【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第09讲 平面向量加、减、数乘运算的坐标表示 讲义

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第9课 平面向量加、减、数乘运算的坐标表示

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课程标准
课标解读
1. 平面向量加、减运算的坐标表示，掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
1、通过阅读课本在平面向量加减运算的基础上，掌握坐标系下的加减 与数乘运算，提升数学运算的核心素养.
2、熟练运用掌握向量的运算性质，提升对平面向量共线的坐标表示的理解与掌握，提升数学核心素养.
3、会利用坐标法，理解和掌握两个向量是否共线的判断.


知识精讲


知识点01 平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

数学公式
文字语言表述
向量加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．


【即学即练1】　已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点．
解析　设点D的坐标为(x，y)，
当平行四边形为ABCD时，由＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，且＝，得D(2,2)；
当平行四边形为ACDB时，由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，得D(4,6)；
当平行四边形为ACBD时，由＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，且＝，得D(－6,0)，
故点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．

反思感悟　坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．


知识点02 平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．


【即学即练2】已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c等于(　　)
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
答案　A
解析　由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3(5,2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，
∴c＝(－23，－12)．


反思感悟　平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．


知识点03 平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．

【即学即练3】(多选)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
答案　ABC
解析　能作为平面内的基底，则两向量a与b 不平行，A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
反思感悟　向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．



能力拓展


考法01 向量加减的坐标运算

【典例1】．平面向量的坐标运算
已知，则______，_________．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于_______．
【答案】     ；     ；     这两个向量相应坐标的和与差.
【详解】解：（1）由题得；
（2）；
（3）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
故答案为：；；这两个向量相应坐标的和与差.

【变式训练】已知，，，且，则点M的坐标为______.
【答案】
【详解】解：由题意得，
所以.
设，
则，
∴解得
故点M的坐标为.
故答案为：


考法02 向量数乘的坐标运算
【典例2】已知向量，且，则__________.
【答案】
【详解】由题意得：，解得：.
故答案为：-1


【变式训练】设向量，，则“与同向”的充要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
当时，，同向；
当时，，反向.
故选：A．

考法03 向量共线的坐标表示
【典例3】已知
(1)当k为何值时，与共线？
(2)若，且A，B，C三点共线，求m的值．
【答案】(1)；
(2).

【详解】（1）因为
所以，，
因为与共线，
所以，解得；
（2）因为
所以，
，
因为A，B，C三点共线，
所以，解得.


【变式训练】已知，则（    ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】C
【详解】对于A:不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
对于B: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
对于C: ,故 ，所以三点共线；
对于D: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
故选：C


分层提分


题组A 基础过关练

1．已知向量，，则向量的坐标为（    ）
A．（0，4，-11） B．（12，16，7）
C．（0，16，-7） D．（12，16，-7）
【答案】A
【详解】,
故选：A
2．已知向量，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，
所以，
故选：A
3．已知向量，，．若，则实数m的值为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，，
又，所以，即
得.
故选：C.
4．如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（    ）

A． B．3 C． D．4
【答案】B
【详解】方法1：在平行四边形中，因为，所以，
所以，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，（平面向量基本定理的应用）
又∵，
∴，解得，
故选：B.
方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则，设，，
∵ 则 ，
又∵，设，则
即：
∴，，，
又∵，
∴
∴
∴
由②得，将其代入①得，
故选：B.

5．（多选）已知向量，，则（    ）．
A．与共线，则
B．时，与的夹角为锐角
C．时，在方向上的投影向量为
D．的最小值为1
【答案】CD
【详解】对于A，与共线，则，．故A错误；
对于B，时，与共线同向，夹角不为锐角，故B错误；
对于C，在方向上的投影向量为，时，，故C正确；
对于D．，当时取等号，故D正确．
故选：CD．
6．（多选）已知向量，，，若（m，），则可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】由题意得，，
由可得，整理得.
对于选项A，，故选项A正确；
对于选项B，，故选项B正确；
对于选项C，，故选项C错误；
对于选项D，，故选项D正确，
故选：.

7．在中，CA＝CB＝1，，若CM与线段AB交于点P，且满足，（,），且，则的最大值为______．
【答案】2
【详解】如图所示：

设，，因为，CB＝1，则，
，，设，则，
因为，所以，
因为，则，
所以有，
即，即，
又（,），
所以，
解得，当且仅当时不等式取等号.
则的最大值为2.
故答案为：2
8．已知向量，若，则______.
【答案】3
【详解】因为向量且，
所以解得，
故答案为：3
9．已知向量，且，则_____.
【答案】或
【详解】因为，所以，解得或4.
故答案为：-1或4.
10．已知，，向量，，则当时，的最小值为_____．
【答案】
【详解】因为，则，由基本不等式可得，
可得，当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
11．已知点，，向量，若，则实数等于___________.
【答案】
【详解】因为，，
则，
因为，则，.
故答案为：.

12．已知.
(1)若，求实数的值；
(2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】(1)2
(2)且

【详解】（1）若，则，解得.
（2）若与夹角为锐角，设该夹角为，则，
故只需，解得
且与不同向共线，即，
所以实数的取值范围为且.


题组B 能力提升练
1．已知向量，，是线段AB的中点，则点的坐标是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为点是线段AB的中点，
所以，设，
所以，解得，
所以点的坐标是.
故选：B

2．（多选）下列说法正确的是（    ）
A．已知向量，，若∥，则
B．若向量，共线，则
C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足，则
D．若O是的外心，，，则的值为
【答案】CD
【详解】解：对于A，因为，，∥，
所以，解得，故错误；
对于B，因为向量，共线，当向量，同向时，则有；当向量，反向时，则有，故错误；
对于C，因为，所以为的三等分点中靠近的点，
所以,,
所以,故正确；
对于D，因为O是的外心，所以(为的外接圆半径),
又因为,所以,即,①
同理可得,②
由①-②可得：，
即有，故正确.
故选：CD.
3．（多选）如图，正方形的边长为，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（    ）

A．点在线段上时，为定值
B．点在线段上时，为定值
C．的最大值为
D．使的点轨迹长度为
【答案】AC
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设点，
则，，，，
当点在线段上时，，，故A正确；
当点在线段上时，不是定值，不为定值，故B错误；
由得，则，，
所以，故当时，即当点与点重合时，取得最大值，故C正确；
由得，直线交轴于点，交轴于点，
所以，使的点轨迹为线段，且，故D错误.
故选：AC.

4．已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量，则在基底下的坐标为为________.
【答案】
【详解】由已知在基底下，，，，
．
故答案为：，
5．已知向量，．若，则________.
【答案】0
【详解】解：向量，，
所以，
若，则，解得.
故答案为：0.
6．，，若，则______．
【答案】1
【详解】由题意，得，则.
故答案为：1.
7．已知向量，，且，则__________.
【答案】
【详解】由题设，，又，
所以，解得.
故答案为：
8．已知，，，则，的夹角为____________．
【答案】####
【详解】设，的夹角为θ，则由，，
可得，
所以，又，则
故，的夹角为．
故答案为：

9．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．己知正六边形的边长为1，点M满足，则________________；若点P是线段上的动点（包括端点），则的最小值是________________．

          图①                    图②
【答案】     ##     ##
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，

则，
则
，
，
设，则
，
，

当时，的最小值为
故答案为：；.

10．已知，.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）解：，，
，，
又与共线，
，即；
（2）解：，，
、、三点共线，
，即．



题组C 培优拔尖练
1．在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，
又由，
可得，所以，
同理可得，所以为的垂心，
所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心，
因为，解得，
所以为边长为的正三角形，
如图所示，以为原点建立直角坐标系，则，
因为，可得设，其中，
又因为，即为的中点，可得，
所以.
即的最大值为.
故选：B.

2．已知， ，向量满足，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，得：，即有，
如图示，设，
故不妨设，则，则 ，

设，则 ，因为，故可得，
所以C点在以AB为直径的圆上运动，
在中， ,AB的中点为 ，
则以AB为直径的圆的方程为 ，
故的最大值为，最小值为，
即的取值范围是，
故选：B
3．向量，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，设，
∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，
又，在上单调递减，所以，，
∴，∴，
∴，
故选：B．

4．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则____________．

【答案】##-0.5
【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为
可知，，，
则，，即
又，
即，即，化简得
故答案为：

5．设为不共线的向量，满足，且，若，则的最大值为________．
【答案】324
【详解】令，又因为，
即，
则点C为的外心，因为，
设，不妨取
则点在圆上，
由，代入坐标，，
解得，
联立和，
解得，故
，
当且仅当即时取“=”.
故，于是

.
故答案为：324
6．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的两个动点，且，为的中点，，则的最大值是______．

【答案】
【详解】以为坐标原点，以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，设，，则．
由可得，所以可设，，．
因为，由可得，，
所以．设，，
则，
即当时，取最大值，最大值为．
故答案为：.

7．已知平面向量，其中，与的夹角为，满足，对于任意实数t，恒有，则___，的最小值为_______
【答案】     ；    
【详解】
；
，则，又，则，设，
以所在直线为轴、所在直线为轴，建立直角坐标系，则，
设，由可得，整理得；
设，由可得，即，
整理得，又对于任意实数t恒成立，则，即，则，
则，又由知，则，
当且仅当时取等，故的最小值为.
故答案为：；.

8．如图，在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，设，.

(1)用，表示，；
(2)若在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，求.
【答案】(1)；
(2)5

解析 (1)在△ABC中，点E是CD的中点，AE与BC相交于F，


(2)在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，
则，，
则
设，则
由，可得，解之得
则，则