初中数学21.1 一元二次方程精品达标测试

2022-2023学年九年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高

第21章《一元二次方程》

21.1 一元二次方程

知识点1：一元二次方程的定义

【典例分析01】（2021秋•麦积区期末）若关于x的方程（m﹣1）+4x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为 　﹣1　．

解：由题意得，，

由①得，m＝±1，

由②得，m≠1，

所以，m的值为﹣1．

故答案为：﹣1．

【变式训练1-1】（2022春•太仓市期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A．x2﹣3x+3＝0 B．x2﹣xy＝2 C． D．2（1﹣x）＝x

解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意；

B．是二元二次方程，故本选项不符合题意；

C．是分式方程，故本选项不符合题意；

D．是一元一次方程，故本选项不符合题意；

故选：A．

【变式训练1-2】（2021秋•瓦房店市期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）

A． B．2x＝6x2 C．2x+3＝0 D．x2﹣y2＝0

解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意；

B．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．该方程是一元一次方程，故本选项不合题意；

D．该方程中含有两个未知数，故本选项不合题意；

故选：B．

【变式训练1-3】（2021秋•萍乡期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）

A．x3+x＝3 B．（x﹣1）2＝x2﹣x 

C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0

解：A、x3+x＝3，是一元三次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

B、（x﹣1）2＝x2﹣x整理后是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C、x2＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意；

D、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此选项不符合题意意；

故选：C．

【变式训练1-4】（2021秋•沭阳县校级月考）若（m+1）x2﹣mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　m≠﹣1　．

解：由题意，得

m+1≠0，

解得m≠﹣1，

故答案为：m≠﹣1．

【变式训练1-5】（2018秋•洛龙区校级月考）已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0

（1）当k取何值时，它是一元一次方程？

（2）当k取何值时，它是一元二次方程？

解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得

或或，

解得k＝﹣1或k＝0．

故当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；

（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得

，

解得k＝1．

故当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．

【变式训练1-6】（2016•曲阜市校级开学）若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5＝0是一元二次方程，求m的值．

解：由题意，得

m2﹣5m+8＝2且m﹣2≠0，

解得m＝3，

m的值是3．

【变式训练1-7】试说明：无论a取何值时，关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0都是一元二次方程．

解：∵a2﹣8a+20＝0，

△＝（﹣8）2﹣4×20＝﹣16＜0，

方程a2﹣8a+20＝0无解，

即无论a取何值时a2﹣8a+20≠0，

∴无论a取何值时，关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1＝0都是一元二次方程．

知识点2：一元二次方程的一般形式

【典例分析02】（2021秋•陇县期末）方程2x2﹣3x＝2的一次项系数和常数项分别是（　　）

A．2和2 B．﹣3和2 C．3和﹣2 D．﹣3和﹣2

解：∵2x2﹣3x＝2，

∴2x2﹣3x﹣2＝0，

∴方程2x2﹣3x＝2的一次项系数和常数项分别是﹣3和﹣2，

故选：D．

【变式训练2-1】（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（　　）

A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3

解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，

∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，

解得：m＝﹣3．

故选：C．

【变式训练2-2】（2021秋•双峰县期末）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　）

A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1

解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，

∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，

故选：B．

【变式训练2-3】（2021秋•新罗区校级月考）方程2x2+8x＝x+9的二次项系数是　2　，一次项系数是　7　．

解：2x2+8x＝x+9，

3x2+7x﹣9＝0，

∴二次项系数为2，一次项系数为7，

故答案为：2，7．

【变式训练2-4】（2021秋•杨浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣3x+m2＝9的常数项为0，则m＝　﹣3　．

解：方程整理得：（m﹣3）x2﹣3x+m2﹣9＝0，

由常数项为0，得到m2﹣9＝0，

解得：m＝3（舍去）或m＝﹣3，

则m＝﹣3，

故答案为：﹣3

【变式训练2-5】（2017秋•长安区校级月考）把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项

（1）2x2＝1﹣3x

（2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．

解：（1）2x2＝1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1；

（2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．一般形式为x2﹣7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0．

知识点3：一元二次方程的解

【典例分析03】（2018秋•东城区校级月考）已知a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，求代数式的值．

解：∵a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，

∴a2+3a+1＝0，

∴a2+3a＝﹣1，

∴

＝

＝

＝

＝﹣3．

【变式训练3-1】（2022春•天桥区期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是x1＝m﹣3，x2＝1﹣m，那么方程a（x﹣m）2+bx+c＝mb的解是（　　）

A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝2m﹣3，x2＝1 

C．x1＝2m﹣3，x2＝1﹣2m D．x1＝﹣3，x2＝1﹣2m

解：方程a（x﹣m）2+bx+c＝mb可变形为a（x﹣m）2+b（x﹣m）+c＝0，

∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是x1＝m﹣3，x2＝1﹣m，

∴方程a（x﹣m）2+bx+c＝mb的解为x1﹣m＝m﹣3，x2﹣m＝1﹣m，即x1＝2m﹣3，x2＝1．

故选：B．

【变式训练3-2】（2022春•荣昌区校级期末）若x＝1是关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣2＝0的一个根，则m﹣n+2021的值为（　　）

A．2020 B．2022 C．2023 D．2026

解：把x＝1代入mx2﹣nx﹣2＝0中可得：

m﹣n﹣2＝0，

∴m﹣n＝2，

∴m﹣n+2021＝2+2021＝2023，

故选：C．

【变式训练3-3】（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

解：一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，

所以此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，

因为关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，

所以关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，

即x+2＝2022，

解得x＝2020，

所以一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为2020．

故选：A．

【变式训练3-4】（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝　﹣2和2　．

解：∵关于x的一元二次方程的两个根为±3，

∴关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，

解得y＝﹣2和2．

故答案为：﹣2和2．

【变式训练3-5】（2021秋•汉寿县期末）已知x＝2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为　14　．

解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，

∴把x＝2代入方程整理得：4﹣4m+3m＝0，

∴解得m＝4，

∴原方程为：x2﹣8x+12＝0，

∴方程的两个根分别是2，6，

又∵等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，

∴若2是等腰三角形ABC的腰长，则2+2＝4＜6构不成三角形，

∴等腰三角形ABC的腰长为6，底边长为2，

∴三角形ABC的周长为：6+6+2＝14，

故答案是：14．

【变式训练3-6】（2021秋•上思县期末）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．

（1）求m的值；

（2）求△ABC的周长．

解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；

（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，

∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形

∴△ABC的腰为6，底边为2，

∴△ABC的周长为6+6+2＝14．

【变式训练3-7】（2017秋•盐池县校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

解：△ABC为等腰三角形．理由如下：

把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形