【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第05讲 平面向量的数量积（一）

第5课  平面向量的数量积（一）

知识点01  两向量的夹角与垂直

1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．

当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．

2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.

【即学即练1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？

反思感悟

求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．

知识点02  向量数量积的定义

已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?

答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.

【即学即练2】若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于(　　)

A．－3   B．－6

C．6   D．2

知识点03  投影向量

1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的    ，叫做向量a在向量b上的投影向量．

2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.

【即学即练3】（1）已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量．

（2）已知||＝6，||＝3，·＝－12，则向量在向量方向上的投影向量的长度为(  )

A．－4   B．4

C．－2   D．2

知识点04  平面向量数量积的性质

设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量．则

(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a∥b时，a·b＝

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)|a·b|≤|a||b|.

【即学即练4】(多选)下列说法正确的是(　　)

A．向量a在向量b上的投影向量可表示为·

B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是

C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°

D．若a·b＝0，则a⊥b

考法01  向量的夹角

【典例1】在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（    ）

A．与的夹角是锐角

B．与的夹角是锐角

C．与的夹角是钝角

D．与的夹角是锐角

【变式训练】在中，，，，D是AC的中点，则与的夹角为______．

考法02  求两向量的数量积

【典例2】若，，，的夹角为135°，则（    ）

A． B． C． D．12

反思感悟

定义法求平面向量的数量积

若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．

【变式训练】．已知在方向上的投影为，则的值为

A．3 B．  C．2 D．

考法03  投影向量

【典例3】（多选）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C． D．在向量上的投影为

反思感悟　投影向量的求法

(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定．

(2)向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ.

【变式训练】已知，，，则向量在向量上的投影为（    ）

A． B．3 C．4 D．5

题组A  基础过关练

1．已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为

A． B． C． D．

2．若向量，满足，，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

3．已知向量满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

4．已知，是两个互相垂直的单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在平面四边形中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

6．在四边形ABCD中，若，则该四边形为（    ）

A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形

7．，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形

8．如图中，，，，，且，则__.

9．已知平面向量，的夹角为120°，且.若，则______.

10．已知向量，满足，，，则_________.

11．已知向量，满足，，．

(1)求；

(2)若，求实数k的值．

12．如图，在△ABC中，，，，，．

(1)设，求x，y的值，并求；

(2)求的值．

题组B  能力提升练

1．若单位向量，满足，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

3．在中，，点E满足，则（    ）

A． B． C．3 D．6

4．（多选）对于任意向量，，，下列命题中不正确的是（       ）

A．若，则与中至少有一个为 B．若，则

C．向量与向量夹角的范围是 D．

5．（多选）已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（    ）

A．

B．若且，则

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向

D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

6．已知在中，.为所在平面内的一点，满足，则____________.

7．如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.

8．如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为______．

9．已知，，与的夹角为60°．试求：

（1）；

（2）与的夹角的余弦值．

10．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.

（1）用，表示，；

（2）若EF⊥EG，，求角A的值.

题组C  培优拔尖练

1．已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（    ）

A． B． C． D．

2．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（    ）

A．2 B． C．3 D．

3．（多选）平面向量，，，满足，且，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．在方向上的投影向量为

C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值为

4．（多选）如图，在四边形中，，，，E为的中点，与相交于F，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B．在上的投影向量为

C． D．若，则

5．已知，，是非零平面向量，，，，，则的最大值是_________.

6．已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是______．

7．已知平面向量满足，且，则的最大值是__________．

8．已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时___________.