【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第06讲 平面向量的数量积（二）

第6课  平面向量的数量积（二）

知识点01  平面向量数量积的运算律

对于向量a，b，c和实数λ，有

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

【即学即练1】　已知是边长为的等边三角形，则________．

知识点02  平面向量数量积的运算性质

类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．

【即学即练2】已知向量，，若，则________．

知识点03  用已知向量表示其他向量

反思感悟

考法01 向量的数量积的运算性质

【典例1】已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ）

A．6 B．8 C．10 D．14

【变式训练】（多选）中，点M是边的中点，，则一定不是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

考法02  求向量的模和向量的夹角

【典例2】已知，，，则与的夹角是___________.

【变式训练】已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

考法03  与垂直有关的问题

【典例3】下列说法中正确的是（    ）

A．向量满足

B．若向量满足，则

C．若向量，则

D．对任意两向量，则与是相反向量

【变式训练】已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

题组A  基础过关练

1．设非零向量，若，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知，满足，，且，的夹角为，则（    ）

A． B．2 C．4 D．

3．下列关于向量的说法中正确的是（    ）

A．向量且，则向量与的方向相同或相反

B．若，则

C．若，则向量与的长度相等且方向相同或相反

D．对任意的向量满足

4．已知，，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

5．已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

6．（多选）如图，在中，是的三等分点，则（    ）

A．

B．若，则在上的投影向量为

C．若，则

D．若

7．（多选）下列说法中错误的是（    ）

A．单位向量都相等

B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上

C．两个非零向量，若，则与共线且反向

D．已知向量，若与的夹角为锐角，则

8．已知平面向量满足，，，则与的夹角为_____．

9．已知向量满足，则向量与向量的夹角是______.

10．设为的外接圆圆心，若，则在上投影向量的模为_________

11．在中，，若D为BC中点，则为_________．

12．已知非零向量满足，则的夹角大小是_________．

题组B  能力提升练

1．设，，若对，，则与的夹角等于（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

．折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，与自然科学结合在一起不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列说法不正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．（多选）在三棱锥中， 四点分别为棱的中点，则以下表述正确的是（    ）

A．若，则

B．

C．若，则

D．

4．（多选）已知向量．则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．存在，使得

C．与共线的单位向量为  D．向量与夹角的余弦值范围是

5．平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______．

6．已知向量满足的夹角为，则的值是_____．

7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则___________.

8．若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．

9．已知，，且，则的最小值是_____________．

10．如图，梯形，，，，为中点，．

(1)当时，用向量表示的向量；

(2)若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值．

题组C  培优拔尖练

2022年12月23日高中数学作业

2022.12.15

1．已知平面向量满足 ，，其中为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量，恒有，则夹角的最小值是（    ）

A． B． C． D．

2．已知平面向量与的夹角为，则的最大值为（    ）

A． B．2 C．4 D．8

3．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（    ）

A． B． C． D．

4．已知是单位向量，向量满足，且，其中x、，且，则下列结论中，

①；

②；

③存在x、y，使得；

④当取最小值时，.

其中正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（多选）定义：两个向量的叉乘为（为的夹角），则下列说法正确的是（    ）

A．若，

B．

C．若四边形为平行四边形，则它的面积等于

D．若，则的最小值为

6．（多选）已知非零平面向量满足，，其中.若，则的值可能为（    ）

A．  B． C． D．

7．已知平面向量，，满足：，且，则的最小值为_________.

8. 在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．

(1)证明：点O为三角形的外心；

(2)求的取值范围．