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专题三 一元函数的导数及其应用-2024五年高考题分类训练（数学）
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这是一份专题三 一元函数的导数及其应用-2024五年高考题分类训练（数学），共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题组
一、选择题
1. [2023全国卷甲，5分]曲线y=exx+1 在点1,e2 处的切线方程为( C )
A. y=e4x B. y=e2x C. y=e4x+e4 D. y=e2x+3e4
[解析]由题意可知y '=exx+1-exx+12=xexx+12 ，则曲线y=exx+1 在点1,e2 处的切线斜率k=y'|x=1=e4 ，所以曲线y=exx+1 在点1,e2 处的切线方程为y-e2=e4x-1 ，即y=e4x+e4 ，故选C .
2. [2021新高考卷Ⅰ，5分]若过点a,b 可以作曲线y=ex 的两条切线，则( D )
A. eb0 ，则xx2 ；令f 'x0 .所以当x=1 时，fx 取得最小值，最小值为f1=1 ,从而fx≥1 .
当a>1 时，fx=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1 .
综上，a 的取值范围是[1,+∞) .
【方法技巧】 不等式问题中，要会放缩，但不能放缩得过大或者过小，常见的放缩形式有：
14. [2020北京，15分]已知函数fx=12-x2 .
（Ⅰ） 求曲线y=fx 的斜率等于-2 的切线方程；
[答案]函数fx=12-x2 的定义域为R , f 'x=-2x ,令f 'x=-2x=-2 ,得x=1 ,∴f '1=-2 ,又f1=11 ，
∴ 曲线y=fx 的斜率等于-2 的切线方程为y-11=-2x-1 ,即2x+y-13=0 .
（Ⅱ） 设曲线y=fx 在点t,ft 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为St ,求St 的最小值.
[答案]由（Ⅰ）知f 'x=-2x ,则f 't=-2t ，又ft=12-t2 ，所以曲线y=fx 在点t,ft 处的切线方程为y-12-t2=-2tx-t ，即y=-2tx+t2+12 .若t=0 ，则围不成三角形，故t≠0 .
令x=0 ,得y=t2+12 ,记A0,t2+12 ，O 为坐标原点,则OA=t2+12 ,令y=0 ,得x=t2+122t ,记Bt2+122t,0 ,则OB=t2+122t ，
∴St=12OAOB=t2+1224t ，
∵St 为偶函数，∴ 仅考虑t>0 即可.
当t>0 时,St=14t3+24t+144t ，
则S't=143t2+24-144t2=34t2t2-4t2+12 ，
令S't=0 ,得t=2 ，
∴ 当t 变化时，S't 与St 的变化情况如下表：
∴Stmin=S2=32 .
考点10 导数与函数的单调性、极值、最值
题组一
一、选择题
1. [2023新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx=aex-ln x 在区间1,2 单调递增，则a 的最小值为( C )
A. e2 B. e C. e-1 D. e-2
[解析]因为函数fx=aex-ln x ，所以f'x=aex-1x .因为函数fx=aex-ln x 在1,2 单调递增，所以f'x≥0 在1,2 恒成立，即aex-1x≥0 在1,2 恒成立，易知a>0 ，则00 ，gx 单调递增，所以在1,2 上，gx>g1=e ，所以1a≤e ，即a≥1e=e-1 ，故选C .
2. [2022全国卷甲，5分]当x=1 时，函数fx=aln x+bx 取得最大值-2 ,则f '2= ( B )
A. -1 B. -12 C. 12 D. 1
[解析]由题意知，f1=aln 1+b=b=-2 .因为f 'x=ax-bx2x>0 ，所以f '1=a-b=0 ，所以a=-2 ，所以f '2=a2-b4=-12 .故选B ．
3. [2022全国卷乙，5分]函数fx=cs x+x+1sin x+1 在区间[0,2π] 的最小值、最大值分别为( D )
A. A.-π2 ,π2 B. -3π2 ,π2 C. -π2 ,π2+2 D. -3π2 ,π2+2
[解析]fx=cs x+x+1sin x+1 ,x∈[0,2π] ，则f 'x=-sin x+sin x+x+1cs x=x+1cs x .令f 'x=0 ,解得x=-1 （舍去），x=π2 或x=3π2 .因为fπ2=csπ2+π2+1sinπ2+1=2+π2 ，f3π2=cs3π2+3π2+1sin3π2+1=-3π2 ,又f0=cs 0+0+1sin 0+1=2 ,f2π=cs 2π+2π+1sin 2π+1=2 ,所以fxmax=fπ2=2+π2 ,fxmin=f3π2=-3π2 .故选D .
4. [2021全国卷乙，5分]设a≠0 ，若x=a 为函数fx=ax-a2x-b 的极大值点，则( D )
A. ab C. aba2
[解析]因为函数fx=ax-a2x-b ，所以f 'x=2ax-ax-b+ax-a2=ax-a3x-a-2b .
令f 'x=0 ，结合a≠0 可得x=a 或x=a+2b3 .
（1）当a>0 时，若x=a 为函数fx 的极大值点，则aa .（由f 'x 的图象可判断）
（2）当aa+2b3 ,即b0,x1+x2>0,x1x2>0, 即b2+8ac>0,ba>0,-2ca>0, 所以b2+8ac>0,ab>0,ac0 ,gx 单调递增；当x1 ，则当x→+∞ 时，f 'x→+∞ ，不符合题意，舍去.②若00 ，所以f1a>f1>0 ,当x→0+ 时，fx→-∞ ，由零点存在定理可知fx 在0,1a 上必有一个零点，所以a>1 满足条件，
若00 ，所以fx 的单调递增区间为-∞,-1 ，4,+∞ ；
当x∈-1,4 时，f 'x0 ；当x>1 时，h'x0 ，讨论函数gx=fx-fax-a 的单调性.
[答案]gx=fx-fax-a=2ln x-ln ax-a ,x∈0,a∪a,+∞ .
g'x=2x-ax+ln a-ln xx-a2=21-ax+lnaxx-a2 .
由（1）知c=-1 时hx=2ln x-2x+2≤0 恒成立，当且仅当x=1 时“= ”成立.
故当x∈0,a∪a,+∞ 时，21-ax+ln ax0 ；
当x∈0,a3 时，f 'x0 ，
则f 'x 有2个不同的零点，设为x1 ,x2x10 ，得x>-ln a ，令f 'x0 时，fx>2ln a+3 2 .
[答案]解法一（最值法） 由（1）得当a>0 时，函数fx=aex+a-x 的最小值为f-ln a=ae-ln a+a+ln a=1+a2+ln a ，
令ga=1+a2+ln a-2ln a-32=a2-ln a-12 ，a∈0,+∞ ，
所以g 'a=2a-1a ，令g 'a>0 ,得a>22 ；令g 'a2ln a+32 成立.
解法二（分析法）当a>0 时，由（1）得，fxmin=f-ln a=1+a2+ln a ，
故欲证fx>2ln a+32 成立，
只需证1+a2+ln a>2ln a+32 ，
即证a2-12>ln a .
构造函数ua=ln a-a-1a>0 ，
则u'a=1a-1=1-aa ，所以当a>1 时，u'a0 ；当t∈2,+∞ 时，ht0 时，f 'x=xex>0 ，函数fx 在0,+∞ 上单调递增;
当x0 ，
fx 在0,x0 上单调递增，∴fx>-1 ，与题意矛盾.
综上，实数a 的取值范围为(-∞,12] .
（3） 设n∈N* ，证明：112+1+122+2+…+1n2+n>lnn+1 .
[答案]先证不等式abb>0 成立.
当a>b>0 时，不等式abh1=0 ，
即gx0 ；当x∈1,+∞ 时，f 'x0 在-1,+∞ 上恒成立，
∴fx 在-1,+∞ 上单调递增，∵f0=0 ，
∴fx 在-1,0 ,0,+∞ 上均无零点，不符合题意.
b 若g'-10 在0,+∞ 上恒成立,
∴fx 在0,+∞ 上单调递增.
∵f0=0 ,∴ 当x∈0,+∞ 时，fx>0 ，∴fx 在0,+∞ 上无零点，不符合题意.
ii 当g00 且a≠1 ,函数fx=xaaxx>0 .
（1） 当a=2 时，求fx 的单调区间；
[答案]当a=2 时，fx=x22xx>0 ，f 'x=x2-xln 22xx>0 .
令f 'x>0 ，则00 .
令g'x=1-ln xx2=0 ，得x=e ,
当00 ，当00 .
所以fx 在-∞,0 单调递减，在0,+∞ 单调递增.
（2） 若fx 有两个零点，求a 的取值范围.
[答案]f 'x=ex-a .
当a≤0 时，f 'x>0 ，所以fx 在-∞,+∞ 单调递增，故fx 至多存在1个零点，不合题意.
当a>0 时，由f 'x=0 可得x=ln a .当x∈-∞,ln a 时，f 'x0 得x>33 或x0 ，
所以fx 在0,+∞ 上单调递增，无极值，不满足题意.
③当00 ，
所以Fx 在0,1 上单调递增，所以Fx0 ，
当a∈0,1 时，φ'a0 ，h'a 单调递增.
∴h'a 在a=1 处取得最小值h'1=1>0 ,则当a>0 时，h'a>0 恒成立，ha 单调递增.
又h1=0 ,∴a=1 .
（2） 证明：存在直线y=b ,其与两条曲线y=fx 和y=gx 共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
[答案]由（1）得fx=ex-x ,gx=x-ln x ,
且fx 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增,gx 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，fxmin=gxmin=1 .
当直线y=b 与曲线y=fx 和y=gx 共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为x1 ,x2 ,x3 ，且x10 ,所以fx 在0,+∞ 内单调递增.
（Ⅱ） 若01 时，ln xx0>1 ，
故ex1-x0
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