2024届高考数学第一轮复习：文科数学2010-2019高考真题分类训练之专题三 导数及其应用第八讲 导数的综合应用

专题三  导数及其应用

第八讲 导数的综合应用

2019年

1.（2019全国Ⅲ文20）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当0<a<3时，记在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求的取值范围.

2.（2019北京文20）已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

3.（2019江苏19）设函数、为f（x）的导函数．

（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；

（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；

（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．

4.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

5.（2019全国Ⅰ文20）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为f（x）的导数．

（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；

（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．

6.（2019全国Ⅱ文21）已知函数.证明：

（1）存在唯一的极值点；

（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

7.（2019天津文20）设函数，其中.

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若，

（i）证明恰有两个零点

（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.

8.（2019浙江22）已知实数，设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意均有 求的取值范围.

注：e=2.71828…为自然对数的底数.

2010-2018年

一、选择题

1．（2017新课标Ⅰ）已知函数，则

A．在单调递增              B．在单调递减

C．的图像关于直线对称   D．的图像关于点对称

2．（2017浙江）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A．                        B．

C．                          D．

3．（2016年全国I卷）若函数在单调递增，则的取值范围是

A．      B．       C．     D．

4．（2016年四川）已知为函数的极小值点，则

A．4    B．2     C．4     D．2

5．（2014新课标2）若函数在区间（1，+）单调递增，则的取值范围是

A．     B．    C．  D．

6．（2014新课标2）设函数．若存在的极值点满足

，则的取值范围是

A．        B．

C．        D．

7．（2014辽宁）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

A．    B．    C．    D．

8．（2014湖南）若，则

A．       B．

C．                D．

9．（2014江西）在同一直角坐标系中，函数与

的图像不可能的是

10．（2013新课标2）已知函数，下列结论中错误的是

A．

B．函数的图像是中心对称图形

C．若是的极小值点，则在区间单调递减

D．若是的极值点，则

11．（2013四川）设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（    ）

A．         B．      C．         D．

12．（2013福建）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是

A．             B．是的极小值点

C．是的极小值点           D．是的极小值点

13．（2012辽宁）函数的单调递减区间为

A．(－1,1]    B．(0,1]   C． [1,+)       D．(0,+)

14．（2012陕西）设函数，则

A．为的极大值点         B．为的极小值点

C．为的极大值点        D．为的极小值点

15．（2011福建）若，，且函数在处有极值，则的最大值等于

 A．2         B．3      C．6         D．9

16．（2011浙江）设函数，若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为的图象是

A                B               C                    D

17．（2011湖南）设直线 与函数， 的图像分别交于点，则当达到最小时的值为

 A．1          B．         C．          D．

二、填空题

18．（2016年天津）已知函数为的导函数，则的值为____.

19．（2015四川）已知函数，(其中)．对于不相等的实数，设＝，＝．现有如下命题：

①对于任意不相等的实数，都有；

②对于任意的及任意不相等的实数，都有；

③对于任意的，存在不相等的实数，使得；

④对于任意的，存在不相等的实数，使得．

其中真命题有___________(写出所有真命题的序号)．

20．（2011广东）函数在=______处取得极小值．

三、解答题

21．（2018全国卷Ⅰ）已知函数．

(1)设是的极值点．求，并求的单调区间；

(2)证明：当时，．

22．（2018浙江）已知函数．

(1)若在，()处导数相等，证明：；

(2)若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

23．（2018全国卷Ⅱ）已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)证明：只有一个零点．

24．（2018北京）设函数．

(1)若曲线在点处的切线斜率为0，求；

(2)若在处取得极小值，求的取值范围．

25．（2018全国卷Ⅲ）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，．

26．（2018江苏）记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．

(1)证明：函数与不存在“点”；

(2)若函数与存在“点”，求实数a的值；

(3)已知函数，．对任意，判断是否存在，使函数与在区间内存在“点”，并说明理由．

27．（2018天津）设函数，其中，且是公差为的等差数列．

(1)若 求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求的极值；

(3)若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围．

28．（2017新课标Ⅰ）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，求的取值范围．

29．（2017新课标Ⅱ）设函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求的取值范围．

30．（2017新课标Ⅲ）已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，证明．

31．（2017天津）设，．已知函数，

．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，

（i）求证：在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．

32．（2017浙江）已知函数．

（Ⅰ）求的导函数；

（Ⅱ）求在区间上的取值范围．

33．（2017江苏）已知函数有极值，且导函数 的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；

（2）证明：；

34．（2016年全国I卷）已知函数.

(I)讨论的单调性；

(II)若有两个零点，求的取值范围.

35．（2016年全国II卷）已知函数.

(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；

(Ⅱ)若当时，，求的取值范围.

36．（2016年全国III卷）设函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）证明当时，；

（III）设，证明当时，．

37．（2015新课标2）已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围．

38．（2015新课标1）设函数．

（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；

（Ⅱ）证明：当时．

39．（2014新课标2）已知函数，曲线在点（0，2）处的切线与轴交点的横坐标为－2．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．

40．(2014山东）设函数（为常数，是自然对数的底数）

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．

41．（2014新课标1）设函数，

曲线处的切线斜率为0

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围．

42．（2014山东）设函数 ，其中为常数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性．

43．(2014广东) 已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，试讨论是否存在，使得．

44．(2014江苏)已知函数，其中e是自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：是R上的偶函数；

（Ⅱ）若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．

45．（2013新课标1）已知函数，曲线在点处切线方程为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论的单调性，并求的极大值．

46．（2013新课标2）已知函数．

（Ⅰ）求的极小值和极大值；

（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围．

47．（2013福建）已知函数（，为自然对数的底数）．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．

48．(2013天津)已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ） 证明：对任意的，存在唯一的，使．

（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的关于的函数为，

证明：当时，有．

49．（2013江苏）设函数，，其中为实数．

（Ⅰ）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（Ⅱ）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．

50．（2012新课标）设函数f(x)=－ax－2

（Ⅰ）求的单调区间

（Ⅱ）若，为整数，且当时，，求的最大值

51．（2012安徽）设函数

（Ⅰ）求在内的最小值；

（Ⅱ）设曲线在点的切线方程为；求的值。

52．（2012山东）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）设，其中是的导数．

证明：对任意的，．

53．（2011新课标）已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）证明：当，且时，．

54．（2011浙江）设函数，

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立．

注：为自然对数的底数．

55．（2011福建）已知，为常数，且，函数，（e=2.71828…是自然对数的底数）．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，是否同时存在实数和()，使得对每一个∈，直线与曲线（∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数和最大的实数；若不存在，说明理由．

56．（2010新课标）设函数

（Ⅰ）若=，求的单调区间；

（Ⅱ）若当≥0时≥0，求的取值范围．