【同步知识讲义】人教版数学八年级下册-18.2.5 垂美四边形 知识点剖析讲义（原卷版+解析版）

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18.2.5 垂美四边形

垂美四边形的概念：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。
垂美四边形的性质：①S垂美四边形ABCD=12AC•BD ②AB2+DC2=AD2+BC2
证明：1）S垂美四边形ABCD=S△ABC+ S△ADC
=12AC•BP+12AC•DP=12AC•(BP+DP)=12AC•BD
结论：垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半。
2）∵AB2=AP2+BP2 CD2=PD2+PC2
∴AB2+CD2 = AP2+BP2+PD2+PC2
∵AD2=AP2+DP2 BC2=BP2+PC2
∴AD2+BC2 = AP2+BP2+PD2+PC2
∴AB2+DC2=AD2+BC2
 
1．（ê）（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=2，，则AB2+CD2=________．

【答案】29
【分析】先利用勾股定理求出OA2+OD2=AD2=4，OB2+OC2=BC2=25，可得OA2+OD2+OB2+OC2=29，然后由OA2+OB2=AB2，OC2+OD2=CD2得出答案．
【详解】解：由题意知BD⊥AC，
∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，
根据勾股定理得，OA2+OD2=AD2=22=4，OB2+OC2=BC2=52=25，
∴OA2+OD2+OB2+OC2=4+25=29，
根据勾股定理得，OA2+OB2=AB2，OC2+OD2=CD2，
∴AB2+CD2=29，
故答案为：29．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
2．（êê）（2022春·山东聊城·八年级校考期中）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：经探究发现，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有这样的数量关系：AB2+CD2＝AD2+BC2，请写出证明过程；（先画出图形，写出已知，求证）
(3)问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG和GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
【答案】(1)四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析
(2)见解析
(3)GE＝73

【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）设AC交BD于点O，根据题意得，由勾股定理得，，，即可得；
（3）连接CG、BE，根据正方形的性质得，AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，即可得∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，利用SAS可证△GAB≌△CAE，即∠ABG＝∠AEC，根据角之间的关系得CE⊥BG，即可得四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，根据AC＝4，AB＝5，即可求出BC的长，根据勾股定理可求出CG，BE的长，即可求出CE的长．
（1）
四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
解：如图2，连接AC、BD，

∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，
即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）
已知，如图1，垂美四边形ABCD的对角线交于点O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2

证明：∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
（3）
解：如图3，连接CG、BE，

∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC=AB2-AC2=52-42=3，
∵CG=AC2+AG2=42+42=42，
BE=AB2+AE2=52+52=52，
∴，
∴GE=73．
【点睛】本题考查了四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．
3．（êê）（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是  ．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB=AD，CB=CD．
(2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即， 如图1，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2=AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
(3)问题解决：如图2．在△ABC中，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．
【答案】(1)③④
(2)正确，理由见解析
(3)5

【分析】（1）利用垂美四边形的定义依次判断，可求解；
（2）由勾股定理可得结论；
（3）由三角形中位线定理可得AD＝12AC＝2，BE＝12BC＝32，DE＝12AB，由垂美四边形的性质可求解．
【详解】（1）①平行四边形的对角线不一定互相垂直，所以平行四边形不一定是垂美四边形；
②矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，所以矩形不是垂美四边形；
③菱形的对角线互相垂直，所以菱形是垂美四边形；
④∵四边形ABCD中AB=AD，CB=CD，
∴点A、C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC⊥BD，
∴当四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD时，四边形是垂美四边形；
综上分析可知，在四边形ABCD中，是垂美四边形的是③④；
（2）猜想正确，理由如下：
∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=∠BOC=∠AOD=90°，
∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，BC2=OB2+OC2，AD2=OA2+OD2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）∵BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC的中点，
∴AD=12AC=2，BE=12BC=32，DE=12AB，
∵AE⊥BD，
∴AB2+ED2=AD2+BE2，
∴54AB2=4+94，
∴AB=5．
【点睛】本题为四边形综合题，主要考查的是菱形的性质，垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
4．（êê）（2022秋·全国·八年级期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G．
（1）求证：四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由；
（3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为　 　．

【答案】（1）证明见解析；（2）AB2+CD2=BC2+AD2,证明见解析；（3）14
【分析】（1）先证明△BED≌△CEA,可得∠EBD=∠ECA,再证明∠CFO+∠ECA=90°,从而可得结论；
（2）由AC⊥BD, 结合勾股定理可得：OA2+OB2+OC2+OD2=AB2+CD2, OA2+OB2+OC2+OD2=BC2+AD2,从而可得结论；
（3）利用已知条件结合勾股定理分别求解BC2=18,AD2=32,再利用（2）中的结论解题即可.
【详解】解：（1）∵∠BEC＝∠AED＝90°，
∴∠BED=∠CEA,∠EBF+∠BFE=90°,
∵BE＝EC，AE＝ED，
∴△BED≌△CEA,
∴∠EBD=∠ECA,
∵∠EBF+∠BFE=90°,∠BFE=∠CFO,
∴∠CFO+∠ECA=∠BFE+∠EBD=90°,
∴∠COB=90°,
∴AC⊥BD,
∴四边形ABCD是垂美四边形.
（2）猜想：AB2+CD2=BC2+AD2,理由如下：
∵AC⊥BD,
∴OA2+OB2=AB2,OC2+OD2=CD2,
∴OA2+OB2+OC2+OD2=AB2+CD2,
同理可得：OA2+OB2+OC2+OD2=BC2+AD2,
∴AB2+CD2=BC2+AD2.
（3）∵BE=CE=3,AE=DE=4,∠BEC=∠AED=90°,
∴BC2=32+32=18,AD2=42+42=32,
∵AB=6, AB2+CD2=BC2+AD2,
∴62+CD2=18+32,
∴CD2=14,
∴CD=14（负根舍去）
故答案为：14
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平方根的含义，理解题意，熟练运用以上知识解题是关键.
5．（êêê）（2021春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）解决问题：已知AB＝52．BC＝42，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝26，则S△ABC＝　　．

【答案】（1）见解析；（2）①；②72
【分析】（1）根据AC⊥BD可以得到∠AOB =∠COD=90°即可得到AB²=AO²+OB²，CD² =DO²+OC²即AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理可以得到AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²即可得到答案;
（2）连DC、AE相交于点F，先证明△ABE≌△DBC得到∠CDB=∠BAE从而证得AE⊥CD再利用勾股定理和（1）中的结论求解即可得到答案；
（3）连DC、AE相交于点F，作CP⊥BD交DB延长线于点P，BP²+CP²=BC²=（42）²=32，DP²+PC²=DC²=（46）²=96，(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64，DP²-BP²=64从而求出BP=7102，再证明AB∥PC则S△ABC＝12AB×BP.
【详解】解：（1）证明：∵AC⊥BD
∴∠AOB=90°
在Rt△AOB中AB²=AO²+OB²
∴∠COD=90°
在Rt△COD中CD² =DO²+OC²
∴AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²
同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC²

(2) ①解：连DC、AE相交于点F
∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形
∴BE=BCAB=BD
∠CBE=∠ABD=90°
∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC
∴△ABE≌△DBC
∴∠CDB=∠BAE
∵∠ABD=90°
∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90°
∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°
∴∠AFD=90°
∴AE⊥CD
∵AB=52，BC=42∠ACB=90°
∴AC=AB2-BC2=32
∵AB=52，BD=52∠ABD=90°
∴AD=AB2+BD2=10
∵BC=42，BE=42∠CBE=90°
∴CE=BC2+BE2=8
由（1）中结论AD²+EC²=AC²+DE²
∴(10)²+（8）²=（32）²+DE²
∴DE=146

②连DC、AE相交于点F
∵点G、H分别是AD、AC中点，GH＝26
∴DC=2GH=46
作CP⊥BD交DB延长线于点P
BP²+CP²=BC²=（42）²=32
DP²+PC²=DC²=（46）²=96
∴(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64
∴DP²-BP²=64
∴（BD+BP)²-BP²=64
∴（52+BP)²-BP²=64
∴BP=7102
∵∠PBA=90°，∠P=90°，
∴∠PBA+∠P=90°+90°=180°
∴AB∥PC
则S△ABC＝12AB×BP=12×52×7102=72

【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
6．（êêê）（2018·江苏·校考一模）小明学习了特殊的四边形---平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 ．
(2)性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系．
(3)问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．
①求证：四边形BCGE为垂美四边形；    
②直接写出四边形BCGE的面积．

【答案】（1）菱形、正方形；（2）AD2+BC2=AB2+CD2；（3）①见详解；②652.
【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）利用勾股定理，分别求出AD2，BC2，AB2，CD2，然后即可得到结论；
（3）①连接CG、BE，证出∠GAB=∠CAE，由SAS证明△GAB≌△CAE，得出BG=CE，∠ABG=∠AEC，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出∠BNM=90°，得出BG⊥CE即可；
②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合面积公式计算即可．
【详解】解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形；
故答案为：菱形、正方形；
（2）设AC与BD相交于点O，

由勾股定理，得：
AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2；
AB2=OA2+OB2，CD2=OD2+OC2；
∴AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，
AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2；
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）①证明：连接CG、BE，如图2所示：

∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴∠F=∠CAG=∠BAE=90°，FG=AG=AC=CF，AB=AE，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴BG=CE，∠ABG=∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN=90°，
∴∠BNM=90°，
∴BG⊥CE，
∴四边形BCGE为垂美四边形；
②解：∵FG=CF=AC=4，∠ACB=90°，AB=5，
∴BC=AB2-AC2=3，
∴BF=BC+CF=7，
在Rt△BFG中，BG=BF2+FG2=72+42=65，
∴CE=BG=65，
∵四边形BCGE为垂美四边形，
∴四边形BCGE的面积=△BCE的面积+△GCE的面积
=12CE•BN+12CE•GN
=12CE•(BN+GN)
=12CE•BG
=12×65×65=652；
【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
7．（êê）（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 　 ；
(2)如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
(3)如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、，CE与BG交于点O，已知AC=3，AB=5，求△OGE的中线的长．
【答案】(1)菱形和正方形
(2)AD2+BC2=AB2+CD2，理由见解析
(3)13

【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质进行判断即可；
（2）根据勾股定理得出AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可证明结论；
（3）连接、，设AB，CE交于点M，证明△GAB≌△CAESAS，得出∠ABG=∠AEC，证明CE⊥BG，根据解析式（2）得出CG2+BE2=CB2+GE2，根据勾股定理求出BC=AB2-AC2=4，根据GE2=CG2+BE2-CB2=18+50-16=52，求出GE=213，最后根据直角三角形的性质求出结果即可．
【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）解：猜想：AD2+BC2=AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理，得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）解：连接、，设AB，CE交于点M，如图所示：

∵四边形ACFG和ABDE为正方形，
∴∠CAG=∠BAE=90°，AG=AC，，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
即∠GAB=∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，
∴△GAB≌△CAESAS，
∴∠ABG=∠AEC，
∵∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=3，AB=5，
∴BC=AB2-AC2=4，CG=2AC=32， ，
∴GE2=CG2+BE2-CB2=18+50-16=52，
∴GE=213，
∴OH=12GE=13．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造垂美四边形．
8．（êê）（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是 （填序号）；
(2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：AB2＋CD2＝AD2＋BC2；
(3)解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝5，AB＝3
①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由；
②求GE的长．
【答案】(1)③④；
(2)证明见解析；
(3)①证明过程见解析；②26 ．

【分析】（1）根据垂美四边形的定义即可判断；
（2）根据勾股定理解答即可；
（3）①连接CG、BE， AB与CE交于点O， BG与CE交于点N，证明△GAB≌△CAE (SAS)，进而得BG⊥CE，再根据（1）的结论便可求得结果．②由（2）得出CG2+BE2=CB2+GE2 ，根据勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为∶③④；
（2）证明∶ ∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理，得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2 ，
∴AB2+CD2=AD2+BC2 ；
（3）解：①连接CG、 BE， 令AB与CE交于点O， BG与CE交于点N，如图2，

∵分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，
∴∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，∠AEC+∠AOE=90°，
在△GAB和△CAE中，
AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE ，
∴△GAB≌△CAE (SAS)，  
∴∠ABG=∠AEC，
又∵∠AEC+∠AOE=90°，
∴∠ABG+∠AOE=90°，即∠ABG+∠BON=90°，
∴CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形；
②∵由（2）得， CG2+BE2=CB2+GE2，AC＝5，AB＝3，
∴， CG=2AC=10，BE=2AB=32，
∴，
∴GE=26．  
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理，正确理解垂美四边形的定义以及灵活运用勾股定理是解题的关键．
9．（êê）（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)写出2个所学的特殊四边形是垂美四边形： ， ；
(2)性质探究：已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想；
(3)问题解决：如图2，分别以RtΔACB的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰∠GAC=90°和等腰∠BAE=90°，连接，GB，CE，已知AC=2，AB=5．求的长．
【答案】(1)菱形，正方形；
(2)AB²+CD²=AD²+BC²，证明见详解；
(3)37

【分析】(1)根据菱形和正方形的性质可得答案；
(2)根据勾股定理可得OA²+OB²=AB²，OC²+OD²=CD²，两式相加，再次利用勾股定理，则可得结论；
(3)先根据ASA证明△GAB≌△CAE，则∠AGB=∠ACE，进而得到∠COF=90º，则CE丄GB，利用(2)中的结论即可求出GE的长．
（1）
∵菱形和正方形的对角线互相垂直，
∴菱形和正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形，正方形
（2）

AB²+CD²=AD²+BC²，理由如下：
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC丄BD，
∴OA²+OB²=AB²，OC²+OD²=CD²，
∴OA²+OB²+OC²+OD²=AB²+CD²，
∴AD²+BC²=AB²+CD²；
（3）

设CE与BG相交于O点，AC与BG相交于F点．
∵△ACG和△ABE都是等腰直角三角形，
∴AC=AG，AB=AE，∠CAG=∠BAE，
∴∠BAG=∠CAE，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠AGB=∠ACE.
又∵∠AFG=∠CFO，
∴∠COF=∠GAF=90º，
∴CE丄GB，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG²+BE²=CB²+GE².
∵AC=AG=2，∠CAG=90º，
∴CG²=2²+2²=8.
∵AB=AE=5，∠BAE=90º，
∴BE²=5²+5²=50.
∵AC=2，AB=5，∠ACB=90º，
∴BC²=5²-2²=21，
∴8+50=21+GE²，
GE²=37，
GE=37
【点睛】本题是一道综合性题目，主要考查了垂美四边形的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握垂美四边形的定义和性质是解题的关键．
10．（êê）（2020秋·江西九江·八年级统考期末）模型介绍
（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，请结合图1证明这个结论．
　　　
（2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD=63．
【分析】（1）根据垂直的定义和勾股定理得出AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2，即可得出结论；
（2）连接BP，设PD=x，则AP=2x，AD=BC=3x，根据勾股定理以及垂美四边形的性质列方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵AC⊥BD，
∴Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，
Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，
Rt△COB中，OC2+OB2=CB2，
Rt△AOD中，OD2+OC2=DC2，
∴AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2；
（2）连接BP，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，AD=BC，
设PD=x，则AP=2x，AD=BC=3x，
BP2=AB2+AP2=62+(2x)2=36+4x2，
∵PC⊥BD，
∴BP2+CD2=BC2+PD2，
∴36+4x2+62=(3x)2+x2，
化简得x2=12，
解得x=23或x=−23 (舍) ．
∴AD=63．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，理解新定义，灵活运用勾股定理构建方程是解题的关键．
11．（êê）（2023春·全国·八年级专题练习）[定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形．
[理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形ABCD， 每个三角尺三个内角的度数都是 30°、60°和 90°．四边形ABCD是什么四边形，∠ABC+∠ADC等于多少度；
[探究]如图②，四边形ABCD是垂美四边形．∠A=90°．∠B=80°，E 是边 AD延长线上一点，求∠C和∠CDE的度数．
[应用]如图③，四边形 ABCD 是垂美四边形，∠A=90°，BE 和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，交 AD、BC 于点 E、F．试说明 BE∥DF．

【答案】[理解]垂美，180；[探究]∠C=90°，∠CDE=80°；[应用] 见解析．
【分析】[理解]根据垂美四边形的定义即可解决问题；
[探究]根据垂美四边形的定义，四边形内角和定理即可解决问题；
[应用]利用等角的余角相等，证明∠AEB=∠ADF即可解决问题．
【详解】[理解]如图①中，∵∠A=∠C=90°，∴四边形ABCD是垂美四边形，∴∠ABC+∠ADC=360°﹣90°﹣90°=180°．
故答案为垂美，180；
[探究]如图②中，∵四边形ABCD是垂美四边形，∴∠C=∠A=90°．
∵∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，且∠B=80°，∴∠ADC=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°．
∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠CDE=80°；
[应用]如图③中，由探究可知，∠ABC+∠ADC=180°．
∵BE和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，∴∠ABE=12∠ABC，∠ADF=12∠ADC，∴∠ABE+∠ADF=12（∠ABC+∠ADC）=90°．
∵∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF．

【点睛】本题是四边形综合题、考查了四边形内角和定理、垂美四边形的定义，角平分线的定义，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．