舍去).
答:该单位这次共有22名员工去某景点旅游.
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日期:2021/3/12 15:45:53;用户:初中数学;邮箱:18530658027;学号:29956309