初中数学人教版九年级上册21.1 一元二次方程优秀精练

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2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高
第22章《二次函数》
22.2 二次函数与一元二次方程

知识点01：利用二次函数求一元二次方程的近似根
1．（2021九上·香洲期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如表所示，则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）
x
……
0

4
……
y
……
0.32
﹣2
0.32
……
A．0或4 B．1或5 C． 或4﹣ D． 或 ﹣2
2．（2021九上·上城月考）根据下列表格中的对应值：
x
1.98
1.99
2.00
2.01

-0.06
-0.05
-0.03
0.01
判断方程 （ ，a，b，c为常数）一个根x的范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·长兴月考）小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　）

A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
4．（2021九上·铁东期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax2+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是 　 　．
5．在关于的 二次函数中，自变量 可以取任意实数，下表是自变量 与函数 的几组对应值：

…
1
2
3
4
5
6
7
8
…

…
-1.78
-3.70
-4.42
-3.91
-2.20

4.88
10.27
…
根据以上信息，关于 的一元二次方程 的两个实数根中，其中的一个实数根约等于　 　（结果保留小数点后一位）．
6．（2020九上·武昌月考）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①abc＜0 ；② 4a＋c＜2b ；③m(am＋b)+b>a（m≠－1）；④方程ax2＋bx＋c-3＝0的两根为x1，x2（x1－3 ，其中正确结论的是　 　.

7．（2018九上·扬州期末）关于 的方程 的解是 = ， = （ 、 、 为常数， 0），则方程 的解是　 　．
8．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？





9．画图求方程x2=﹣x+2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看下面两位同学不同的方法．
甲：先将方程x2=﹣x+2化为x2+x﹣2=0，再画出y=x2+x﹣2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解；
乙：分别画出函数y=x2和y=﹣x+2的图象，观察它们的交点，并把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．



10．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整：
例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解．
（1）解法一：（1）选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）．
（2）（2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图（1）所示，①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y= 　 　 的图象与x 轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解。②画出这两个函数的图象　 　 ，用x1，x2在x轴上标出方程的解。









11．（2020九上·北京月考）利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．

（1）请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；
（2）已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(结果保留两位有效数字)．



12．根据下列要求，解答相关问题．

（1）请补全以下求不等式 的解集的过程：
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y= ；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y= 的图象（只画出大致图象即可）；
②求得界点，标示所需：当 时，求得方程 的解为；并用虚线标示出函数y= 图象中 ＜0的部分；
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式 ＜0的解集为．
（2）请你利用上面求不等式解集的过程，求不等式 -3≥0的解集．



13．（2016九上·江海月考）二次函数 的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程 的两个根；
（2）当x为何值时，y＞0；y＜0？
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．











14．（2020九上·三门期末）例：利用函数图象求方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）.
解：画出函数y＝x2﹣2x﹣2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是﹣0.7，2.7.所以方程x2﹣2x﹣2＝0的实数根为x1≈﹣0.7，x2≈2.7.我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.……这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.


根据你对上面教材内容的阅读与理解，解决下列问题：
（1）利用函数图象确定不等式x2﹣4x+3＜0的解集是　 　；利用函数图象确定方程x2﹣4x+3＝ 的解是　 　.
（2）为讨论关于x的方程|x2﹣4x+3|＝m解的情况，我们可利用函数y＝|x2﹣4x+3|的图象进行研究.
①请在网格内画出函数y＝|x2﹣4x+3|的图象；
②若关于x的方程|x2﹣4x+3|＝m有四个不相等的实数解，求m的取值范围；
③若关于x的方程|x2﹣4x+3|＝m有四个不相等的实数解x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），满足x4﹣x3＝x3﹣x2＝x2﹣x1，求m的值.

15．阅读下列材料
我们通过下列步骤估计方程2x2+x﹣2=0的根的所在的范围．
第一步：画出函数y=2x2+x﹣2的图象，发现图象是一条连续不断的曲线，且与x轴的一个交点的横坐标在0，1之间．
第二步：因为当x=0时，y=﹣2＜0；当x=1时，y=1＞0．
所以可确定方程2x2+x﹣2=0的一个根x1所在的范围是0＜x1＜1．
第三步：通过取0和1的平均数缩小x1所在的范围；
取x= ，因为当x= 时，y＜0，
又因为当x=1时，y＞0，
所以 ＜x1＜1．
（1）请仿照第二步，通过运算，验证2x2+x﹣2=0的另一个根x2所在范围是﹣2＜x2＜﹣1；
（2）在﹣2＜x2＜﹣1的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将x2所在范围缩小至m＜x2＜n，使得n﹣m≤ ．














知识点02：利用二次函数判定一元二次方程根的情况
16．（2021九上·涟水月考）已知抛物线在平面直角坐标系中的位置如图，则下列结论中正确的是（　　）

A． B． C． D．
17．（2021九上·陇县期中）二次函数 的图象的一部分如图所示．已知图象经过点 ，其对称轴为直线 ．下列结论：① ；② ；③ ；④若抛物线经过点 ，则关于 的一元二次方程 的两根分别为 ，5，上述结论中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2021九上·泰安期中）若函数y=ax2+bx的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0的根的情况为(　　)

A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
19．（2021九上·凤山期中）如图，是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标为 ，与 轴的一个交点为 .直线 经过点 和点 .以下结论：
① ；② ；③抛物线与 轴的另一个交点是 ；④方程 有两个不相等的实数根；⑤ ；⑥不等式 的解集为 .其中结论正确的是（　　）

A．①④⑥ B．②⑤⑥ C．②③⑤ D．①⑤⑥
20．（2020九上·肥西期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝m有实数根，则m的取值范围是　 　．

21．（2020九上·武城期末）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0，c>0，b<0 ；②b2-4ac>0； ③a+b>am2+bm(m为实数)；④b+2a=0；⑤-a+c>0 正确的有　 　。

22．（2021九上·涟水月考）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式
23．在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+4x+4a（0＜a＜2）

（1）当C1与x轴有唯一一个交点时，求此时C1的解析式；
（2）如图①，若A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）三点均在C1上，连BC作AE∥BC交抛物线C1于E，求点E到y轴的距离；
（3）若a=1，将抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到抛物线C2，如图②，抛物线C2与x轴相交于点M、N（M点在N点的左边），抛物线的对称轴交x轴于点F，过点F的直线l与抛物线C2相交于P，Q（P在第四象限）且S△FMQ=2S△FNP，求直线l的解析式．










知识点03：二次函数与一元二次方程的综合应用
24．（2021九上·吴兴期末）已知一元二次方程2x2+bx 1＝0的一个根是1，若二次函数y＝2x2+bx 1的图象上有三个点（0，y1）、（ 1，y2）、（ y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
25．（2021九上·亳州月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解分别为x1，x2，则x1+x2的值为（　　）

A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
26．（2021九上·上城月考）已知二次函数与轴的交点是（1，0）和（3，0），关于的方程（其中）的两个解分别是和5，关于的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是（　　）
A．1和4 B．2和5 C．0和4 D．0和5
27．（2021九上·罗山月考）二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表.下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小③3是方程的一个根；④当时，.其中正确的个数为（　　）
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
-1
3
5
3
…
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．（2021九上·蓬江期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为 　 　．

29．（2021九上·朝阳期末）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为　 　．

30．（2021九上·温州期末）二次函数y=ax2+bx＋c的部分对应值列表如下：
x
…
-3
0
1
3
5
…
y
…
7
-8
-9
-5
7
…
则一元二次方程a(2x＋1)2+b(2x＋1)+c=-5的解为　 　.
31．（2020九上·长沙月考）已知抛物线 （m为常数）．
（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；
（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（ ， ），Q（7， ）（其中 ）两点，当 时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．



32．（2021九上·定海期末）如图，将二次函数(其中)的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为，另有一次函数的图象记为，若与恰有两个交点时，则的范围是　 　.

33．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．




34．（2020九上·澧县期末）已知：二次函数 ，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；











35．（2016九上·北京期中）密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．




36．（2021九上·淮北月考）已知P(－3，m)和Q(1，m)是抛物线上的两点．
（1）求b的值；
（2）判断关于x的一元二次方程是否有实数根，若有求出实数根；若没有请说明理由．



37．（2021九上·安吉期末） 某农户养殖经销大闸蟹，已知大闸蟹的成本价为60元/千克.市场调查发现，该大闸蟹每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系： w =-2x＋240.设大闸蟹每天的销售利润为y(元).
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）当销售价定为多少时，每天的销售利润最大?最大利润是多少?
（3）如果物价部门规定大闸蟹的利润不得高于40%，该农户想要每天获得1600元的销售
利润，销售价应定为多少?


38．（2021九上·大兴期中）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ ）．

（1）求抛物线的对称轴；
（2）若方程 （ ）有两个不相等的实数根 ， ，且 ，结合函数的图象，求 的取值范围．














39．（2021九上·南阳月考）下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2＋3|x|＋2的图象与性质进行的探究过程.
（1）函数y＝﹣x2＋3|x|＋2的自变量x的取值范围是　 　.
（2）列表
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1.5
﹣1
0
1
1.5
2
3
4
…
y
…
﹣2
2
4
4.25
4
2
4
m
4
2
﹣2
…
表格中m的值为　 　.
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2＋3|x|＋2的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；

（4）对于上面的函数y＝﹣x2＋3|x|＋2，
下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点.所有正确结论的序号是：　 　.
（5）结合函数图象，解决问题：
关于x的方程﹣x2＋3|x|＋2＝3有　 　个不相等的实数根.






40．（2020九上·江北月考）如图1，抛物线 平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与 X 轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积 ；
（2）如图2，直线AB与 Y 轴相交于点P，点M（M不与O、A重合）为线段OA上一动点， PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设 ，试探求：
① t 为何值时 为等腰三角形；
② t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．















41．（2020九上·南阳月考）小华是数学兴趣小组的一名成员，他在学过二次函数的图象与性质之后，对的图象与性质进行了探究，探究过程如下，请你补充完整.

（1）小刚通过计算得到几组对应的数值如下.
x
…
-5
-4
-3
-2

-1
0
1

2
3
4
5
…
y
…
-6
0
4
6

6
4
6

6
4
0
a
…
填空：自变量x的取值范围是　 　，　 　.
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描出上表中各组对应数值的点，并根据描出的点，画出该函数的图象.
（3）请你根据画出的图象，写出此函数的两条性质.
①　 　.
②　 　.
（4）平面内另有一条直线，若关于x的方程有4个不相等的实数根，则b的取值范围为　 　.







42．（2020九上·大洼月考）函数 的图象如图，那么

（1）方程 的根是 　 　；
（2）不等式 的解集是　 　；
（3）若方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围　 　；
（4）在 轴上有一点E，使AE+PE最短，求E点坐标.