第22章 一元二次方程(22.2.4～22.3)周测 (含答案)

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周测四（22.2.4～22.3）
知识互动点对典
22.2.4.一元二次方程根的判别式
知识点一 一元二次方程根的判别式
1. （2021·洛阳汝阳期末）方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有两个实数根，则m的取值范围（　B　）
A．m＞ B．m≤且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠2
2. （2020·南阳南召期中）若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
知识点二 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
3. （2021·驻马店新蔡期末）定义运算：m☆n=mn2-mn-1.例如：4☆2=4×22-4×2-1=7.则方程1☆x=0的根的情况为（　A　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
4. （2020·南阳卧龙期末）下列一元二次方程，有两个不相等的实数根的是（B）
A. B.
C. D.
5.（2020·周口商水期末）已知关于的方程，下列说法正确的是（C）
A. 当时，方程无解
B. 当时，方程有一个实数解
C. 当时，方程有两个相等的实数解
D. 当时，方程总有两个不相等的实数解
6.（2021·洛阳偃师期中）已知k为实数，关于x的方程为x2+kx﹣4k﹣16＝0．
（1）试判断这个方程根的情况．
（2）是否存在实数k，使这个方程两个根为连续偶数？若存在，求出k及方程的根；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵△＝k2+4（4k+16）＝k2+16k+64，
而无论k为何实数，总有（k+8）2≥0，
∴原方程总有两个实数根.
（2）存在实数k，使方程两个根为连续偶数．
由（1），得原方程的根为，
解得x1＝4，x2＝﹣k﹣4.
当﹣k﹣4＝6，得k＝﹣10；
当﹣k﹣4＝2，得k＝﹣6，
∴存在实数﹣10，﹣6，使原方程两个根为连续偶数．
22.2.5.一元二次方程的跟与系数的关系
知识点一 一元二次方程的根与系数的关系
7.（2020·鹤壁期中）已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是(A)
A.34
B.30
C.30或34
D.30或36
8.（2020·周口沈丘期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为__-2____；另一个根是_-3__．
知识点二 一元二次方程的根与系数的关系的应用
9.（2021·洛阳偃师期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程ax2+bx+c＝0是“半根方程”，且点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为　　．
10.（2020·鹤壁期中）已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1)．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22-x1x2=3p2+1，求p的值．
解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．
∵△=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．
又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，
∴(x1+x2)2-3x1x2=3p2+1，
∴52-3(6-p2-p)=3p2+1，
∴25-18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=-6，
∴p=-2．
易错训练一对一
易错点.忽视对根判别式情况的讨论
（2021·驻马店新蔡期中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是，试求m的值．
解：（1）由题意，得△＝[2（m﹣3）]2﹣4（m2+1）＝32﹣24m，
要使方程有两个不相等的实数根，需要△＞0，
即32﹣24m＞0，解得m＜，
即m＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣3），x1•x2＝m2+1．
∵x1，x2为菱形的对角线，
∴x1，x2互相垂直并且平分，
∴（x1）2+（x2）2＝3，
∴x12+x22＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝12，
∴[﹣2（m﹣3）]2﹣2（m2+1）＝12，
∴m2﹣12m+11＝0，
解得m1＝1，m2＝11．
∵m＜，
∴m2＝11不合题意，舍去，
∴m的值为1．


知能提升面对面
1. （2021·南阳镇平期中）一元二次方程x2﹣8x+20＝0的根的情况是（　A　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根

2. （2020·周口沈丘期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，那么k的取值范围是（ B ）
A．k＞－且k≠0 B．k＞－且k≠0
C．k≥－且k≠0 D．k＜－且k≠0

3. （2021·洛阳偃师期中）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（　C　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

4. （2016•河南中考）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于（　B　）
A．0 B．1 C．0或1 D．

5. 定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（　A　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根

6. （2021·驻马店上蔡期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是 ( B )
A. B.
C. D.
7.若是一元二次方程的根，则判别式△和完全平方式的关系是：△　　．（填“”“ ”或“”
解：是一元二次方程的根，
，即，
△，
，
则△．
故答案为：．
8.已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为、、5，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值为　3或7　．
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
△，解得；
若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合三角形三边条件，
所以关于的一元二次方程的两个根为1、5，
则，即；
若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5，符合三角形三边条件，
则，即；
综上，的值为3或7，
故答案为：3或7．
9. （2021·南阳南召期中）直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数有　1或2　．

10. （2020·新乡辉县期末）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
解：（1）根据题意得，
解得；
（2）的最大整数为2，
方程变形为，解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
而，
∴的值为．

11. （2021·南阳南召期中）关于x的方程x2﹣ax+a+1＝0有两个相等的实数根，求的值．
解：
＝×
＝×＝﹣.
∵关于x的方程x2﹣ax+a+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（﹣a）2﹣4（a+1）＝0，
∴a2﹣4a＝4，
∴原式＝﹣＝﹣．

12.若，则我们把形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）当，时，写出相应的“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根．
（1）解：当，时，，相应的勾系一元二次方程为；
（2）证明：根据题意，得△

即△
勾系一元二次方程必有实数根．
13.已知，是关于的一元二次方程的两实数根．
（1）若方程有两个相等实数根，求的值；
（2）已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
解：（1）根据题意得△，解得；
（2）当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，则，故舍去，
综上所述，的值是4，这个三角形的周长为17．


14．已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根．
（1）当为何值时，平行四边形是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若的长为1，那么平行四边形的周长是多少？
解：（1）四边形是菱形，．
又、的长是关于的方程的两个实数根，
△，
，
当为1时，四边形是菱形．
当时，原方程为，即，
解得：，
菱形的边长是．
（2）把代入原方程，得：，
解得：．
将代入原方程，得：，
解得或，
方程的另一根，
的周长是．
15．已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为，，且，求的值．
解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2），，
，
，
，即，
解得或．
，
．
故的值为2．
16.（2020秋•焦作市期末）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）将x＝﹣1代入方程中，化简即可得出b＝c，即可得出结论；
（2）利用一元二次方程有两个相等的实数根，用△＝0建立方程，即可得出a2+c2＝b2，进而得出结论；
（3）先判断出a＝b＝c，再代入化简即可得出方程x2+x＝0，解方程即可得出结论．
解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由：当x＝﹣1时，（a+b）﹣2c+（b﹣a）＝0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形，
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）＝0，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程可化为：2ax2+2ax＝0，
即：x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，
即：这个一元二次方程的根为x1＝0，x2＝﹣1．
周测五（22.3）

22.3 实践与探索
知识互动点对典
21.1 二次根式
知识点一 图形面积问题
1. （2021·南阳邓州期中）在一幅长为70cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是4800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　B　）

A．x2+110x﹣1000＝0 B．x2+55x﹣500＝0
C．x2﹣110x﹣1000＝0 D．x2﹣55x﹣500＝0

2. （2021·驻马店上蔡期中）现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m2,那么小道的宽度应是 2 m.


知识点二 变化率问题
3. （2021·南阳镇平期中）近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2016年手机支付用户约为4.69亿人，连续两年增长后，2018年手机支付用户达到约5.83亿人，如果设这两年手机支付用户的年均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（　C　）
A．4.69（1+x）＝5.83 B．4.69（1+2x）＝5.83
C．4.69（1+x）2＝5.83 D．4.69（1﹣x）2＝5.83
4.（2021·新乡辉县期中）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（　D　）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1+x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1﹣x）2＝580
知识点三 销售问题
5. （2021·洛阳偃师期中）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（　D　）
A．15% B．40% C．25% D．20%

6. （2021·洛阳偃师期中）某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况，下面是调查后小张与其他两位成员交流的情况．
小张：“该商品的进价为24元/件．”
成员甲：“当定价为40元/件时，每天可售出480件．”
成员乙：“若单价每涨1元，则每天少售出20件；若单价每降1元，则每天多售出40件．”
根据他们的对话，请你求出要使该商品每天获利7680元，应该怎样合理定价？
解：设每件涨价x元，则每件的利润为（40﹣24+x）元，每日可售出（480﹣20x）件.
依题意，得（40﹣24+x）（480﹣20x）＝7680，
整理，得x2﹣8x＝0，
解得x1＝0，x2＝8，
∴40+x＝40或48；
设每件降价y元，则每件的利润为（40﹣24﹣y）元，每日可售出（480+40y）件，
依题意，得（40﹣24﹣y）（480+40y）＝7680，
整理，得y2﹣4y＝0，
解得y1＝0，y2＝4，
∴40﹣y＝40或36．
答：当定价为36元，40元或48元时，该商品每天获利7680元．

知识点四 单,双循环问题
7. （2020·南阳卧龙期末）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（B）
A. B. C. D.

8. 若x支球队参加篮球比赛，共比赛了42场，每2队之间都比赛两场，则下列方程中符合题意的是( A)
A．x(x﹣l)＝42 B．x(x+1)＝42
C．x(x﹣l)＝42 D．x(x+1)＝42
知能提升面对面
一．选择题（共8小题）
1．口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害的气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2020年某厂家口罩产量由2月份的125万只增加到4月份的180万只．设从2月份到4月份该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程　　
A． B．
C． D．
解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程：，
故选：．
2．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是　　
A． B． C． D．
解：设有个站点，则
．
故选：．
3．一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是．设这个直角三角形的一条直角边为，依题意，可列出方程为　　
A． B． C． D．
解：设一条直角边的长为，则另一条直角边的长为，
根据题意得：，
故选：．
4．某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2256张，如果设这个班有个学生，则可列方程　　
A． B． C． D．
解：若这个班有个学生，则每名同学要送出贺卡张，
又因为是互送相片，
所以总共送的张数应该是．
故选：．
5．如图，在长20米，宽12米的矩形空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面积是40平方米，若设小路的宽是米，根据题意列方程，正确的是　　

A． B． C． D．
解：设道路宽为米，则中间正方形的边长为 米，
依题意，得：，
即，
故选：．
6．原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“”，某校团委举办了以“”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程为　　

A． B．
C． D．
解：依题意，得，
即．
故选：．
7．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为　　
A． B．
C． D．
解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为，
故选：．
8．从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽米，竖着比城门高米，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度．若设竹竿长米，则根据题意，可列方程　　
A． B．
C． D．
解：设竹竿的长为米．
由题意得．
故选：．
二．填空题（共5小题）
9．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了元，则可列方程为　　．
解：由题意可得，
，
故答案为：．
10．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为，根据题意，可列方程为　　．
解：设月平均增长率为，
根据题意得：．
故答案为：．
11．某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出多少个小分支？设每个支干长出个小分支，依题意列方程，化成一般式为　　．
解：依题意得：，
整理得：．
故答案为：．
12．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地．设原正方形空地的边长为，则根据题意所列方程是　　．

解：设原正方形的边长为，依题意有
，
故答案为：．
13．某市有一块正方形的空地需要美化，规划设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离都为，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，根据题意可列出方程为　　．

解：依题意得：，
即．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
14．如图，用一条长为的绳子围成矩形，设边的长为．
（1）直接写出的长和矩形的面积（用代数式表示）．
（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学知识说明理由．

解：（1）根据题意，知边的长为：，
矩形的面积为：；
故答案是：；；
（2）若矩形的面积是，则．
△，
这个方程无解．
矩形的面积不可以是．
15．2020年年末，大丰迈入高铁时代，建设部门打算对高铁站广场前一块长为，宽为的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），若它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？

解：设人行通道的宽度是米，则两块绿地可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
16．某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过，设该水果售价为每箱元．
（1）用含的代数式表示提价后平均每天的销售量为　　箱；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？
解：（1）平均每天的销售量为（箱．
故答案为：．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，利润率，符合题意；
当时，利润率，不合题意，舍去．
答：应按每箱70元销售．
17．如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．
（1）　　；
（2）若铁盒底面积是，求剪去的小正方形边长．

解：（1）设底面长为，宽为，正方形的边长为，根据题意得：
，
由②③得，解得，
故答案为：；
（2）根据题意，得
，
由，得
由①得，，
把代入②得，
再把和代入中，得
，
解得或（舍去）．
答：剪去的小正方形边长为．
18．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．
（1）若参加聚会的人数为6，则共握手　15　次，若参加聚会的人数为为正整数），则共握手　　次；
（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；
（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点、，线段总数为多少呢？请直接写出结论．
解：（1）若参加聚会的人数为6，共握手（次，
若参加聚会的人数为为正整数），共握手（次．
故答案为：15；．
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为9人．
（3）线段上共有（包含端点、个点，
线段总数为（条．
19．为满足市场需求，某工厂决定从2月份起扩大产能，其中2020年月份的产量统计如图所示．求从2月份到4月份的月平均增长率．

解：设2月份到4月份的月平均增长率为，根据题意可得方程：
，
解方程，得，（不合题意，舍去）．
答：从2月份到4月份的月平均增长率为．
20．某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费．下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：
旅游团队名称
团队人数（人
入园费用（元
旅游团队1
80
350
旅游团队2
45
200
根据表格的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的人是多少？
解：由旅游团队1得：，
由旅游团队1得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：某旅游园区对团队入园购票规定的人是50人．
21．新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为　24　件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
解：（1）（件．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价元，则平均每天可销售件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
舍去．
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
22．为了丰富市民的文化生活，我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游，特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元人；
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元人．
（1）当夜游人数为15人时，人均门票价格为　60　元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为　　元．
（2）若某单位支付门票费用共计1232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游．
解：（1）由标准一知，当夜游人数为15人时，人均门票价格为60元；
由标准二知，（元．
故答案是：60；50；

（2）设该单位这次共有名员工去某景点旅游，
（人，，
．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该单位这次共有22名员工去某景点旅游．
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日期：2021/3/12 15:45:53；用户：初中数学；邮箱：18530658027；学号：29956309