初中数学北师大版八年级下册5 一元一次不等式与一次函数精品达标测试

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2.5 一元一次不等式与一次函数

关于x的一元一次不等式kx+b＞0(＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围。
 
【题型一】由直线与坐标交点求不等式解集
【典题】（2022春·山东聊城·八年级统考期末）若一次函数(为常数，且)的图象经过点，，则不等式的解为(    )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可直接画出图像，利用数形结合直接读出不等式的解
【详解】如下图图象，易得时，
故选D

【点睛】本题考查一次函数与不等式的关系，本题关键在于利用画出图像，利用数形结合进行解题
巩固练习
1．（ê）（2022春·山东聊城·八年级统考期末）如图，直线（）过点，，则方程的解集是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】所求不等式的解集，即为函数y=ax+b图象在x轴上方部分的横坐标即可．
【详解】解：∵直线经过点A（0，5）和B（-3，0），
∴当x＞-3时，直线在x轴上方，
∴ax+b＞0，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式．注意掌握从函数的角度看，就是求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
2．（ê）（2022秋·广东深圳·八年级期末）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C．随的增大而减小 D．当时，
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误；
图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确；
当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即﹥0，D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
3．（ê）（2021春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期中）如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察函数图象得到kx＞2b的解集是x＜3，再求不等式k（x﹣1）＞2b的解集即可．
【详解】解：由图象可得：当x＜3时，kx﹣2b＞0，
所以关于x的不等式kx＞2b的解集是x＜3，
所以关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集为x﹣1＜3，
即：x＜4，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
4．（ê）（2022春·河南鹤壁·八年级统考期末）如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可．
【详解】解：由题意将代入，可得，即，
整理得，，
∴，
由图像可知，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
5．（ê）（2022秋·浙江·八年级期末）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（    ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数图象与坐标轴的交点分析判断即可．
【详解】根据题意，不等式的解是，
则当时，函数图象位于轴下方，据此只有D选项符合题意，
故选D
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题及不等式，数形结合是解决此题的关键．
6．（ê）（2022春·四川达州·八年级校联考期中）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是________．

【答案】0 【分析】根据函数的图象，找到当时对应的x的取值范围即可得出结论．
【详解】由函数的图象可知，当时，，当时，，
∴当时，x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数图象确定不等式的解集，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（ê）（2022春·江西赣州·八年级统考期末）如图，直线l是一次函数的图象．

（1）求出这个一次函数的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出时x的取值范围．
【答案】（1）y=x+1；（2）x＜-2
【分析】（1）根据图形确定出一次函数图象上两点坐标，代入解析式求出k与b的值，即可求出解析式；
（2）根据图象确定出x的范围即可．
【详解】解：（1）根据题意得：点（-2，0）和点（2，2）在一次函数图象上，
把（-2，0）与（2，2）代入y=kx+b得：
，
解得：，
则一次函数解析式为y=x+1；
（2）根据图象得：当y＜0时，x＜-2．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
8．（êê）（2020·浙江·八年级期末）在平面直角坐标系中，一次函数（k，b是常数，且）的图象经过点和．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点在该函数的图象上，求点P的坐标；
（3）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用待定系数即可求得函数的表达式；
（2）将代入函数解析式，求得a的值后即可求得P的坐标；
（3）根据y的取值范围，可得x的不等式，求解即可．
【详解】解：（1）一次函数过（2，1）和（-1,7），
∴，
解得：，
∴；
（2）由（1）可知：，
将代入，
∴，解得，
即，
∴；
（3）∵，
当时，
则，
解得：，
∴x的取值范围：．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式．解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
9．（ê）（2022春·河南平顶山·八年级统考期末）在坐标系中作出函数y＝x＋2的图象，根据图象回答下列问题：
（1）方程x＋2＝0的解是 　 　；
（2）不等式x＋2＞1的解 　 　；
（3）若﹣2≤y≤2，则x的取值范围是 　 　．

【答案】（1）x=-2；（2）x＞-1；（3）-4≤x≤0
【分析】画出函数图象
（1）方程x＋2＝0的解即为y＝x＋2与x轴交点的横坐标；
（2）不等式x＋2＞1的解即为y＝x＋2中纵坐标大于1的图象对应的横坐标的取值范围；
（3）若-2≤y≤2，则y＝x＋2的函数值在-2到2之间对应图像的横坐标的范围．
【详解】解：y=x+2
列表如下：

图象如下图所示：

（1）由图形可得，方程的解是，
故答案为；
（2）由图象可得，不等式的解是，
故答案为；
（3）若，则的取值范围是，
故答案为．
【点睛】本题考查一次函数的图象、一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题．
【题型二】根据两条直线的交点求不等式解集
【典题】（2022春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（   ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可．
【详解】解：由题意可知，
当时，
直线的图像位于直线图像的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022春·河南郑州·八年级校考期中）如图，一次函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式ax+4＜2x的解集是（  ）

A．x＜ B．x＜2 C．x＞ D．x＞2
【答案】C
【分析】先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式ax+4＜2x的解集．
【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
解得m=，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式ax+4＜2x的解集为；
故选：C
【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，得到“ax+4＜2x时，y=ax+4的图象在y=2x的图象下方”是解题关键．
2（ê）（2022春·河北石家庄·八年级石家庄二十三中校考期中）如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图像可知当x<-1时， ，然后在数轴上表示出即可．
【详解】由图像可知当x<-1时，，
∴可在数轴上表示为：

故选C．
【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．函数y1＞y2时x的范围是函数y1的图象在y2的图象上边时对应的未知数的范围，反之亦然．
3．（ê）（2022秋·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期末）如图，已知函数和的图象交于点，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C．时， D．时，
【答案】D
【分析】根据一次函数与一元一次不等式的关系，可知x取何值时，y1＜y2或y1＞y2，根据一次函数的图象经过的象限，可知其对应系数a与b的符号．
【详解】解：A、由y2＝ax−3的图像经过一、三、四象限，可知： a＞0，故该选项错误；
B、由函数y1＝3x＋b的图像经过一、二、三象限，可知b＞0，故该选项错误；
C、由图象可知x＜−2时，y1＜y2，故该选项错误；
D、由图象可知x＜−2时，y1＜y2，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系及一次函数y＝kx＋b的图象经过的象限与其系数k、b的关系．不等式kx＋b＞mx＋n的解集即为由直线y＝kx＋b在直线y＝mx＋n上方部分所有点的横坐标所构成的集合；不等式kx＋b＜mx＋n的解集即为由直线y＝kx＋b在直线y＝mx＋n的下方部分所有点的横坐标所构成的集合．一次函数y＝kx＋b的图象经过的象限由其系数k、b的符号决定：①当k＞0，b＞0时，图象经过一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，图象经过一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，图象经过一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，图象经过二、三、四象限．
4．（êê）（2022春·江西吉安·八年级校考期中）直线和把平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分（包括边界在内，如图），则满足且的点必在（ ）．

A．第Ⅰ部分 B．第Ⅱ部分 C．第Ⅲ部分 D．第Ⅳ部分
【答案】B
【分析】y=x和y=-x+1把平面分成 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，满足的点都在直线的下方，满足的点都在直线的上方，由图即可得出答案．
【详解】由图可知，
满足的点都在直线的下方，
满足的点都在直线的上方，
故同时满足且的点为两者的重合部分，
由图知，点必定在第Ⅱ部分，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是掌握数形结合的数学思想，即利用图象解决问题的方法，这也是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用．
5．（ê）（2022春·福建漳州·八年级校考期中）如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为（    ）．

A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】观察图象，可知当x＜0.5时，y=kx+b＞0，y=mx+n＜0；当0.5＜x＜2时，y=kx+b＜0，y=mx+n＜0；当x＞2时，y=kx+b＜0，y=mx+n＞0，二者相乘为正的范围是本题的解集．
【详解】解：由图象可得，
当x＞2时，（kx+b）＜0，（mx+n）＞0，则（kx+b）（mx+n）＜0，故A错误；
当0＜x＜2时，kx+b＜0，mx+n＜0，（kx+b）（mx+n）＞0，但是没有包含所有使得（kx+b）（mx+n）＞0的解集，故B错误；
当时，kx+b＜0，mx+n＜0，故（kx+b）（mx+n）＞0，且除此范围之外都不能使得（kx+b）（mx+n）＞0，故C正确；
当x＜0.5时，y=kx+b＞0，y=mx+n＜0；当x＞2时，y=kx+b＜0，y=mx+n＞0，则（kx+b）（mx+n）＜0，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用函数图象来解一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．
6（ê）（2021秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，两个一次函数y＝kx+b与y＝mx+n的图象分别为直线l1和l2，l1与l2交于点A（1，p），l1与x轴交于点B（-2，0），l2与x轴交于点C（4，0），则不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为_____．

【答案】1＜x＜4
【分析】先解不等式0＜mx+n，结合图像可知上的点在轴的上方，可得＜ 再解mx+n＜kx+b，结合图像可知上的点在的上方，可得＞ 从而可得0＜mx+n＜kx+b的解集．
【详解】解： 不等式0＜mx+n，
上的点在轴的上方，

＜
mx+n＜kx+b，
上的点在的上方，
，
＞
不等式组0＜mx+n＜kx+b的解集为1＜＜4，
故答案为：1＜＜4，
【点睛】本题考查的是一次函数与不等式组的关系，掌握利用一次函数的图像解不等式组是解题的关键．
7．（ê）（2020·浙江金华·八年级期中）已知一次函数与的图象如图所示．

（1）写出关于x，y的方程组的解为________．
（2）若，写出x的取值范围________．
【答案】         
【分析】（1）方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标；
（2）不等式的解就是当一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围．
【详解】解：（1）方程组的解就是一次函数与的交点坐标的横纵坐标，
由图知，；
（2）不等式的解就是找到图中一次函数的图象在一次函数的图象上方时，且两者的函数图象都在x轴上方时，x的取值范围，
由图知，．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组和不等式的关系，解题的关键是能够理解方程组的解就是函数图象的交点坐标的横纵坐标，以及利用函数图象解不等式的方法．
8．（ê）（2021春·江西抚州·八年级统考期中）已知一次函数（k为常数，k≠0）和．
（1）当k＝﹣2时，若＞，求x的取值范围；
（2）当x＜1时，＞．结合图像，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）；（2）-4⩽k⩽1且.
【分析】（1）解不等式−2x＋2＞x−3即可；
（2）先计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx＋2（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝x−3的上方确定k的范围．
【详解】解：（1）当时，，
根据题意，得，
解得；
（2）当x＝1时，y＝x−3＝−2，
把（1，−2）代入y1＝kx＋2得k＋2＝−2，
解得k＝−4，
当−4≤k＜0时，y1＞y2；
当0＜k≤1时，y1＞y2．
∴k的取值范围是：-4⩽k⩽1且．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．（êê）（2022秋·浙江·八年级期末）如图，直线y=kx+b经过点A（-5，0），B（-1，4）
（1）求直线AB的表达式；
（2）求直线CE：y=-2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积；
（3）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞-2x-4的解集．

【答案】（1）y=x+5；（2）；（3）x＞-3．
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）联立两直线解析式，解方程组可得到两直线交点C的坐标，即可求直线CE：y=-2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积；
（3）根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（-5，0），B（-1，4），
，解得，
∴直线AB的表达式为：y=x+5；
（2）∵若直线y= -2x-4与直线AB相交于点C，
∴，解得，故点C（-3，2）．
∵y= -2x-4与y=x+5分别交y轴于点E和点D，∴D（0，5），E（0，-4），
直线CE：y= -2x-4与直线AB及y轴围成图形的面积为：DE•|Cx|=×9×3=；
（3）根据图象可得x＞-3．
故答案为（1）y=x+5；（2）；（3）x＞-3．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是从函数图象中获得正确信息．
10．（êê）（2022秋·陕西西安·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．

(1)求k、b的值；
(2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集；
(3)若点D在y＝3x上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标．
【答案】(1)，
(2)不等式kx+b﹣3x>0的解集为
(3)点D的坐标为：或

【分析】（1）先确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值；
（2）结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的的范围即可；
（3）先确定B点坐标，设点，则，，然后求出即可得到D点坐标．
（1）
解：当时，，
点坐标为．
∵直线经过和，
∴，解得：，
一次函数的解析式为，
（2）
解：根据函数图象可知，不等式的解集是；
（3）
解：如图，在直线上任取点，过点D作轴交直线AB于点E
当时，即，解得，

∴
∵S△BCD＝2S△BOC
∴
∵
∴
∴
设点，则
∴
∴，解得或
∴点D的坐标为：或

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式以及一次函数面积问题，解题关键是利用铅锤法表示三角形面积，注意分类讨论．