【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第19讲 复数的乘、除运算 讲义

第19课   复数的乘、除运算

知识点01  　复数乘法的运算法则和运算律

1．复数的乘法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

2．复数乘法的运算律

对任意复数z1，z2，z3∈C，有

【即学即练1】　　计算下列各题．

(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.

反思感悟　(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤

①首先按多项式的乘法展开．

②再将i2换成－1.

③然后再进行复数的加、减运算．

(2)常用公式

①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．

②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．

③(1±i)2＝±2i.

知识点02 　复数的除法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，

则＝＝＝＋i.

复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共轭复数．

【即学即练2】计算：＝________.

答案　－2＋i

解析　方法一　＝＝

＝－2＋i.

方法二　＝

＝＝

＝＝－2＋i.

反思感悟　复数的除法运算法则的应用

复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．

考法01 复数代数形式的乘法运算

【典例1】计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于(　　)

A．2i－13   B．13＋2i

C．13－2i   D．－13－2i

答案　D

解析　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.

【变式训练】若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)   B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)   D．(－1，＋∞)

答案　B

解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，

所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，

又此点在第二象限，所以解得a<－1.

考法02  复数代数形式的除法运算

【典例2】设复数z满足＝i，则|z|等于(　　)

A．1  B.  C.  D．2

答案　A

解析　由＝i得1＋z＝i(1－z)，

即z＝＝＝＝i，|z|＝1.

【变式训练】)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)

A．3＋5i   B．3－5i

C．－3＋5i   D．－3－5i

答案　A

解析　∵z(2－i)＝11＋7i，

∴z＝＝＝＝3＋5i.

考法03  在复数范围内解方程

【典例3】在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.

解　方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，

所以(x＋3)2＝－1，

又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，

所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.

方法二　因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，

所以方程的根为x＝＝－3±i.

反思感悟　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法

(1)求根公式法

①当Δ≥0时，x＝.

②当Δ<0时，x＝.

(2)利用复数相等的定义求解

设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．

【变式训练】已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．

(1)求b，c的值；

(2)试判断1－i是不是方程的根．

解　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，

且b，c为实数，

∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，

∴解得

(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，

把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，

即方程式成立．

∴1－i是方程的根．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．已知i为虚数单位，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【详解】.

故选：A

2．复数的虚部为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【详解】因为

所以虚部为1.故选：B

3．已知复数满足：（i为虚数单位），则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【详解】，故.

故选：C.

4．已知复数为的共轭复数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由得

代入计算可得．

故选：D．

5．已知，则复数z+5的实部与虚部的和为（　　）

A．10 B． C．0 D．

【答案】A

【详解】由可得，

，

所以的实部与虚部的和为，

故选：A

6．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】，则，所以，

故选：A

7．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，，

所以，，

故.

故选：A

8．复数在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，故对应的点的坐标为.

故选：B.

9．已知复数，则z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】∵，

∴z的虚部为.

故选：B.

10．已知，则复数z的虚部为（    ）

A．1 B．-i C．-1 D．

【答案】C

【详解】，即，故虚部为-1

故选：C

二、填空题

11．设复数z满足（其中是虚数单位），则___________.

【答案】

【详解】由已知条件得

，

则.

故答案为：.

12．如果与（i为虚数单位）是共轭复数，则实数x＝_____，y＝________.

【答案】     ##0.25    

【详解】因为与（i为虚数单位）是共轭复数，

所以，解得：.

故答案为：；.

题组B  能力提升练

一、单选题

1．已知复数，则（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】A

【详解】，

故选：A

2．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面上的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】由，所以，所以z在复平面上的点位于第四象限.

故选：D．

3．已知 为虚数单位)，则 在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】由可得，

所以，

则，故复平面内对应的点在第二象限，

故选：B

4．已知复数 (i为虚数单位)，则复数z在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】解：∵，

∴复数

又 则对应点坐标为

位于第四象限.

故选：D

5．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意可得.

故选：B

6．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，

则

故选：C.

7．若复数满足（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设，则，

，解得，即.

故选：D.

8．已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为复数，所以，

则，

所以复数在复平面内所对应的点的坐标是，

故选：.

9．已知，则（    ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】A

【详解】解：

故选：A

10．已知（其中为虚数单位），则复数等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为，则，

所以.

故选：A.

11．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ）

A．的共轭复数为 B．

C．的虚部为 D．在复平面内是第三象限的点

【答案】B

【详解】因为，

所以的共轭复数为；

；

的虚部为；

在复平面内对应点的坐标为，它在第四象限，

故选：B

二、填空题

12．已知复数 ，则_______

【答案】

【详解】

故答案为：

13．已知复数（为虚数单位），则___________.

【答案】

【详解】因为，则，

所以.

故答案为：.

14．已知是实数，是虚数单位，若复数的实部和虚部互为相反数，则___________.

【答案】

【详解】由题意，

因为实部和虚部互为相反数，所以，解得，

此时，则，

故答案为：

15．若是虚数单位，则复数 对应的点的坐标为________．

【答案】

【详解】,

则复数 对应的点的坐标为，

故答案为：．

16．若复数z满足（i为虚数单位），则__________．

【答案】

【详解】∵，

∴，即，

∴．

故答案为：．

题组C  培优拔尖练

一、单选题

1．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，

故选：B

2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为复数在复平面内对应的点为，

所以，

所以.

故选：A.

3．复数在复平面内对应向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，

所以，

故选：B.

4．（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【详解】因为

则

故选:A

5．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为复数满足，所以

所以，

所以.

故选：B

6．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的模是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以，

所以的共轭复数为，，

所以的共轭复数的模是.

故选：C

7．若，则的实部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，，，

，则的实部为.

故选：C.

二、多选题

8．已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（    ）

A．当时，

B．当时，

C．若，则存在实数，使得

D．若，则

【答案】AC

【解答】对A，即，两边平方可得，A对；

对，取，则，当，B错；

对，即，两边平方可得，

故，故，因此存在实数，使得，C对；

对，取，但，D错.

故选：AC

9．下列说法中正确的有（    ）

A．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第四象限；

B．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限；

C．在中，若，则为等腰或直角三角形；

D．在中，若，则为等腰三角形.

【答案】ABD

【详解】因为，所以，所以，其所对应的点的坐标是，在第四象限，故A正确；

，所对应的点的坐标是，在第三象限，故B正确；

因为，结合正弦定理可得，因此为等腰三角形，故C错误；

因为，所以，即，即，

所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，故D正确，

故选：ABD.

10．已知复数（均为实数），下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．的虚部为

C．若，则 D．

【答案】BCD

【详解】对于A; 若，则，但是复数不可以比较大小，故错误，

对于B; ,所以的虚部为，故正确，

对于C; 若，则,故

，故，正确，

对于D; 而,进而，故，所以正确，

故选：BCD

三、填空题

11．设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．

【答案】2

【详解】将代入方程得：，

即，即，

所以，解得，

所以.

故答案为：2

四、解答题

12．已知复数在复平面内对应的点分别为．

(1)若，求a的值；

(2)若复数对应的点在第一、三象限的角平分线上，求a的值．

【答案】(1)或

(2)

【详解】（1），解得或；

（2），由于z对应的点在第一、三象限的角平分线上，则，解得.