2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题六 数列 第十五讲 等差数列答案

专题六 数列

第十五讲 等差数列

答案部分

2019年

1.解析：设等差数列的公差为，由，
得，解得，
所以，故选A．

2.解析 设等差数列的公差为，则
由，可得，，

.

3.解析  设等差数列的首项为，公差为，
则，解得．
所以.

4.解析：由题意得，，解得.

所以.
因为是一个递增数列，且，

所以的最小值为或，.

2010-2018年

1．B【解析】通解  设等差数列的公差为，∵．

∴，解得，

∵，∴，

∴．故选B．

优解  设等差数列的公差为，∵，∴，

∴，∴，

∵，∴，∴．故选B．

2．C【解析】解法一 由，得，

由，得，

设公差为，即，所以．选C．

解法二 设公差为，则有解得，故选C．

3．A【解析】设的公差为（），由，得，

所以，．选A． 

4．C【解析】∵，当，可得；当，可得．所以“”是“” 充分必要条件，选C．

5．C【解析】设等差数列的公差为，因为为等差数列，且，所以．又，解得，所以，所以，选C．

6．B【解析】由等差数列的性质得，选B．

7．B【解析】由成等比数列可得：，

即，所以，所以．

又．

8．C【解析】∵数列为递减数列，，等式右边为关于的一次函数，∴．

9．C【解析】 设等差数列的公差为，则，所以，解得，所以．

10．B【解析】由等差数列的性质得，因为，，所以，选B．

11．C【解析】有题意知==0，∴==（）=2，

= =3，∴公差==1，∴3==，

∴=5，故选C.

12．D【解析】设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但

，是递减数列，所以错；，所以是递增数列，正确．

13．B【解析】由题意有,,又∵，∴，∴．

14．B【解析】，而，故选B.

15．B【解析】由，得，

．

16．A【解析】

．

17．D【解析】因为是与的等比中项，所以，又数列的公差为，所以，解得，

故，

所以．

18．A【解析】．

19．14【解析】解法一 设的公差为，首项为，则，

解得，所以．

解法二 ，所以．故，故．

20．【解析】设等差数列的公差为，，

∴，∴．

21．【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，

解得，，

∴，所以，

所以． 

22．10 【解析】 由得，所以，

故．

23．8 【解析】 ∵数列是等差数列，且，．又

，∴．当=8时，其前项和最大．

24．【解析】由题意可知，当且仅当时取最大值，可得，解得．

25．－49【解析】设的首项为，公差，由，，得，解得，∴，

设，

当时，当，，由，

当时，

当时，

∴时，取得最小值．

26．20【解析】 依题意，

所以．

或：

27．1，【解析】设公差为d,则,把代入得，

∴，=

28．35【解析】（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列．故由等差中项的性质，得，

即，解得．

（解法二）设数列的公差分别为,

因为

所以.所以.

29．【解析】

30．10【解析】设的公差为，由及，

得，所以．又，

所以，

即．

31．【解析】(1)设的公差为d，由题意得．

由得d=2．

所以的通项公式为．

(2)由(1)得．

所以当时，取得最小值，最小值为−16．

32．【解析】（Ⅰ）易知，，且，，

所以

，

．

下面证明：对任意且，都有．

当且时，

∵且

∴．

因此对任意且，，则．

又∵，

故对均成立，从而是等差数列

（Ⅱ）设数列和的公差分别为，下面我们考虑的取值．

对，，，

考虑其中任意项且，

下面分，，三种情况进行讨论．

（1）若，则

①若，则

则对于给定的正整数而言，

此时，故是等差数列

②，则

则对于给定的正整数而言，

此时，故是等差数列

此时取，则是等差数列，命题成立．

（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数．

故必存在，使得当时，

则当时，

因此，当时，．

此时，故从第项开始为等差数列，命题成立．

（3），则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数．

故必存在，使得当时，

则当时，

因此当时，．

此时

令，，

下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，．

①若，则取（表示不等于的最大整数）

当时，

此时命题成立．

若，则取

当时

此时命题成立．

因此，对任意正数，使得当时，．

综合以上三种情况，命题得证．

33．【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，

所以，当时，

，

又对也成立，所以．

又因为是等差数列，设公差为，则．

当时，；当时，，

解得，所以数列的通项公式为．

(Ⅱ)由，

于是，

两边同乘以２，得

，

两式相减，得

．

34．【解析】(Ⅰ)由题意得，有，

因此，所以数列是等差数列．

(Ⅱ) 

．

所以．

35．【解析】（1）由已知有，

 即，

     从而．

又因为成等差数列，即．

所以，解得．

所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列．故．

（2）由（1）得．

所以．

由，得，即．

因为，

所以．

于是，使成立的n的最小值为10．

36．【解析】（Ⅰ）由题意有， ，即．

解得 或，故或．

（Ⅱ）由，知，，故，于是

，          ①

.         ②

①-②可得

，故．

37．【解析】(Ⅰ)方程的两根为2,3，由题意得

设数列的公差为d，则故从而

所以的通项公式为．

（Ⅱ）设的前n项和为由（I）知则

两式相减得

所以．

38．【解析】(Ⅰ)由题设，

两式相减得

由于，所以

（Ⅱ）由题设，，，可得

由(Ⅰ)知，

令，解得

故，由此可得

是首项为1，公差为4的等差数列，；

是首项为3，公差为4的等差数列，.

所以，.

因此存在，使得数列为等差数列．

39．【解析】（Ⅰ）由题意，，

将代入上式得或，

因为，所以，从而，（）.

（Ⅱ）由（1）知，，

所以，

由知，，

所以，所以.

40．【解析】（Ⅰ）设的公差为，则=．

由已知可得

（2）由（Ⅰ）知

从而数列

.

41．【解析】（Ⅰ）因为数列的公差，且成等比数列，

所以，

即，解得或．

（Ⅱ）因为数列的公差，且，

所以；

即，解得

42．【解析】（Ⅰ）设的公差为，由题意，

即

于是

所以（舍去），

故

（Ⅱ）令．

由（Ⅰ）知，所以是首项为25，公差为的等差数列，从而

．

43．【解析】（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，

由，得

，

解得，，．

因此 ．

（Ⅱ）由题意知：

所以时，

故，  

所以，

则

两式相减得

整理得，

所以数列的前项和．

44．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则

    由

    解得=－2．

从而，

（Ⅱ）由（I）可知，

所以

进而由

即，解得

又为所求．

45．【解析】(Ⅰ)由题意知==－3,=－8．

所以  解得=7，所以=－3，=7．

（Ⅱ）因为+15=0,

所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，

即2a12+9da1+10d2+1=0．

故(4a1+9d)2=d2－8．所以d2≥8．

故d的取值范围为d≤－2或d≥2．