2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题三 导数及其应用第八讲导数的综合应用

专题三  导数及其应用

第八讲  导数的综合应用

2019年

1（2019天津理8）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A.              B.           C.             D.

2.（2019全国Ⅲ理20）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）是否存在 ，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.

3.（2019浙江22）已知实数，设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有 求的取值范围.

注：e=2.71828…为自然对数的底数.

4.（2019全国Ⅰ理20）已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

5.（2019全国Ⅱ理20）已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线.

6.（2019江苏19）设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

7.（2019北京理19）已知函数.

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：.

(III)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值.

8.（2019天津理20）设函数为的导函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.

2010-2018年

一、选择题

1．（2017新课标Ⅱ）若是函数的极值点，则

的极小值为

A．     B．           C．           D．1

2．（2017浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A．                              B．

               C．                               D．

3．(2016全国I) 函数在[–2,2]的图像大致为

A．          B．

C．           D．

4．（2015四川）如果函数在区间单调递减，那么的最大值为

A．16          B．18          C．25          D．

5．（2015新课标Ⅱ）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得f (x)0成立的的取值范围是

A．              B．

C．             D．

6．（2015新课标Ⅰ）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是

A．   B．   C．   D．

7．（2014新课标Ⅱ）若函数在区间单调递增，则的取值范围是

A．     B．    C．  D．

8．（2014陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为

A．            B．

C．                 D．

9．（2014新课标Ⅱ）设函数．若存在的极值点满足

，则的取值范围是

A．          B．

C．          D．

10．（2014陕西）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为

A．             B．

C．               D．

11．（2014辽宁）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

A．    B．    C．    D．

12．（2014湖南）若，则

A．       B．

C．                D．

13．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数与

的图像不可能的是

14．（2013新课标Ⅱ）已知函数，下列结论中错误的是

A．

B．函数的图像是中心对称图形

C．若是的极小值点，则在区间单调递减

D．若是的极值点，则

15．（2013四川）设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是

A．      B．    C． []    D． []

16．（2013福建）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是

A．             B．是的极小值点

C．是的极小值点           D．是的极小值点

17．（2012辽宁）函数的单调递减区间为

A．(－1,1]    B．(0,1]   C． [1,+)       D．(0,+)

18．（2012陕西）设函数，则

A．为的极大值点         B．为的极小值点

C．为的极大值点        D．为的极小值点

19．（2011福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于

 A．2         B．3      C．6         D．9

20．（2011浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是

A                B               C                    D

21．（2011湖南）设直线 与函数， 的图像分别交于点，则当达到最小时的值为

 A．1          B．         C．          D．

二、填空题

22．（2015安徽）设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是        （写出所有正确条件的编号）

①；②；③；④；

⑤．

23．（2015四川）已知函数，（其中）．对于不相等的实数

，设，，现有如下命题：

①对于任意不相等的实数，都有；

②对于任意的及任意不相等的实数，都有；

③对于任意的，存在不相等的实数，使得；

④对于任意的，存在不相等的实数，使得．

其中的真命题有             （写出所有真命题的序号）．

24．（2015江苏）已知函数，，则方程

实根的个数为          ．

25．（2011广东）函数在=______处取得极小值．

三、解答题

26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若存在两个极值点，证明：．

27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数．

(1)若，证明：当时，；

(2)若在只有一个零点，求．

28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数．

(1)若，证明：当时，；当时，；

(2)若是的极大值点，求．

29．(2018北京)设函数．

(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求；

(2)若在处取得极小值，求的取值范围．

30．(2018天津)已知函数，，其中．

(1)求函数的单调区间；

(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；

(3)证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线．

31．(2018江苏)记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．

(1)证明：函数与不存在“点”；

(2)若函数与存在“点”，求实数a的值；

(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．

32．(2018浙江)已知函数．

(1)若在，()处导数相等，证明：；

(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

33．（2017新课标Ⅰ）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求的取值范围．

34．（2017新课标Ⅱ）已知函数，且．

(1)求；

(2)证明：存在唯一的极大值点，且．

35．（2017新课标Ⅲ）已知函数．

(1)若，求的值；

(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．

36．（2017浙江）已知函数．

（Ⅰ）求的导函数；

（Ⅱ）求在区间上的取值范围．

37．（2017江苏）已知函数有极值，且导函数 的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：；

（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．

38．（2017天津）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，函数，求证：；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足．

39．（2017山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

40．(2016年山东)已知．

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明对于任意的成立．

41．(2016年四川) 设函数，其中.

（I）讨论的单调性；

（II）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．

42．(2016年天津)设函数,，其中

(I)求的单调区间；

(II)若存在极值点，且，其中，求证：；

(Ⅲ)设，函数，求证：在区间上的最大值不小于．

43．(2016年全国Ⅰ) 已知函数有两个零点．

（I）求a的取值范围；

（II）设，是的两个零点，证明：．

44．(2016年全国Ⅱ)

(I)讨论函数的单调性，并证明当时，；

(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．

45．(2016年全国Ⅲ) 设函数，其中，

记的最大值为．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）证明．

46．（2016年浙江高考）已知，函数=，其中

= ．

（I）求使得等式成立的的取值范围；

（II）（i）求的最小值；

（ii）求在区间上的最大值．

47．(2016江苏) 已知函数．

（1）设，．

①求方程的根；

②若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

（2）若，，函数有且只有1个零点，求的值．

48．(2015新课标Ⅱ）设函数．

(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；

(Ⅱ)若对于任意，，都有，求的取值范围．

49．(2015山东)设函数，其中．

（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若，成立，求的取值范围．

50．（2015湖南）已知，函数．记为的从小到大的第个极值点．

证明：（1）数列是等比数列；

（2）若，则对一切，恒成立．

51．（2014新课标Ⅱ）已知函数，曲线在点（0，2）处的切线与轴交点的横坐标为－2．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．

52．(2014山东）设函数（为常数，是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．

53．（2014新课标Ⅰ）设函数，曲线在点

处的切线斜率为0．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围．

54．（2014山东）设函数 ，其中为常数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性．

55．(2014广东) 已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，试讨论是否存在，使得．

56．(2014江苏)已知函数，其中e是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：是R上的偶函数；

（Ⅱ）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．

57．（2013新课标Ⅰ）已知函数，曲线在点处切线方程为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．

58．（2013新课标Ⅱ）已知函数．

（Ⅰ）求的极小值和极大值；

（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．

59．（2013福建）已知函数（，为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．

60．(2013天津)已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ） 证明：对任意的，存在唯一的，使．

（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的关于的函数为，

证明：当时，有．

61．（2013江苏）设函数，，其中为实数．

（Ⅰ）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（Ⅱ）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．

62．（2012新课标）设函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值．

63．（2012安徽）设函数．

（Ⅰ）求在内的最小值；

（Ⅱ）设曲线在点的切线方程为，求的值．

64．（2012山东）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设，其中是的导数．

证明：对任意的，．

65．（2011新课标）已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：当，且时，．

66．（2011浙江）设函数，．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．注：为自然对数的底数．

67．（2011福建）已知，为常数，且，函数，（e=2.71828…是自然对数的底数）．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，是否同时存在实数和()，使得对每一个∈，直线与曲线(∈[，e])都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．

68．（2010新课标）设函数．

（Ⅰ）若，求的单调区间；

（Ⅱ）若当时，求的取值范围．